类比的例子

下面我们举几个类比的例子。

(1) 非十进制与十进制的类比

我们知道，在十进制中，被 9 整除的数的特征是其各位数字之和能被 9 整除。其推理过程基于数的位值表示，例如：

因此，297 能被 9 整除当且仅当其各位数字之和，即 2+9+7=18，能被 9 整除。

于是，我们可以做这样的类比：在七进制中，被 6 整除的数的特征是各位数字之和能被 6 整除。其推理过程可以类比十进制的推理，例如：

因此， 能被 6 整除等价于其各位数字之和，即 4+3+5=12，能被 6 整除。

类似地，我们知道，在十进制中，循环小数化分数有下面的结论：

如果不采用无穷级数求和，推导过程如下：

设

则

所以

那么对于其他进制来说，比如在七进制中，通过类比也能得出类似的结论：

比如，

(2) 祖暅原理

祖暅原理是一则涉及几何求积的著名命题，它是这么说的：“幂势既同，则积不容异。”“幂”是截面积，“势”是立体的高。这句话的意思是：两个同高的立体，若在等高处的截面积相等，则它们的体积相等。也就是说，夹在两个平行平面之间的两个立体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，那么这两个立体的体积相等（图1.1）。

图1.1

如果把这个原理应用到二维呢？我们还可以进行类比。首先，要有一些概念的对应关系。

由此，我们可以得到祖暅原理的二维类比结论：夹在两条平行线之间两个平面图形，被任一平行于这两条平行线的直线所截，如果两条截线段的长度相等，那么这两个平面图形的面积相等（图1.2）。

图1.2

(3) 三角形与四面体的重心

我们可以按下述方式找出三角形的重心：三角形的三条中线交于一点，这个点即为三角形的重心（如图1.3 所示的 点）。

图1.3

那对于四面体，是不是也可以类似地找到它的重心呢？

为此，我们也需要运用概念上的类比。

我们可以这样类比：将四面体的一条棱及其对棱的中点连接起来的三角形称为四面体的中面，那么一共有 6 个中面，且这 6 个中面交于一点，则这个点就是四面体的重心（图1.4）。

虽然我们暂时不去证明 6 个中面是否交于一点这个结论，但至少，我们预感这么类比出来的结论应该是对的。

图1.4

(4) 微积分求面积与体积

在使用微积分这一工具求面积的时候，我们把平面图形看成由无数个小长方形组合而成的图形（图1.5）。大家请注意：不要被“微积分”这个名称吓倒，其实，微积分的原理小学生一般都能理解，圆的面积就是使用微积分思想来求的。

图1.5

类比一下，我们可以把这种方法应用到在三维空间中求物体体积的问题中。这时候，我们把立体图形看成由无穷多个柱体组合而成。这里，二维中的长方形就被类比成了三维中的柱体（图1.6）。

图1.6

(5) 分割到无穷

图1.7 中的大正方形边长为 1，首先被分成 4 个相等的正方形，将左上角的正方形涂色，再将右下角的正方形一分为四，然后将其左上角的小正方形涂色……如果我们一直持续这一过程，那么最后被涂色的部分占整个大正方形的面积的多少？

图1.7

这个问题最直接的解法要用到小学生很难理解的无穷级数求和。假如不用无穷级数求和，那还可以这么考虑：去掉右下角的 块，在剩下的部分中，涂色部分占 （如图1.8 左）；而在被去掉的 块里，再去掉这个 块的右下角的 块，那么涂色部分依然占整个面积的 （如图1.8 右）。依此类推，每次都去掉右下角的一小块，涂色部分的面积在不同的尺度上都是整个面积的 ，因此整体上涂色部分面积为整个正方形面积的 。

图1.8

基于这个思路，我们是不是可以类似地解决下面这个问题？

如图1.9，在黄色正三角形 中，分别取三边的中点 并分别连接，然后分别取 三条线段的中点 并分别连接，将 涂成蓝色。接着，对中间的 重复上述操作。如果这一操作一直持续下去，直到永远，请问：图中黄色部分的面积占整个正三角形 面积的几分之几？

