习题二
1.求出不定方程x2+y2=z2满足|z|≤50的全部解、正解及本原解.
2.求出一边长为（i）15，（ii）22，（iii）50的所有商高三角形、所有本原商高三角形.
3.讨论对怎样的正整数n，不定方程x2-y2=n（i）有解，（ii）有满足（x，y）=1的解.对n=30，60，120判断这方程是否有解.有解时求出它的全部解及全部满足（x，y）=1的解.进而，提出一个求解这不定方程的方法.
4.证明：（i）（a2+b2）（c2+d2）=（ac+bd）2+（ad-bc）2；
（ii）（a2-b2）（c2-d2）=（ac+bd）2-（ad+bc）2.
5.求出斜边为（i）1105，（ii）5525，（iii）117，（iv）351的所有商高三角形、所有本原商高三角形.
6.设n≥3.证明：必有一个商高三角形以n为其一直角边的长度.
7.求面积等于（i）78；（ii）360的所有商高三角形.
8.证明：对任意整数n，不定方程x2+y2-z2=n一定可解.
9.证明：不定方程x2+2y2=z2满足（x，y，z）=1的全部正解是x=|u2-2v2|，y=2uv，z=u2+2v2，其中u，v是满足（u，v）=1，2｜/u的任意正整数.
10.求x4+y2=z2满足（x，y）=1的全部解.
11.求x2+3y2=z2满足（x，y）=1的全部解.
12.证明：不定方程1/x2+1/y2=1/z2的解一定满足
（i）（x，y）＞1；（ii）60|xy；（iii）所有（x，y，z）=1的正解是
x=r4-s4，y=2rs（r2+s2），z=rs（r2-s2），
其中r＞s＞0，（r，s）=1，2|rs，以及交换x，y.
13.设4|n＞0.证明：xn+yn=zn无xyz≠0的解.
14.证明：x4+4y4=z2无xyz≠0的解.
15.证明：x4+y2=z4无xyz≠0的解.
16.证明：不定方程组x2+y2=z2，x2-y2=w2无正整数解.
17.证明以上三题中的不定方程和不定方程组两两等价.
18.证明：商高三角形的面积一定不是整数的平方.
19.证明：x4-4y4=z2无xyz≠0的解.
20.证明：上题中的不定方程和x4+y4=z2等价.
21.证明：不定方程w2+x2+y2=z2的任一组解中，w，x，y至少有两个是偶数.进而证明：这方程的x，y为偶数的通解是
w=（l2+m2-n2）/n，x=2l，y=2m，z=（l2+m2+n2）/n，
其中n，m，l为任意整数，满足n|l2+m2.
22.证明：不定方程xn+yn=zn+1有无穷多组解.
23.证明：不定方程xn+yn=zn-1有无穷多组解.
24.证明：不定方程x2-2y4=1无正整数解.
25.证明：不定方程x4-2y2=-1除x=y=1外，无其他正整数解.
26.证明：不定方程x2-8y4=1除x=3，y=1外，无其他正整数解.
可以做IMO的题（见附录四）：［17.5］，［28.5］.