三、数学的推理
人们普遍认为，数学的推理是一种有逻辑的推理。现在，基于数学命题（包括命题中的数学定义）尝试性地讨论什么样的推理过程，或者说什么样的思维过程是有逻辑的。再一次说明，这样的尝试是必要的，这不仅仅是为了逻辑学发展的需要，更重要的是为了让数学学习者、一线的数学教师在一般层面上理解和把握数学推理，进而理解和把握“逻辑推理”这个数学核心素养。先回顾笛卡尔在讨论如何进行科学推理时所提出的建议，他在《探求真理的指导原则》的第六个原则中说注72：
要从错综复杂的事物中区别出最简单事物，然后进行有秩序的研究。这就要求我们在那些已经通过演绎得到真理的推理过程中，观察哪一个事物是最简单项，以及观察这个项与其他项之间关系的远近，或者相等。
这里采纳笛卡尔的建议，认定性质命题为最简单项，认定不超过3个性质命题的推理为简单推理。为了更清晰地述说逻辑推理的思维脉络，只讨论基于简单推理的逻辑性。事实上，所有的推理过程都可以分解为若干个简单推理，就像一棵大树那样可以分解为许多枝杈，因此通过简单推理逻辑性的分析可以窥视一般。为了讨论问题的方便，把3个命题依次称为前提命题、中间命题和结论命题。为了便于说明，分析下面两组具体的简单推理过程：
第一组
因为a=b,b=c，所以a=c。
所有的实数都可以比较大小，3和5是实数，所以3和5可以比较大小。至今的计算结果表明，每一个偶数都是两个素数之和，推断所有偶数都可以表示为两个素数之和。
第二组
因为a=b,c=d，所以a=d。
所有的实数都可以比较大小，大小是一种关系，所以实数是一种关系。
至今的计算结果表明，每一个偶数都是两个素数之和，推断所有偶数都可以表示为两个素数之差。
对于上述推理，凭借直觉认为：第一组的3个推理都是有逻辑的，虽然其中第三个推理的结论还只是一种猜想（哥德巴赫猜想），但依然会认为得到这个猜想的推理是有逻辑的；第二组的3个推理都是没有逻辑的，虽然其中的推理也是一环扣一环，但隐隐约约地感觉到有什么地方不对劲。那么应当如何给出一个准则，通过这个准则来判断推理的逻辑性呢？进一步，又应当如何在形式上表述推理的逻辑性呢？
逻辑推理。凭借直觉，会感觉到上述第一组中的简单推理前后连贯，也就是说，从头至尾论述的是一件事情。对前后连贯的简单推理可以抽象出两个显著特征：一个特征是前提命题的所指项、或者、所指项的等价物始终出现在3个命题之中注73；另一个特征是结论命题所表述的性质与前提命题所表述的性质是一致的。比如：在第一个推理中“c”是“b”的等价物；在第二个推理中“3和5”是“实数”的等价物；在第三个推理中“所有偶数”是“经过计算偶数”的等价物。而第二组中的3个推理，虽然从形式上看推理过程是一环扣一环的，但每个推理不是缺少第一个特征就是缺少第二个特征。
现在问题已经非常明显，逻辑推理的本质在于命题的前后连贯，形象地说，就是有一条主线能够把这些命题串联起来。称上述两个特征为简单推理的传递性，称具有这样特征的简单推理为具有传递性的推理。这样，借助传递性可以给出逻辑推理的定义：
一个简单推理是逻辑推理当且仅当这个简单推理具有传递性。
这就是说，对于简单推理而言，有逻辑的推理与具有传递性的推理是等价的。现在，需要确切地表述什么是推理过程的传递性，尝试用数学的语言和符号予以表达。对于推理过程的传递性可以分为关系传递性和性质传递性两种形式。
关系传递。令A是一个集合，≈是集合上的二元关系。称这个关系对于集合具有传递性，对于集合中的元素a、b和c，如果a≈b,b≈c，则a≈c。令⊙是集合A上的一种运算。称这个关系对于运算具有传递性，如果a≈b，则a⊙c≈b⊙c。
第一类性质传递。令A是一个集合，P是一个性质，A→P，如果x∈A，则x→P。（7）
