2.3 状态转移矩阵的性质及其计算方法
2.3.1 线性定常系统状态转移矩阵的运算性质
1.
证明
这一性质表明，Φ（t）=eAt满足齐次状态方程
=Ax，且AΦ（t）与Φ（t）A满足交换律。事实上，Φ（t）=e At是非奇异矩阵（证明见性质4），从式（2-13）可见，齐次状态方程对应初始状态x（0）的解x（t）为Φ（t）=eAt的n个线性无关列向量的线性组合。因此，Φ（t）=eAt的n个线性无关列向量构成齐次状态方程的基本解组，其仅与系统矩阵A有关，而与输入、输出无关，这与标量微分方程解的结构理论本质一致。鉴于此，Φ（t）=eAt也称为
=Ax的基本解矩阵。
2.Φ（0）=I
这一性质可由
的定义式中令t=0得证。结合性质1，有
。
3.Φ（t）Φ（τ）=Φ（t+τ）
证明
由二项式定理，有
故
这一性质表明，状态转移矩阵具有分解性。由此分解性，易推知，若n为整数，则Φ（nt）=（Φ（t））n。
4.（Φ（t））-1=Φ（-t）
证明 由状态转移矩阵的分解性，有
Φ（t）Φ（-t）=Φ（t-t）=Φ（0）=eA·0=I
Φ（-t）Φ（t）=Φ（-t+t）=Φ（0）=eA·0=I
又由逆矩阵定义得
（Φ（t））-1=Φ（-t）或（Φ（-t））-1=Φ（t）
这一性质表明，状态转移矩阵非奇异，系统状态的转移是双向、可逆的。t时刻的状态x（t）由初始状态x（0）在时间t内通过状态转移矩阵Φ（t）转移而来，即x（t）=Φ（t）x（0）；则x（0）可由x（t）通过Φ（t）的逆转移而来，即x（0）=（Φ（t））-1x（t）。
5.Φ（t2-t1）Φ（t1-t0）=Φ（t2-t0），t0＜t1＜t2
证明 由状态转移矩阵的分解性，有
这一性质表明，系统状态的转移具有传递性，t0至t2的状态转移等于t0至t1、t1至t2分段转移的累积。
以上性质均与标量指数函数eat的基本性质相似，但一般有
eAteBt≠e（A+B）t
请读者证明：只有当A与B为可交换矩阵，即AB=BA时，才有
eAteBt=e（A+B）t
2.3.2 线性定常系统状态转移矩阵的计算方法
1.级数展开法
直接根据矩阵指数的定义式计算，即
级数展开法具有编程简单、适合于计算机数值求解的优点，但若采用手工计算，因需对无穷级数求和，难以获得解析表达式。
2.拉普拉斯变换法
设t0=0，对式（2-1）两边取拉普拉斯变换得
sx（s）-x（0）=Ax（s）
（sI-A）x（s）=x（0）
x（s）=（sI-A）-1x（0）
取拉普拉斯反变换得，t0=0时，式（2-1）的解为
与式（2-13）对比，得
事实上
故（sI-A）的逆一定存在，即
则
因此，式（2-16）给出了求解e At闭合形式的一种简便方法，只要预先算出“预解矩阵”[（sI-A）-1]，然后对“预解矩阵”进行拉普拉斯反变换即求得eAt。
3.利用特征值标准型及相似变换计算
（1）若n阶方阵A的特征值为λ1，λ2，…，λn，且互异
设对应的模态矩阵为
式中，列向量Vi为对应于特征值λi的特征向量，即AVi=λiVi，且有
则
证明 因为
所以
又V-1AV=
=Λ，其中，Λ为方阵A对应的对角线标准型。
V-1A2V=V-1AAV=V-1AIAV=V-1AVV-1AV=（V-1AV）（V-1AV）=Λ2
推广得
将式（2-20）代入式（2-19）得
则
故式（2-18）得证。
由式（2-18）及以上证明过程，可得如下结论：
①对方阵A进行相似变换所得相似矩阵PAP-1的矩阵指数等于对A的矩阵指数作相同的相似变换，即
②若n阶方阵A的特征值λi（i=1，2，…，n）互异，则其矩阵指数eAt的n个特征值分别为eλit，i=1，2，…，n，且eAt与A具有相同的模态矩阵V。
（2）若n阶方阵A有重特征值时
当A有重特征值时，只有在A有n个线性无关的特征向量即诸重特征值的几何重数等于其代数重数的条件下，A才能经相似变换化为对角线标准型Λ；否则，存在非奇异变换阵P，使相似变换后的矩阵P-1AP为约当（Jordan）标准型J，即
仅考虑诸重特征值的几何重数均为1的特殊情况，则
式中，Ji（i=1，2，…，l）为形如式（2-25）所示的mi维约当块，即
式（2-25）中的λi（i=1，2，…，l）为方阵A的m i重特征值，其几何重数αi=n-rank（λiI-A）=1，且
。
若m i=1，则Ji=λi，为约当块的特例。对应于式（2-23），由式（2-22），有
式中，mi维子矩阵
