2　x²+y²=z²及其应用

这一节讨论二次不定方程

x²+y²=z²，（1）

以及它的应用.方程（1）通常称为商高方程或Pythagoras方程.方程（1）满足xyz=0的解称为显然解，xyz≠0的解称为非显然解.容易看出，全体显然解是

0，±a，±a；±a，0，±a，a≥0，（2）

这里正负号任意选取.若x，y，z是（1）的非显然解，那么，对任意正整数k，±kx，±ky，±kz（正负号任选）也是（1）的非显然解；以及对x，y，z的任意的正公约数d，±x/d，±y/d，±z/d（正负号任选）也是（1）的非显然解.因此，为了求出全部非显然解，只要求方程（1）满足以下条件的解

x＞0，y＞0，z＞0，（x，y，z）=1，（3）

即既约的正解x，y，z，这样的解称为方程（1）的本原解.下面先讨论它的求解方法.