四、演绎推理：验证数学结论的方法

验证数学结论也会用到归纳推理，但主要是演绎推理。在日常数学教学过程中，经常会使用到消元法、换元法、递归法等，可以看到，这些方法均属于关系传递的范畴，因此这样的推理方法是有逻辑的。有时，也会用到完全归纳法，这是第二类性质传递（Ⅰ）的一个特例：集合A包含的元素的个数是有限的，如果验证了每一个元素x→P，则推断A→P。因为论证所论及的满足性质的研究对象（包括等价物）的范围是不变的，因此完全归纳法属于演绎推理。

下面，基于数学命题，论述亚里士多德所倡导的三段论，三段论的方法在数学论证过程中是屡见不鲜的。三段论的学说在中世纪的欧洲是至高无上的，在今天的形式逻辑学中仍然保持重要地位。亚里士多德在《工具论·前分析篇》中说^注80：

我们之所以要在讨论证明前先讨论三段论，是因为三段论更加普遍些。证明是一种三段论，但并非一切三段论都是证明。

事实上，亚里士多德对证明的认识是不全面的，因为三段论不能包含所有的证明形式。比如，三段论不能包含“a大于b，b大于c，则a大于c”这样的递推关系，即三段论不能包含所说的具有关系传递性的推理。篇幅有限，这里只讨论经典三段论。读者可以尝试论证复合三段论、假言三段论等推理模式的逻辑性，经历这样的尝试能够更加深刻地理解什么样的推理是有逻辑的。

经典三段论。经典三段论是一个包括大前提、小前提和结论三个部分的论证形式，因为推理过程涉及三个性质命题，因此属于简单推理。通过下面的讨论可以看到，三段论保持了逻辑推理的特征：前提命题的所指项，或者所指项的等价物始终出现在这些命题之中；结论命题与前提命题所述说的性质是一致的。经典三段论有不同的类型，亚里士多德称之为格，最初亚里士多德定义了三种格，后来经院学者又增加了第四格。现在人们已经证明，后三种格都可以归结为第一格^注81。第一格分为四种型，现逐一讨论这四种形式的三段论与逻辑推理的关系。

全称肯定型。全称肯定型的专业术语是AAA型^注82。亚里士多德给出的例子是：

凡人都有死，苏格拉底是人，所以苏格拉底有死。

用A表示所有人的集合，用x表示苏格拉底，用P表示死，则上面的推理形式可以写为

这个形式与（7）所述第一类性质传递完全一致，因此属于演绎推理。从上面的语言论述过程可以看到，这种形式推理得到结论的正确性是不言而喻的，甚至可以认为这个形式的推理是多此一举：所有人都会死，苏格拉底这个具体的人当然也会死，并且，要验证所有人都会死比验证苏格拉底这个具体的人会死还要困难得多。但是，这样的论证形式在数学证明中却是非常重要的。

在上述三段论中，结论反而不是最重要的，关键在于验证前两条A→P和x∈A是否成立，第一条通常是一个已知事实，比如公理、假设，或者已经证明了的定理，因此数学证明的重点往往是验证第二条，即验证中间命题是否成立。比如，在平面几何中，证明四点共圆的问题是比较困难的，但证明的思路却是简单的：

对角和为180°的四边形的4个顶点共圆，如果能够证明这个四边形有一组对角和为180°，那么这个四边形的4个顶点共圆。

在这个证明的过程中，最困难的地方是验证中间命题的成立，即证明“这个四边形有一组对角和为180°”是否成立。下面，通过两种省略进一步分析中间项的重要性。

省略大前提。人们往往认为大前提是人所共知的，所以可以省略。这样的推理形式在日常生活中或许是可以的，但在数学的证明过程中却一定要慎重使用，比如下面的例子：

矩阵的乘法是乘法，所以矩阵的乘法满足是交换律。

这个结论是不正确的，问题出在哪里呢？问题就在于省略的大前提，即省略了“乘法满足交换律”这个前提命题。按照约定，性质命题中所指项的定义必须清晰，在这里前提命题中所说的乘法是指四则运算中的乘法，而不是一般泛指包括矩阵乘法在内的乘法。