（i=1，2，…，l）为式（2-25）所示约当块Ji的矩阵指数，根据矩阵指数的定义式，可证明
为式（2-27）所示的上三角形矩阵，即
4.化为A的有限项多项式计算eAt
（1）凯莱-哈密顿（Cayley-Hamilton）定理
n阶方阵A满足其特征方程，即设n阶方阵A的特征方程为
f（λ）=|λI-A|=λn+an-1λn-1+…+a1λ+a0=0
则
f（A）=An+an-1An-1+…+a1A+a0I=0
凯莱-哈密顿定理是矩阵论的重要定理，基于该定理可将eAt的无穷级数定义式简化为有限项多项式计算，从而适合求eAt的解析形式。有关该定理的证明可参阅矩阵理论的有关著作。
（2）待定系数法计算eAt
根据凯莱-哈密顿定理，对n阶方阵A，当k≥n时，Ak可用A的（n-1）次多项式表示，即在eAt的无穷级数定义式中，仅有A0=I，A，…，An-1是独立的，而所有k≥n的A k均可表示为I，A，…，An-1的线性组合，故eAt可用A的（n-1）次多项式表示，即
式中，α0，…，αn-1为待定的一组关于t的标量函数，其求解需要先计算A的特征值。
①若n阶方阵A的特征值为λ1，λ2，…，λn，且互异，则采用式（2-17）的模态矩阵V对式（2-28）作相似变换，得
由式（2-20）、式（2-22），式（2-29）化简为
将式（2-30）展开，得
式（2-31）为关于α0，…，αn-1的n个独立方程，解之，得
②若n阶方阵A有重特征值，这时由式（2-31）构成的关于α0，…，αn-1的独立方程数将小于n，必须补充新的方程。不失一般性，设A有一个m重的特征值λ0，其余n-m个特征值λ1，λ2，…，λn-m为单特征值，则由式（2-31）构成的关于α0，…，αn-1的独立方程数为n-m+1个，即
这时可对下式
eλt=α0（t）+α1（t）λ+α2（t）λ2+…+αn-1（t）λn-1
两边在λ=λ0处从一阶到m-1阶逐阶求导（m-1）次，以补充（m-1）个独立方程，即
联立求解式（2-33）及式（2-34），可求得待定的标量函数α0，…，αn-1。特别地，若n阶方阵A的特征值λ0为n重，则α0，…，αn-1的解为
【例2-1】 已知A
，
求eAt。
解
方法一 运用级数展开法求解
方法二 运用拉普拉斯变换法求解
方法三 利用特征值标准型及相似变换求解
A为友矩阵的转置，可直接列出其特征方程
|λI-A|=λ2+4λ+3=0
特征值λ1=-1，λ2=-3，可求得其对应的特征向量分别为
，
，
则
，
，
即有
方法四 待定系数法计算
eAt=α0（t）I+α1（t）A
式中
则
【例2-2】 已知A=
，
分别应用特征值标准型及相似变换、待定系数法求eAt。
解 矩阵A的特征方程
特征值λ1=2，λ2=1（2重），2重特征值λ2=1的几何重数α2=n-rank（λ2I-A）=3-2=1。
方法一 应用特征值标准型及相似变换计算
2重特征值λ2的几何重数α2=1，故其对应的独立特征向量个数为1个，A只有两个线性无关的特征向量，只能与约当阵相似，易求得相似变换矩阵
则
方法二 应用待定系数法求解
eAt=α0（t）I+α1（t）A+α2（t）A2
因为λ1=2，λ2=1（2重），由式（2-31）仅构成两个关于α0，α1，α2的独立方程，即
需对下式
eλt=α0（t）+α1（t）λ+α2（t）λ2
两边在λ=λ2处求一阶导数，以补充一个独立方程，即
teλ2t=α1（t）+2α2（t）λ2
联立求解，得
则
【例2-3】 已知A=
，
分别应用特征值标准型及相似变换、待定系数法求eAt。
解 矩阵A的特征方程
特征值λ1=2，λ2=4（2重），2重特征值λ2=4的几何重数α2=n-rank（λ2I-A）=3-1=2。
方法一 应用特征值标准型及相似变换计算
2重特征值λ2的几何重数α2=2，故其独立特征向量个数为2个，则A有3个线性无关的特征向量，其能与对角阵相似。易求得相似变换矩阵
则
方法二 应用待定系数法求解
与例2-2方法二求解步骤相同，可得
则
【例2-4】 已知线性定常系统
=Ax的状态转移矩阵
求系统矩阵A。
解
方法一 由线性定常系统状态转移矩阵的运算性质：
方法二 由线性定常系统状态转移矩阵的运算性质：
【例2-5】 线性定常系统齐次状态方程为
，其中A为2×2维的常数阵。已知当
时，状态方程的解
当
时，状态方程的解
，
求系统状态转移矩阵Φ（t）及系统矩阵A。
解 对应初始状态x（0），自由运动的解为：x（t）=Φ（t）x（0）。由题意得
即
则
