3.4 “奇数塔”中的秘密

通常把奇数写成

1，3，5，…，（2n-1），…（n为自然数）

这种写法，很难发现它所特有的一些奇妙性质。

如果把奇数写成“奇数塔”的形式：

1

3+5

7+9+11

13+15+17+19

21+23+25+27+29

……

情况就大不相同了。

下面就让我们来试试看。

首先算出每行奇数的和：

稍微一看就会发现：

（1）第几行，就有几个奇数；

（2）第几行奇数的和，就等于几的立方。

现在让我们在这两个观察结果上，动动脑筋：

从29=2n-1，n=15知道，29是第15个奇数。

换一个视角，15也是行号1，2，3，4，5的和，即15=1+2+3+4+5=5（5+1）/2。

我们还知道，奇数1，3，5，7，…，（2n-1），…的和，算到第几个数，就等于几的平方。现在算到了第15个数，就等于15的平方。

验证一下：13+23+33+43+53=225=152，确实如此。

请注意观察下面的两个等式：

用式（1）中的5（5+1）/2，换掉式（2）中的15，就得到

13+23+33+43+53=［5（5+1）/2］2

推而广之，就得到：

13+23+33+…+n3=［n（n+1）/2］2

这不就是“求连续自然数立方之和的公式”嘛！

真是一个意想不到的结果！

原来，在“奇数塔”中，竟然隐藏着如此大的秘密！