2.2 线性定常齐次状态方程的解

线性定常系统在输入u为零时，由初始状态引起的运动称为自由运动，其可用式（2-1）所示的齐次状态方程描述，即

式中，x为线性定常系统的n维状态向量；x（t0）为n维状态向量在初始时刻t=t0的初值；A为线性定常系统的n×n维系统矩阵。

式（2-1）的解x（t）（其中t≥t0）称为自由运动的解或零输入响应。若矩阵A仅为一阶，即A=a（a为常数），则向量-矩阵微分方程式（2-1）变为式（2-2）所示的标量微分方程，即

式（2-2）为一阶线性齐次常微分方程，由高等数学常微分方程求解理论，其满足初始条件的解为

式（2-3）中的指数函数可展为泰勒级数

仿照标量微分方程的解，设式（2-1）的解为式（2-5）所示的向量幂级数，即

将式（2-5）代入式（2-1），得

若所设解为真实解，则式（2-6）两边同幂次项系数应相等，即

将初始条件代入式（2-5），得b0=x（t0），则式（2-1）的解为

式中，I为n阶单位矩阵。仿照式（2-4）中标量指数函数的无穷级数定义，定义式（2-8）括号中的n阶矩阵无穷级数为矩阵指数，即

式中，规定A0=I。

则式（2-1）的解可用系统矩阵A的矩阵指数表达为

式（2-10）表明，线性定常系统在无输入作用即u（t）≡0时，任一时刻t的状态x（t）是由起始时刻t0的初始状态x（t0）在t-t0时间内通过矩阵指数演化而来的。鉴于此，将矩阵指数称为状态转移矩阵，并记为

状态转移矩阵是现代控制理论最重要概念之一，由此可将齐次状态方程的解表达为统一形式，即

式（2-12）的物理意义是：自由运动的解仅是初始状态的转移，状态转移矩阵包含系统自由运动的全部信息，其唯一决定了系统中各状态变量的自由运动。对线性定常系统而言，在某一确定时刻，其状态转移矩阵为n阶常数矩阵，式（2-12）所表达的x（t0）与x（t）之间的转移关系在数学上可视为n维向量中的一种以状态转移矩阵为变换阵的线性变换。

以上分析均设初始时刻t0≠0。若t0=0，则对应初始状态为x（0），自由运动的解为

为了表达简便，以下的讨论若不作说明，均设初始时刻t0=0。