省略小前提。关于省略小前提的例子：

凡数都可以比较大小，所以复数可以比较大小。

这个结论也是不对的，推理的错误在于省略了小前提，即省略了“复数是数”这个中间命题。因为在通常意义上，数是基于自然数的，自然数是基于皮亚诺自然数公理体系的；在公理体系中自然数是通过后继的概念得到的，因此自然数可以比较大小。有理数是通过四则运算，是由自然数扩张得到的；实数是通过极限运算，是由有理数扩张得到的。因为四则运算和极限运算都具有传递性，因此扩张了的数不改变“可以比较大小”这个性质。而复数是通过解方程得到的，这样的运算不具有传递性，因此不能传递“可以比较大小”这个性质。

全称否定型。专业术语为EAE型^注83。亚里士多德给出的例子是：

没有一条鱼是有理性的，所有的鲨鱼都是鱼，所以没有一条鲨鱼是有理性的。

用A表示所有的鱼，用x表示鲨鱼，用P表示理性。那么A～P是大前提（前提命题），x∈A是小前提（中间命题），x～P是结论（结论命题）。如果用Φ表示命题“A→Pⁿ”，那么大前提意味否命题Φ^c成立；用Ψ表示命题“x→P”，那么小前提意味否命题Φ^c成立。根据矛盾律和排中律，由第一类性质传递（7）可以得到

A～P，如果x∈A，则x～P。

有理数系数方程的根不可能是π，所有整数是有理数，所以整数系数方程的根不可能是π。

与全称肯定型比较，有一个问题是应当注意的，那就是在全称肯定型中的小前提所关注的事物往往是一个元素，而全称否定型中的小前提的事物可以是一个子集合。比如，所有整数是一个集合，是有理数集合的子集合。三段论第一格的后两种形式是基于特称的，一并讨论如下。

特称肯定型。专业术语为AII型^注84。亚里士多德给出的例子是：

凡人都有理性，有些动物是人，所以有些动物是有理性的。

特称否定型。专业术语为EIO型^注85。亚里士多德给出的例子是：

没有一个希腊人是黑色的，有些人是希腊人，所以有些人不是黑色的。

与全称型不同，特称型的推断中使用了“有些”这样的词语，因此这样的推断与全称型有本质的不同：全称型的小前提是在集合A的内部，特称型的小前提是在集合A的外部。比如，对于上面两类特称型，“动物”是在“人”这个集合的外部，“人”是在“希腊人”这个集合的外部，所以在结论中必须用“有些”这样的限制词。特称肯定型和特称否定型可以分别用符号描述为：

A→P，如果A⊆B，则A∩B→P。

A～P，如果A⊆B，则A∩B～P。

其中符号A∩B表示集合A和B的交集合，即集合A和B的共同部分。显然，如果A⊆B，那么必然有A∩B=A。因此，就推理的形式而言，这样的推理一点意义也没有；就推理的实质而言，这样的推理对论述中的特称换了称谓：把人换成了有些动物，把希腊人换成了有些人。

就数学推理而言，如果是为了得到肯定结论，这种论证是没有用处的，因为对于数学的推理，结论在“有些”情况下成立是没有意义的，比如，“有些偶数可以表示为两个素数之和”这样的命题是没有意义的。但是，为了得到否定的结论，这样的论证形式却是强有力的，因为对于科学而言，为了驳倒结论只需要举出一个反例就可以了。比如，关于“不能三等分角”的问题，虽然通常只讨论60°角这个特殊情况^注86，但基于这种情况可以得到下面的推论：

60°角是不能三等分的，有些角是60°角，所以有些角是不能三等分的。

进而得到一般的结论：三等分角是不可能的。虽然在上述三段论的大前提中，涉及的只是一个元素，而不是更为一般的集合，但在论证过程中以这种形式举反例是强有力的。

下面，讨论数学证明过程中两个经常使用的方法，一个是反证法，一个是数学归纳法。这里将给出这两种方法的推理模式，并且论证为什么这样的推理是有逻辑的。

反证法。反证法是一种演绎推理的方法，下面通过两个具体的例子来论证这个问题,这两个例子都是最经典的数学证明。第一个例子是欧几里得给出的，用反证法证明了素数有无数多个；第二个例子据说也是欧几里得给出的，用反证法证明2是一个无理数。

命题一  素数是无数多个

证明：先假设否命题成立：素数不是无数多个。即素数是有限多个。那么，可以假设有n个素数，表示为：P₁,...,P_n。令P为这n个素数的乘积再加1，即P=P₁...P_n+1，这是一个自然数。因为P不能被上述n个素数中的任何一个整除，那么P也应当是一个素数，并且与上述n个素数不同。这样至少有n+1个素数。这样素数有n个、又有n+1个，根据矛盾律这是不可能的，因此假设不成立。根据排中律，假设的否命题成立，即有无数多个素数。

