二、数学的命题
数学定义确定了数学的研究对象，数学的结果是通过命题表述的。与实质定义一样，命题的表达也是一个陈述语句，但命题的目的不是为了给一个事物命名，而是述说已经命名了的事物的事情。命题陈述句述说的事情可能是正确的、也可能是错误的，这样，命题陈述句就为人们提供了一个判断注65：或者通过逻辑的方法进行分析判断，或者通过经验的事实进行证实判断。人们称前一种判断方法为分析的，后一种判断方法为综合的。
数学命题的主观性与客观性。所谓数学命题的主观性与客观性是针对思想者而言的：如果命题是思想者正在思想的东西，那么数学命题就是主观的；如果数学命题的存在与思想者无关，数学命题只是思想者要判断的已经存在了的东西，那么数学命题就是客观的。
在中国，几乎所有形式逻辑的教科书，关于命题的论述都隐含着“命题就是判断”的指向注66，这就意味着命题是主观的，因为所说的命题本身就承载着判断功能。因此在本质上，这些教科书中所讨论的命题是思想者应当如何进行思想的东西，无论如何，这样的认识不仅不利于研究数学推理的模式，也不利于指导数学教学。弗雷格和胡塞尔都非常强调这样的区别注67，罗素则说得非常明确注68：“命题就是可以有意义地加以断定或否定的东西”，这样命题就具有了客观性。
对于数学命题，可以做这样的划分：如果是为了得到数学命题，那么数学命题就是主观的，这时的数学命题是思想者正在思想着的东西；如果是为了验证数学命题，那么数学命题就是客观的，这时的数学命题是思想者要进行判断的东西。虽然这两种情况的思维过程都依赖逻辑推理，但推理形式却有着本质的不同。
两类数学命题。就陈述的内容而言，数学命题可以分为两类：一类称为性质命题，命题陈述内容涉及研究对象本身的性质；一类称为关系命题，命题陈述内容涉及两个或多个研究对象之间的关系。陈述内容的不同会导致语言表达方式不同，进而导致命题表述模式不同。罗素非常重视这种区分，甚至有过非常苛刻的论述注69：
因此，陈述两个事物具有某种关系的命题与主谓式命题具有不同形式，看不到这种区别或者不承认这种区别，一直是传统形而上学中许多谬误的根源。
性质命题就是主谓式命题，关系命题就是具有某种关系的命题。下面，针对数学的内容，分别讨论这两类命题的特征，以及各自的表述模式。
性质命题。就语言的表述形式而言，性质命题通常可以表示为系词结构，也就是用系词“是”把研究对象x与性质P连接起来。称x为所指项、P为命题项，相当于汉语语法中的主词和谓词。对于数学的性质命题，所指项必须是定义了的东西：或者是名义定义，以公理体系作为定义的支撑；或者是实质定义，以充分必要作为定义的支撑。性质命题的陈述模式可以用符号表示为：
（x∈A）x⇒P （3）
其中（x∈A）意味着：虽然在命题的陈述模式中没有表现出来，但所指项x的定义必须是清晰的。用希腊字母Φ或者Ψ表示命题。就命题所陈述的内容而言，又可以把性质命题分为两种情况。
第一种情况是充分必要。在本质上，这里所说的“充分必要”与实质定义讨论的是一致的，即所指项定义的内涵与性质所包含的内容是等价的。比如，可以把勾股定理写成系词结构：
直角三角形是一条边长的平方等于其他两条边长平方之和的三角形。
显然，可以用充分必要的性质命题的“性质”给出研究新的定义，比如，基于上面的性质命题，可以给出直角三角形新的定义：
称一条边长的平方等于其他两条边长平方之和的三角形是直角三角形。
因此在本质上，数学实质定义是充分必要的性质命题。虽然所有充分必要的性质命题都可以用“性质”构成研究对象的新定义，但在一般情况下，人们还是习惯用不需要论证的话语作为研究对象的定义。比如，用“一个角为直角的三角形”这样的话语作为直角三角形的定义。
第二种情况是充分不必要。在一般意义下，性质命题中的研究对象都具有命题中所述说的性质，但具有性质的那些东西并不只限于研究对象，比如下面的命题：
加法是满足交换律的。
其中“加法”是研究对象，“交换律”是性质。虽然加法必须满足交换律，但满足交换律的运算并不只限于加法，比如还有乘法。基于上述分析，回顾曾经讨论过的方程的定义，虽然不是所有的含有未知数的等式都是方程，但陈述句“方程是含未知数的等式”可以作为性质命题，因为这个陈述句是可供判断的，也就是说，如果仅仅是作为一个数学命题、而不是作为数学定义，就不需要认真探讨其中所说的等式的具体含义到底是什么。
就陈述的形式而言，性质命题也可以分为两类：一类是肯定陈述，称为正命题；一类是否定陈述，称为否命题。这就意味着，通常所说的“逆命题”和“逆否命题”不能构成数学命题。进一步，人们通常用“否定之否定”等价“肯定”的逻辑，建立双重否定律注70：否否命题等价于原命题，但对于数学命题，这也是不允许的。作为说明，看下面的例子。
原命题：数是可以比较大小的。
逆命题：可以比较大小的是数。
否命题：数是不可以比较大小的。
逆否命题：不可以比较大小的不是数。
否否命题：数不是不可以比较大小的。 （4）
