习题一

1.求解以下方程：

（i）3x₁+5x₂=11；（ii）60x₁+123x₂=25；

（iii）903x₁+731x₂=1106；（iv）21x₁+35x₂=98；

（v）1402x₁-1969x₂=2.

2.求解以下方程：

（i）x₁-2x₂-3x₃=7；（ii）3x₁+6x₂-4x₃=7；

（iii）6x₁+10x₂-21x₃+14x₄=1.

3.求解不定方程组：

（i）x₁+2x₂+3x₃=7，2x₁-5x₂+29x₃=11；

（ii）3x₁+7x₂=2，2x₁-5x₂+10x₃=8；

（iii）x²₁+x²₂=x²₃，x₂=（x₁+x₃）/2；

（iv）x₁+x₂+x₃=94，x₁+8x₂+50x₃=87；

（v）x₁+x₂+x₃=99，x₁+6x₂+21x₃=100；

（vi）x₁+x₂+x₃+x₄=100；x₁+2x₂+3x₃+4x₄=300，

x₁+4x₂+9x₃+16x₄=1000.

4.设（a，b）=1，c为整数.证明：在平面直角坐标系中以ax+by=c为方程的直线上，任一长度≥（a²+b²）^1/2的线段上（包括端点）必有一点，其坐标为整数.

5.证明：a₁x₁+a₂x₂=c的通解为x₁=e+ft，x₂=g+ht，t=0，±1，±2，…（其中e，f，g，h为整数）的充分必要条件是x₁=e，x₂=g是解以及

f=a₂/（a₁，a₂），h=-a₁/（a₁，a₂）

或f=-a₂/（a₁，a₂），h=a₁/（a₁，a₂）.

6.设k＞h.我们把不定方程组a_1jx₁+…+a_kjx_k=c_j（1≤j≤h）写为矩阵形式：

其中矩阵A=（a_ij）是h行k列.又设T是元素均为整数的k阶矩阵，行列式等于±1，以及d₁，…，d_k是整数.再设

有解.

7.在1定理3的符号下，证明：

（i）1的不定方程（1）等价于不定方程组

a₁x₁+a₂x₂=g₂y₂，g₂y₂+a₃x₃+…+a_kx_k=c；

（ii）对任一取定的2≤h＜k，1的不定方程（1）也等价于不定方程组

a₁x₁+…+a_hx_h=g_hy_h，g_hy_h+a_h+1x_h+1+…+a_kx_k=c；

（iii）x₁，…，x_k是不定方程（1）的非负解（或正解）的充分必要条件是x₁，…，x_k，y_h是（ii）中的不定方程组的非负解（或正解）；

（iv）x₁，…，x_k是（1）的非负解（或正解）的充分必要条件是x₁，…，x_k，y₂，…，y_k-1是定理3中的不定方程组的非负解（或正解）；

（v）由（iv）提出一个求不定方程（1）的非负解（或正解）的方法，并用以求出1例5的不定方程的全部非负解.

8.求以下方程的全部非负解、全部正解：

（i）5x₁+7x₂=41；（ii）96x₁+97x₂=1000；

（iii）7x₁+3x₂=123；（iv）15x₁+12x₂+20x₃=59.

9.有大学生、中学生和小学生共20人去公园，大学生门票每人3元，中学生每人2元，小学生每人5角.已知门票钱共20元.问：大、中、小学生各有几人？

10.有面值为1元、2元及5元的人民币共50张，为使它们的总值是100元，这些面值的人民币的张数可以如何选择？

11.有甲、乙、丙三人共有100元钱.如果甲的钱变为原来的6倍，乙的钱变为原来的1/3，丙的钱不变，则三人仍然共有100元.丙的钱不多于30元.问：甲、乙、丙各有多少钱？

12.某人买了黑、白瓜子共12包，花了9元9角.每包白瓜子比黑瓜子贵3角，且白瓜子的包数比黑瓜子多.问：黑、白瓜子各买了几包？

13.有甲、乙两人分别拿了40个和30个鸡蛋到集市上去出售.开始他们都以5角一个出售，在各自出售了一些后，降低价格，但仍都以同样的价格（每个若干角）出售.到鸡蛋全卖完时，他们发现所得的钱相同.问：他们最多能得多少钱？最少能得多少钱？

14.甲班有儿童7人，乙班有10人.现有100个苹果分给甲、乙两班.问甲、乙两班要各分多少，才能使甲班的每个儿童分到的苹果一样多，乙班的每个儿童分到的苹果也一样多.

15.（i）将分数23/30表示为三个既约分数之和，它们的分母两两既约；

（ii）将23/30表示为两个既约分数之和，它们的分母既约.

16.有五个水手和一只猴子在一个小岛上，他们白天采集了一些椰子作为食物.晚上，一个水手醒了，决定拿出自己的一份椰子.他把椰子分为相等的五份后，还剩下一个，所以他把剩下的一个给了猴子，然后把自己的一份藏起来，就回去睡了.过了一会儿，第二个水手醒了，他和第一个一样，也决定拿出自己的一份.当他把剩下的椰子分为相等的五份后，也还剩下一个，他把这一个也给了猴子，然后把自己的一份藏起来，也回去睡了.剩下的三个水手也依次做了同样的事情.第二天早上，他们醒来后，都装得什么事也没有发生一样，把剩下的椰子分为相等的五份，一人一份，这次一个也没有剩下.问：原来这堆椰子最少有多少，他们每人总共拿到了多少椰子？

17.求以下不定方程组的全部正解：

（i）2x₁+x₂+x₃=100，3x₁+5x₂+15x₃=270；

（ii）x₁+x₂+x₃=31，x₁+2x₂+3x₃=41.

18.将定理4，定理5推广到（a₁，a₂）=g＞1的情形.

19.详细写出：（i）由定理4成立推出定理5的证明；（ii）由定理5成立推出定理4的证明.

20.63x₁+110x₂=6893有无正解？

21.设a₁，a₂，c是正整数，（a₁，a₂）=1.对于方程a₁x₁+a₂x₂=c有以下结论：（i）c＜a₁+a₂时一定没有正解；（ii）全体非负解和全体正解相同的充分必要条件是a₁｜/c且a₂｜/c；（iii）若a₁|c，a₁a₂｜/c，则正解的个数等于［c/（a₁a₂）］；（iv）若a₁a₂|c，则正解个数等于

-1+c/（a₁a₂）.

22.设a₁，a₂，a₃是两两既约的正整数.证明：不定方程a₂a₃x₁+a₃a₁x₂+a₁a₂x₃=c，当c＞2a₁a₂a₃-a₁a₂-a₂a₃-a₃a₁时一定有非负解；当c=2a₁a₂a₃-a₁a₂-a₂a₃-a₃a₁时无非负解.

23.设n是正整数.证明：不定方程x₁+2x₂+3x₃=n的非负解的个数等于有理函数（1-y）^-1（1-y²）^-1（1-y³）^-1的幂级数展开式中yⁿ的系数.你会求出这个系数吗？如何把这方法推广，去求不定方程a₁x₁+…+a_kx_k=n的非负解个数？这里a₁，…，a_k，n是正整数.如果要求正解的个数，以上的方法要作怎样改变？

24.设1的不定方程（1）有解.证明：一定存在一组解x₁，x₂，…，x_k满足

|x_j|≤|c|+（k-1）H，j=1，2，…，k，

其中H=max（|a₁|，…，|a_k|）.

可以做IMO的题（见附录四）：［24.3］.