图1.9

在这道题中，三角形对应于前面问题中的正方形。在正方形问题的解法中，我们在正方形中去掉一块放大后与原图一样的部分（即右下角的 ）。对应地，我们也找出图1.9 的图形中放大后与原图一样的部分，显然是点 对应的三角形。如图1.10 所示，把它去掉后，在剩下的部分里，黄色区域的占比为 。因此，全部黄色部分面积在整个正三角形中的占比也是 。

图1.10

(6) 直线分平面与平面分空间

我们再来看一个经典的问题：

条直线最多能把平面分成多少块？

如果采用递归的思想，我们知道： 条直线最多把平面分成的块数是 条直线最多把平面分成的块数的基础上再加 。从而， 条直线能把平面分为：

（块）

验算一下：当 时，平面分成的块数分别为 2, 4, 7。满足题意。

题解到这里，当然不算结束，因为核心问题还没有解决。刚才的归纳只是一种猜测，还需要证明其正确性。为什么 条直线最多把平面分成的块数是 条直线最多把平面分成的块数的基础上再加 呢？这就涉及“直线 – 交点 – 线段 – 平面”之间的关系。

我们知道，如果一条直线上有 个点，那么这些点将把这条直线分成 段。如果原来有 条直线，那么在加上第 条直线后，这第 条直线最多与之前的 条直线有 个交点，而这些交点将把第 条直线分成 段，其中每一段都把原来的一个区域一分为二，因此多出了 块。图1.11 给出了 的情况。

图1.11

我们完全可以把这个推理方法应用到非直线的平面图形划分平面的问题中，比如下面的问题：

个圆最多把平面分成多少块？

我们可以沿用之前的递归思想和“交点–线段–平面”的分析方法。如果在 个圆的基础上增加一个圆，那么这个圆最多与前面的 个圆有 个交点（把图1.11 中的直线想成圆，那么在加上第 4 个圆后，它最多与前面的 3 个圆都相交，最多增加 6 个交点）。这 个交点把第 个圆分成 段（这是一个封闭图形），每一段都把原来的一块一分为二，因此，最多多分出 块。据此， 个圆最多将平面分成的块数为：

如果增加一个维度，最初的问题就变成了：

个平面最多把空间分成多少块？

如果我们从“点分直线成线段，线段分平面成区域”这一思想开始衍生，就会发现这个平面分空间问题的求解思路也可以类比直线分平面的做法。首先，我们得做一些概念和操作上的类比。

在直线分平面的问题中，我们通过多出的线段来分析在增加一条直线后，多分出的平面数；那么，在平面分空间的问题中，我们是不是也可以通过多出的平面来分析在增加一个平面后，多分出的空间数呢？

我们还是采用递归的思想。我们知道，2 个平面最多将空间分成 4 块（图1.12 左）。如图1.12 右所示，在 2 个平面的基础上增加 1 个平面（粉色平面），该平面与前面两个平面最多有 2 条交线（红色交线）；这 2 条红色交线把粉色平面分成了 4 个区域，即图中的 a, b, c, d；这 4 个区域分别把原来所在的空间一分为二，因此增加第 3 个平面后把空间多分出 4 块，总计分为 4+4=8 块。类似地，在 3 个平面的基础上增加 1 个平面，前面的 3 个平面最多和这个平面有 3 条交线；这 3 条交线把这第 4 个平面最多分成 7 个区域（由直线分平面的结论得到）；每一个区域将把原来所在的空间一分为二，因此在 8 块的基础上又多出了 7 块，也就是说，4 个平面最多把空间分为 8+7=15 块。

图1.12　3 个平面最多将空间分成 8 块

一般来说，第 个平面将和前面 个平面有 条交线，根据直线分平面的结论，这 条交线最多把第 个平面分为 个区域，从而能比 个平面把空间多分出 块。因此，平面分空间满足下面的递推关系：