小结
本章作为闲聊的引言,有意无意地省略了一些东西。我们没有明晰每一个概念的含义,而是诉诸你我的日常认知,比如根号、幂次、多项式等。不仅如此,我刻意用“未知量”一词,而没有用“未知数”,是因为“数”这个概念将会有其特定含义,在本书中扮演重要的角色。同样,“根”这个概念也将会在下文被严格形式化地、数学地定义。当然,我这里又用了“形式化”这一个新词,它或许是一个在中文语境与日常生活中很少见到的词语。但是,“形式”这个概念却在现代数学中极为重要,其确保了对概念的定义与进行的推理是正确有效的,我们在后文会专门来讨论它。
总之,如果读到这里,你成功被吸引了,那太好了!接下来,我们便要开始登山,踏上征服问题1.1的旅程。这千里之行的第一步将是摆脱中文与英文这些我们日常的语言,以消除模糊与歧义,为每一个概念赋予严格明确的定义,继而将问题框定在一个明确的边界内。基于此,我们再借助逻辑的力量进行抽象与推演,直到洞察问题背后的本质结构,找到答案。
不过等一下,摆脱日常语言?那我们要用什么来表达与书写呢?数学!
(1) 英文原文:Houston, we have a problem。1970年4月13日,发射升空刚两天的美国探月飞船阿波罗十三号的氧气罐发生爆炸,宇航员斯威格特(Swigert)通过无线电如是告知美国航空航天局(NASA),此时三名航天员距离地球321 860千米,正向月球飞去……传奇的是,最后他们竟然成功返回了地球。请放心,我们将处理的问题比他们遇到的要安全得多。
(2) 所谓闲聊,即这一章是不严谨与不严密的,概念也是缺乏严格定义的。看不明白的地方可以略过,感觉有漏洞的地方也不要太在意。
(3) 翻译引自参考文献[1],略有修改。
(4) 为了区别下文将使用的数学意义上的定义,我们把基于直观认知的描述称为概念。
(5) 我之所以知道,是因为这个方程是我利用五倍角公式sin 5θ=16 sin5θ−20 sin3θ+5 sin θ令5θ=30◦写出来的。
(6) 我们用记号A:=…表示A是由右边的东西定义的。类似的,…=:B表示B是被左边的东西定义的。数学上也会用来表示定义,但是我偏好:=,因为还能多指个方向。
(7) 这里我想使用英文insight一词,感觉对应中文“洞察”是不错的选择。
(8) 这里各项的位置是很重要的,因为那个时候的人们还不使用负数,这些p,q都是正整数。
(9) 意大利语拼做Cardano,英语拼做Cardan,所以也会被译做“卡当”。
(10) 必须承认这里的中文表述有一定歧义。我们前面说过方程的“根”就是方程的“解”,那求“根”公式应该就是求“解”公式呀,应该能求任意形式的解,为啥这里限定只能是“根式”解?其实在英文中,这里的两个“根”对应的是不同的单词。表示“解”的“根”是root,而根式解中的“根”是radical。它们都有“根”的意思,但前者侧重具体的根如“树根”,后者侧重抽象的根如“根本”。
(11) 本章作为不严谨的闲聊,省去一些严格的说明,比如这里应要求最高项次数a不为零以避免分母为零。当然,这一点其实已蕴含在称其为“一次方程”之中。再比如下文开根号时需要对象非负,也不作赘述了。