3.3 偶数与整数哪个多

“整数与偶数，哪一种数多？”有人毫不犹豫地说：“当然整数比偶数多了。”还会有人进一步补充说：“偶数的个数等于整数个数的一半！”道理很简单，因为奇数与偶数合起来就是整数，而奇数与偶数是相间排列的，所以奇数与偶数一样多，大家都是整数的一半。你认为这样的回答有道理吗？

这真是不成问题的问题！可是，往往就在这种最不成问题的问题上出了问题。

比如，我们要比较两个班的人数的多少，该怎么办呢？通常有两种办法：（1）分别数出这两个班的人数，然后比较两个班人数的多少。（2）让两个班的同学分别排成一列纵队，让两个班排第一的两个人牵起手来，排第二的两个人也牵起手来，后面的同学依次对应牵起手来。最后，如果某班所有的同学都与另一班的同学牵起了手，而另一班还有同学未与某班的同学牵手，则某班同学比另一班的人数少。

这个问题实质上问的是偶数集合与整数集合的大小关系。集合在数学上是指一类事物的总称，把所有的整数放在一起就构成整数集合，把所有的偶数放在一起就构成偶数集合。那么两个集合是怎么样比较大小的呢？对于有限集合，集合中元素的个数决定了集合的大小。比如一个学校全体学生的集合要大于这个学校中一个班的学生的集合，整体总是大于其中的一个部分的。但是对于无限集合，也是这样的吗？

无限集合中元素的个数是无限的，数也数不过来，比如整数集合、偶数集合就是无限集合。对于无限集合是不能使用有限集合的方法来比较大小的，如果两个无限集合之间可以建立一一对应的关系，那么它们是一样大的。

对于任何一个整数K，我们用2乘以K来对应，2K是偶数，属于偶数集合。这样就给出了两个集合的对应关系，使得每一个整数都唯一地对应一个偶数，每一个偶数也只对应一个整数，所以才叫一一对应。

按照无限集合的大小比较原则，整数集合与偶数集合建立了一一对应关系，所以两个集合一样大。这种无限数的结论从我们习惯的有限数中来看很难理解，但这的确是真的。

其实不仅偶数集合与整数集合一样大，有理数集合也与整数集合一样大。