命题二  是无理数

证明：先假设不是无理数。那么，就是有理数。根据有理数的定义，能够表示为两个整数的比，比如=a/b，其中a和b为整数，不失一般性，假定a和b没有公因数。

可以得到a²=2b²，于是a²为偶数。因为只有偶数的平方才能为偶数，所以a为偶数。因为a和b没有公因数，a为偶数b必为奇数。因为a为偶数，可设a=2c，其中c为整数。则a²=4c²，于是有4c²=2b²或者2c²=b²，则b²为偶数即b为偶数。这样b是奇数，又是偶数。根据矛盾律这是不可能的，因此假设不成立。根据排中律，假设的否命题成立，是无理数。

通过上面的例子可以分析反证法的论证过程：为了证明命题Φ成立，先假设否命题Φ^c成立；然后在否命题Φ^c成立的条件下，得到一个矛盾的结果；根据矛盾律，否定否命题成立；最后根据排中律就证明了命题Φ成立。因为已经在前面认定，矛盾律和排中律是数学论证的基础，是对于所有数学推理成立的一般性前提，因此通过第一类性质传递论证了反证法，这样的推理是有逻辑的。这样就论证了：通过反证法推理得到的结论必然正确。

数学归纳法。虽然数学归纳法是一种验证部分元素得到整体结论的论证方法，似乎应当属于归纳推理，但不同的是：集合中的元素是“有序”的，验证的程序也是“有序”进行的。数学归纳法有多种变化形式，比如：跳步数学归纳法、辗转数学归纳法、倒序数学归纳法等等，但“有序”这个本质是不变的。因为篇幅有限，这里只讨论常用的数学归纳法^注87。

假设集合A是从1开始的自然数集合，集合上的“序”是自然数的大小关系，假设命题P可以构成与“序”有关的命题。数学归纳法的推理过程是这样的：

验证基于序的命题P（1）,P（2）,...,P（n）,...

（1）验证命题P（1）。如果成立，

（2）假设命题P（k）成立，验证命题P（k+1）。如果成立，

（3）所有命题成立。

下面，论证基于数学归纳法的论证方法是有逻辑的，得到的结论是必然正确的。

用反证法。假定“所有命题成立”这个结论不正确。那么，必然存在一些自然数，使相应的有序命题不成立。令m是使得有序命题P（m）不成立的最小自然数。因为验证了P（1）成立，所以m≥2，即m－1是一个大于等于1的自然数。因为m是有序命题不成立的最小的自然数，那么有序命题P（m-1）成立。这与数学归纳法的（2）所示程序矛盾，因此假定不成立。根据反证法，所有命题成立。

因为已经论证了反证法的正确性，因此可以用反证法论证数学归纳法，通过上面的论证可以知道数学归纳法的推理是有逻辑的，得到的结论必然正确。为了数学推理分类的清晰，现在约定，基于三个基本定律，如果某一种推理方法的正确性能够被关系传递或者第一类性质传递性予以论证，那么这种推理方法就属于演绎推理。这样，反证法和数学归纳法都属于演绎推理。

现在，已经论证了常用数学证明方法是有逻辑的，得到的结论必然正确。这样，可以在数学教学和研究过程中放心大胆地使用这些方法；反之，如果对一个数学命题的验证过程中，验证方法本身不具有传递性，就要怀疑这样的论证方法本身是否正确。

对于数学命题的验证而言，前提和结论都是已知的，因此基于数学命题验证的数学教学，可以在验证过程中培养学生关于证明的逻辑思维能力，通过上面的讨论可以知道，更多地是培养学生关于演绎推理的能力。那么，就逻辑推理而言，还缺少什么呢？缺少从条件预测结果的能力，也缺少从结果探究原因的能力，一言蔽之，缺少创造力的培养。为此，回顾美籍匈牙利数学教育家波利亚的论述^注88：

一位名副其实的科学家应致力于从已知的经验中引出最正确的信念来，并为了建立关于某个问题的正确信念而积累最正确的经验。科学家处理经验的方法，通常称为归纳法。

在这里，波利亚强调归纳推理能力的培养需要积累经验，事实上，正如前面所讨论的，演绎推理能力的培养也需要经验的积累，因此，在数学教学活动中一定要注重“四基”的培养，特别是要帮助学生感悟数学的思想、逐渐积累数学思维的经验。基于“四基”的教学是这样，未来基于“数学核心素养”的教学也将是这样，将在文章的最后部分讨论这个问题。