2.2 应用
利用定理2的方法与结果可以解决一些不定方程的求解问题.下面来证明两个定理.
定理4不定方程
x4+y4=z2（13）
无xyz≠0的解.
证显见，只要证明方程（13）无正整数解.用反证法.假若（13）有正整数解，那么在全体正整数解中，必有一组解x0，y0，z0，使得z0取最小值.我们要由此找出一组正整数解x1，y1，z1，满足z1＜z0，得出矛盾（注：下面论证中用到第一章中的整除性质时，请读者自己指出，不再一一说明了.）.
（i）必有（x0，y0）=1.若不然，就有素数p|x0，p|y0.由此及式x40+y40=z20推出p4|z20，p2|z0.因此，x0/p，y0/p，z0/p2也是（13）的正整数解，这和z0的最小性矛盾.因此，x20，y20，z0是方程（1）的本原解.由引理1知，x0，y0必为一奇一偶，不妨设2|y0，以及（z0，y0）=1.
（ii）g1=（z0-y20，z0+y20）=1.因为g1|（2z0，2y20）=2（z0，y20）=2，由此及2｜/z0-y20即得g1=1.由此及由式（13）推出的
（z0-y20）（z0+y20）=x40，
利用第一章5推论5得到
z0-y20=u4，z0+y20=v4，
这里v＞u＞0，（u，v）=1，2｜/uv.注意到这时有u2+v2=8k+2，进而有
（iii）g2=（v2-u2，（v2+u2）/2）=1.因为
g2|（2v2，2u2）=2（u2，v2）=2，
由2｜/uv可推出2｜/（u2+v2）/2，因此g2=1.利用第一章5推论5，由此及式（14）得到
v2-u2=a2，（v2+u2）/2=b2，（15）
这里a＞0，b＞0，（a，b）=1，2|a，2｜/b.
（iv）由u，v满足的条件及式（15）推得
0＜b＜v＜z0
以及u，a，v是方程（1）的本原解且2|a.因此由定理2知，必有r，s满足式（7），使得
u=r2-s2，a=2rs，v=r2+s2.
由此及式（15）的第二式即得
r4+s4=b2.
这表明r，s，b是方程（13）的正整数解，且有b＜z0，这和z0最小性矛盾.所以（13）无正整数解.证毕.
证明定理4的方法通常称为Fermat无穷递降法.定理4的几何意义是：不存在直角边长均为平方数的商高三角形.由定理4立即推出
推论5不定方程
x4+y4=z4
无xyz≠0的解.
数学中一个未解决的著名问题是（注：Fermat大定理已于1993年6月由英国数学家Andrew Wiles所解决.这一问题相当于证明：在代数曲线ξn+ηn=1（n≥3）上无非显然的有理点.）：当n≥3时，不定方程
xn+yn=zn
无xyz≠0的整数解.这通常称为Fermat Last Theorem，即Fermat大定理.这是因为Fermat不加证明地提出了许多数论中的定理，这就是其中的一个.后来，大多数结论被证明是对的，个别的则被否定了.而最后唯有这一个“定理”既没有被证明也没有被否定.推论5表明当n=4时结论是正确的.关于这问题已经得到了许多结论，但这些讨论已远远超出了本书的范围，在第六章5将证明n=3时结论也成立.
定理6不定方程
x2+y2=z4（16）
的满足条件（x，y）=1的全部正整数解是
x=|6a2b2-a4-b4|，y=4ab（a2-b2），z=a2+b2（17）
及
x=4ab（a2-b2），y=|6a2b2-a4-b4|，z=a2+b2，（18）
其中a，b为满足以下条件的任意整数：
a＞b＞0，（a，b）=1，2｜/a+b.（19）
证设x，y，z是（16）的正整数解，满足（x，y）=1.因此，x，y，z2是方程（1）的本原解.由引理1知，x，y为一奇一偶，不妨设2|y.由定理2知，必有
x=r2-s2，y=2rs，z2=r2+s2，（20）
其中r，s满足式（7）.因而r，s，z也是方程（1）的本原解.若2|s，则由定理2知
r=a2-b2，s=2ab，z=a2+b2，（21）
其中a，b满足（注意r＞s）
a＞b＞0，（a，b）=1，2｜/a+b，a2-b2＞2ab.（22）
由式（20），（21）得
x=a4+b4-6a2b2，y=4ab（a2-b2），z=a2+b2.（23）
由式（22）得
若2|r，则由定理2知
r=2ab，s=a2-b2，z=a2+b2，（25）
其中a，b满足（注意r＞s）
a＞b＞0，（a，b）=1，2｜/a+b，2ab＞a2-b2.（26）
由式（20），（25）得
x=6a2b2-a4-b4，y=4ab（a2-b2），z=a2+b2.（27）
由式（26）得
由式（23），（27）及式（24），（28）推出：当2|y时，解由式（17），（19）给出.由对称性推出，当2|x时，解由式（18），（19）给出.此外，容易直接验证：由式（17），（18），（19）给出的x，y，z一定是方程（16）满足（x，y）=1的解.定理证毕.