第二类性质传递。分下面两种情况注74：
（Ⅰ）令A是一个集合，P是一个性质，x→P，如果x∈A，则A→P。 （8）
（Ⅱ）令A和B是两个集合，Q是一个属性，P是一个性质。
A和B中的元素都具有属性Q，如果A→P，则B→P。（9）
将上面的表达作为数学推理的定义，或者说，作为数学推理（逻辑推理）的公理。因为在关系传递性的推理中，所论及的满足关系或者运算的研究对象（包括等价物）的范围是不变的，因此，通过这样推理得到的结论是必然正确的；在第一类性质传递性推理中，所论及的满足性质的研究对象（包括等价物）的范围是从大到小的、是具有包含关系的，因此，通过这样推理得到的结论必然是正确的。称具有关系传递性或者具有第一类性质传递性的推理为演绎推理，也就是人们通常所说的，从一般到特殊的推理。对于实数集合，等号和不等号都具有关系传递性，并且四则运算和极限运算也都具有关系传递性，因此通常进行的数学运算属于演绎推理的范畴，得到的结论是必然正确的。
与演绎推理恰恰相反，第二类性质传递推理所论及的满足性质的研究对象（包括等价物）的范围是从小到大的、是具有被包含关系的；在思维形式上，是通过经验过的东西推断未曾经验的东西，也就是人们通常所说的，从特殊到一般的推理。因此，通过这样推理得到的结果是或然正确的，称这样的推理为归纳推理。为了尊重传统习惯，更是为了有利于数学教育，把第二类性质传递推理分为两种情况：称其中的（Ⅰ）为归纳，（Ⅱ）为类比。
这样，基于简单推理的逻辑推理，或者说基于简单推理的数学推理只有两种形式，这就是《普通高中数学课程标准》述说“逻辑推理”时所说的两类，一类是演绎推理，一类是归纳推理。
现在，已经明晰了什么样的推理是有逻辑的，进而明晰了数学推理思维过程的本质和模式是什么。但是，对于数学的发展，除了要明晰数学的研究对象和推理形式之外，还需要明确判断命题正确与否的思维基础是什么，也就是要明确数学推理的思维基础是什么。这是一个非常难以回答的问题，随着逻辑学研究的深入，现代学者给出了种类繁多的逻辑形式，不仅使人无法记忆，甚至使人无法判断这些逻辑形式本身的合理性。为此，还是遵循形式逻辑中3个最古老的定律，并把这3个定律批判性地应用于数学推理。这3个定律就是：数学同一律、数学矛盾律和数学排中律。
数学同一律。同一律是指一个事物与自身同一，表示为a=a。在数学论证过程中，基于同一律的原则，一个定义或者一个命题不能同时是自身又是别的，也就是，在论证过程中不能随意变换概念。但在现实世界中，事物总是相对的，事物也总是变化的，如果在历史发展的长河中认识问题，同一律就显得僵化了，正如恩格斯所批评的那样注75：
旧形而上学意义下的同一律是旧世界观的基本原则：a=a。每一个事物和它自身同一。一切都是永久不变的，太阳系、星体、有机体都是如此。这个命题在每一个场合下都被自然科学一点一点驳倒了，但是在理论中它还继续存在着，而旧事物的拥护者仍然用它来抵抗新事物：一个事物不能同时是它又是别的。抽象的同一性，与形而上学的一切范畴一样，对日常应用来说是足够的，在这里所考察的只是很小的范围或很短的时间。
在上面的论述中，恩格斯强调一切事物都不是永恒不变的，要学会辨证地分析问题。恩格斯的说法是有道理的，比如几何学，最初人们认为欧几里得几何是永恒不变的真理，包括“过直线外一点能作并且只能作一条平行线”这个公理也是唯一正确的。但是，人们后来发现也可以建立一个有无数条平行线的几何学，这便是罗巴切夫斯基几何；人们后来还发现还可以建立一个没有平行线的几何学，这便是黎曼几何。特别是，这3种几何学都有着明确的现实背景注76，这3种几何学表述的都是真理，只是问题涉及的背景不同。即便如此，在一般情况下，讨论的数学问题的范围和时间都是有限的，因此，数学的论证可以并且必须使用同一律。为了数学的严谨性，对于同一律作如下修改：
