1.4　一劳永逸的公式

对于多项式方程，我们尤其关心一种类型的解，叫做“根式解”。顾名思义，这种解是由所谓“根式”构成的。如果复数i你比较陌生，无法理解什么叫发明出一个平方等于−1的数，那么我猜你应该熟悉吧！这种熟悉可能是来自于我们能在计算器上按下根号二，并在显示屏上看到一串数字

1.4142135624…

这串数字的意义我们以后会再聊，但至少仿佛就是亲切的小数。不过，究其本质，也是一个被发明出来的数，其被规定为一个平方等于2的东西。能规定平方，自然也能规定三次方、四次方等。一般的，我们记

为a的n次方根，意思是这个东西的n次方等于a。比如若a是梨，那么就是梨的五次方根，它的五次方等于梨。它可以写成小数吗？不知道，估计不能吧，但这不妨碍我们定义和创造它！由a到的计算，我们称为开n次根号。

概念1.5　多项式方程的根式解是由其系数经过若干次加减乘除开根号运算后得到的解。

比如方程x²+x−1=0就有两个根式解

sin 6^◦虽然是方程（1.4）的一个解，但它不是通过加减乘除开根号计算出来的，不是我们想要的根式解。

明确了根式解，那什么又是求根公式呢？顾名思义，就是求根式解的公式⁽¹⁰⁾，其核心在于“公式”二字。它不是任何一个具体方程的根式解，而是一般方程的根式解，其系数是字母，其解是用这些字母系数表达出的根式。

概念1.6　n次方程的求根公式是n次一般方程

a_nxⁿ+a_n−1xⁿ⁻¹+…+a₀=0

的字母系数通过加减乘除开根号运算后得到的解。对于任意具体方程，用其系数替换这些字母后，该公式便给出了该具体方程的解。

比如我们熟悉的二次方程求根公式（1.6）就是通过一般方程的系数a,b,c经过加减乘除和开二次方根表达出来的。

那求根公式要怎么找呢？一次方程ax+b=0的求根公式显而易见⁽¹¹⁾

连开根号都不需要。

推导二次方程求根公式的办法初中应该教过，即所谓配方法。我们拿到二次一般方程

想把它变成

因为这个方程我们会解！直接把a除过去开根号，就得到了

那如何将方程（1.7）写成方程（1.8）呢？显然，我们只要把方程（1.8）中的括号乘开，和方程（1.7）比较一下，看看需要什么就好了。我们有

与方程（1.7）对比一下系数，不难发现需要

2ap=b

ap²−q=c

也即

代回方程（1.9），我们便得到了二次一般方程（1.7）的两个根式解

其中用到了开二次根号。它就是二次方程的求根公式。以后，当我们要解任何一个具体的二次方程时，不必再费周折，直接将系数a,b,c替换为相应的具体数字代入公式就好。

不妨接着来看看三次方程：

ax³+bx²+cx+d=0

第一步当然是把它弄简单点。首先，首项系数a可以不妨设为1：

x³+bx²+cx+d=0

其次，能不能把次高项bx²消掉呢？可以！只要做如下替换：

相信我，代入后经过一通计算，上述等式会化简为如下关于y的方程：

其中p和q是由b,c,d算出来的两个新的系数。显然，只要我们通过方程（1.12）解出y，再利用变换（1.11）就立马能得到x。至此的一切想法都还是自然且合理的，但下面的替换初看就仿若神来之笔了！令

代入方程（1.12），一阵计算后，我们会惊讶地发现方程变成了

看出来了没？它是关于z³的二次方程！它的解我们是知道的！于是，我们用二次方程求根公式（1.10）解出z：

代回替换（1.13）得到y，再代回变换（1.11）就得到了x！这就是前文提到的所谓卡尔达诺公式。当然，如果完整写出x关于a,b,c,d的表达式，那将会是一个非常非常长的式子，还涉及一些技术性细节，这里就不写出来了。

要不我们再继续解四次方程？算了吧！相信你能体会到，三次方程的求解已经开始不仅繁琐，而且“精巧”了。需要聪明人的巧妙构造与灵光一现。替换（1.13）读来轻松，但想到着实不易，诚然不能说毫无理由，但也的确需要经验与运气。

另一方面，就算我们巧妙地解出了四次方程，然后呢？五次方程呢？六次、七次、八次呢？难道需要一代代青年才俊笔耕不辍去撞见巧妙的构造来求解？这不是个事儿啊！我们必须得找到一种系统化的、一劳永逸的办法，彻底解决所有多项式方程的求解问题！

这不仅对求解重要，更重要的是，会避免无用功——万一求根公式根本不存在呢？！对于一个的确存在的东西，只要我们不停地尝试，不灰心不放弃，总会有幸运的时刻将它找到。但若这个东西压根不存在，再怎么找都找不到呀！更要命的是，找不到并不代表不存在呀！我们只会一直徒劳地找下去……

五次方程的求根公式人们找了好久好久，终于恍然大悟，原来从四次以后，五次及更高次的方程就再也没有求根公式了！当然，人们认识到这一点并非因为无数聪明人都没找到那些求根公式，而是我们证明了它们不存在！这一段探索与证明的历程，便是本书接下来的主题。