之所以说“逆命题”和“逆否命题”不能构成数学命题，这是出于数学严谨性的要求。正如在解释（3）式所说的，数学命题的所指项必须清晰，现在，由于不能清晰地给出上述“逆命题”的所指项“可以比较大小”，以及“逆否命题”的所指项“不可以比较大小”的确切定义，因此这样的陈述句不能作为数学命题。进一步，对于思维过程而言，上述否否命题与原命题似乎是一致的，但对于数学命题的判断而言，这两者之间却有天壤之别：对于原命题的判断，要求定义了的、所有的数都是可以比较大小的；但对于否否命题的判断，只需要说明存在可以比较大小的数就可以了。因此，为了数学推理的一致性，否否命题不能成为数学命题。
事实上，“逆命题”“逆否命题”或者“否否命题”的表述可以作为思想者正在思想的东西，可以表达思想者的思维过程，但这样的命题只具有“主观性”不具有“客观性”，无法进行数学判断，正如弗雷格所认为的那样注71：主观意义在语义学中应不予以考虑，因为它不是交际信息来源。
这样，就严格限制了数学性质命题有且仅有两种陈述形式：正命题和否命题。因为对每一个的数学命题都有“肯定”“否定”两种判断形式，因此，就判断形式与陈述形式而言，数学性质命题只存在4种可能结果：正正、正否、否正、否否。其中，前面的“正”或者“否”表示命题的判断形式，后面的“正”或者“否”表示命题的陈述形式。
关系命题。就语言的表述形式而言，关系命题的主词中最少包含两个以上研究对象，因为这类命题的目的是为了阐述一些研究对象之间的关系，因此这一类数学命题通常不能表示为系词结构。比如前面讨论过的，希尔伯特以公理的形式表述了点与直线之间的关系：
对于两点A和B，恒有一直线a，它同A和B这两点的每一点相关联。对于两点A和B，至多有一直线，它同A和B这两点的每一点相关联。
上面两句话形成了一条公理，这就是数学上通常所说的基本事实：两点确定一条直线。显然，这个基本事实是涉及关系的数学命题：明晰了“点”与“直线”之间的关系。与性质命题不同，关系命题关注的不是研究对象本身，关注的是研究对象之间的关系，这就意味着，在公理体系中，数学家通过一系列的关系命题建立了研究对象之间的联系。
在一般情况下，这一类命题可以写成“如果……那么……”或者“若……则……”的形式，其中“如果”“若”引导的话语是命题的“条件”，“那么”“则”引导的话语是命题的“结论”。因此，关系命题通常可以分为“条件”与“结论”两个部分。关系命题更多地表现在数学定理的述说，比如，初中平面几何中的平线判定定理：
两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。 （5）
在这个命题中，背景是“两条直线被第三条直线所截”，条件是“同位角相等”，结论是“两条直线平行”。因为在关系命题中，无论条件还是结论都是陈述句，很难用集合之间的关系来表达命题的结构，但有一个关系结构是明确：通过“条件”得到“结论”，也就是说，“条件”对于“结论”是充分的。如果用Q表示条件述说，用P表述结论述说，关系命题的陈述模式可以表示为：
如果x→Q，那么x→P。 （6）
比较（3）式可以看到，关系命题是由两个、或者两个以上性质命题构成的，与性质命题有所不同的是，表述中的x不一定是单一的研究对象，可以是两个以上的研究对象。比如，平行线判定定理（5）式中的x是指两条直线。
关系命题与性质命题最大的差异在于“否命题”“逆命题”等概念的表述。通过（6）式可以看到，如果从肯定述说“→”与否定述说“～”出发变化命题的形式，可以有两类共8种变化，其中一类是基于条件的，另一类是基于结论的。
基于条件
（Ⅰ）如果x→Q，那么x→P。
（Ⅱ）如果x→Q，那么x～P。
（Ⅲ）如果x～Q，那么x→P。
（Ⅳ）如果x～Q，那么x～P。
基于结论
（Ⅴ）如果x→P，那么x→Q。
（Ⅵ）如果x→P，那么x～Q。
（Ⅶ）如果x～P，那么x→Q。
（Ⅷ）如果x～P，那么x～Q。
利用前面所述平行线判定定理（5）来说明上面的8种形式：
背景：两条直线被第三条直线所截。
基于条件
（Ⅰ）如果同位角相等，那么两条直线平行。
（Ⅱ）如果同位角相等，那么两条直线不平行。
（Ⅲ）如果同位角不相等，那么两条直线平行。
（Ⅳ）如果同位角不相等，那么两条直线不平行。
基于结论
（Ⅴ）如果两条直线平行，那么同位角相等。
（Ⅵ）如果两条直线平行，那么同位角不相等。
（Ⅶ）如果两条直线不平行，那么同位角相等。
（Ⅷ）如果两条直线不平行，那么同位角不相等。
可以看到，上述8种形式都可以构成关系命题。对于关系命题，只需要判定“条件”与“结论”之间的关系。建立关系判断原则：以“条件”推断“结论”是充分关系；以“结论”推断“条件”是必要关系。那么，对于命题之间的联系，只需要关心“充分必要”关系。可以把上面8种形式分为两组，每组包括4种形式：（Ⅰ）（Ⅳ）（Ⅴ）（Ⅷ）和（Ⅱ）（Ⅲ）（Ⅵ）（Ⅶ），这样，“充分必要”关系只存在于每组的形式之间。