数学同一律。如果一个集合A是确定的，那么，可以确切判断一个元素x是否属于集合A，在论证过程中这个关系保持不变。
可以看到，数学的同一律是给出实质定义，以及表述推理过程传递性的基础。从表面看，现代数学的某些研究领域的研究似乎不符合这个要求，但在本质上却是一致的。比如，在模糊数学中，虽然一个元素是否属于一个集合可以是模糊的，但这个元素是否属于这个集合依赖于取值0,1闭区间上的示性函数，这个示性函数本身是清晰的，是符合数学同一律的。再比如，在概率与数理统计论中，虽然随机变量的取值可以是不确定的，但取值的概率本身是不变的、是符合数学同一律的。
矛盾律。无论是在数学中、还是在现实生活中，矛盾律都是论证的基本原则。矛盾律述说了这样一个事实：一个命题Φ不能同时为真又为假。如果用Φc表示否命题，这个定律意味着：Φ与Φc不能同时成立。现有资料表明，矛盾律最初是亚里士多德提出的，他在《形而上学》中写道注77：
但我们明确主张，事物不可能同时存在又不存在，由此我们证明了它是所有原本中最为确实的。有些人由于学养不足认为需要对此加以证明，但是他们不知道哪些应当证明哪些不应当证明，这正是学养不足的表现。
于是，人们遵循亚里士多德的建议，把矛盾律作为不证自明的推理原则。众所周知，汉语中的“矛盾”一词出自古代中国春秋战国时期的一个寓言注78。矛盾律的基本原则与人们的生活常识是一致的，就像古代中国那个寓言所述说的那样。用数学符号表示矛盾律：
数学矛盾律。如果Φ是一个数学命题，那么，Φ和Φc不能同时成立。也就是说，如果用P表示命题中的性质，那么，不存在集合A，使得a∈A，a→P和a→P同时成立。
矛盾律对数学推理非常重要，在下面的讨论中将会看到，矛盾律这个原则是反证法、数学归纳法的依据，没有这个原则数学推理将寸步难行。
排中律。排中律也是数学论证的基本定律：一个命题Φ不是真就是假，即：Φ与Φc必有一个成立。这个原则的要求非常严格，以至于在日常生活中排中律不一定是合适的。事实上，对于中国的传统文化而言，就很难接受“非此即彼”的思维模式，比如，很难接受非“福”即“祸”、非“强”即“弱”这样的二分法。排中律也是亚里士多德在《形而上学》中提出的，他提出的时候就犹豫不决注79：
在对立的陈述之间不允许有任何的居间者，对于一事物必须要么肯定要么否定其某一方面。如果不是为理论而理论的话，在所有对立物之间，应当存在居间者，故一个人可能既以其为真又以其为不真。在存在与不存在之外它也将存在，因此，在生成和消灭之外有另外某种变化。
现在，已经认定数学是为了理论而理论的一种学问，因此，正如亚里士多德所说，数学还是需要排中律的。用数学符号表示排中律：
数学排中律。如果Φ是一个数学命题，那么Φ和Φc必然有一个成立。也就是说，如果用P表示命题中的性质，那么，必然一个存在集合A，使得a∈A,a→P或者a～P。
在此需要强调，对于统计学中的许多问题，不能直接套用数学排中律。比如：在估计问题中，一个估计量往往会满足这样的条件；随着样本量的增加，这个估计量将以较大的概率收敛到真值，但并不意味着这个估计量要么就收敛到真值，要么就不收敛到真值；在检验问题中，一个检验统计量否定了原假设，并不意味就必须接受对立假设。
现在，终于可以讨论最为本质的问题了，这个问题就是：在日常数学教学中，通常使用的得到或者验证数学命题的推理方法是否有逻辑呢？或者说，仅仅基于上述3个基本原则，是否能够验证通常使用的数学证明方法本身具有所定义的逻辑性呢？