2.4 线性定常非齐次状态方程的解

线性定常系统在输入信号u作用下的运动称为强迫运动，其可用式（2-36）所示的非齐次状态方程描述，即

下面求解非齐次状态方程式（2-36），以研究控制作用下系统强迫运动的规律。

非齐次状态方程（t）=Ax（t）+Bu（t）可改写为式（2-37），即

式（2-37）两边左乘e-At，得

由矩阵指数性质1及导数运算法则，式（2-38）即为

对式（2-39）两边在t0到t闭区间进行积分，得

即

式（2-41）两边左乘e At，由矩阵指数性质4及性质3得式（2-36）的解为

由式（2-11），式（2-42a）也可写为

式（2-42）表明，线性定常非齐次状态方程的解x（t）由源于系统初始状态的自由运动项（即系统初始状态转移项）Φ（t-t0）x（t0）和源于系统控制作用的受控运动项（强迫响应两部分构成，这是线性系统叠加原理的体现，而且正因为有受控项存在，才有可能通过选择适当的输入控制信号u，达到期望的状态变化规律。

以上推导为了不失一般性，设初始时刻t0≠0。若特殊情况下，t0=0，对应初始状态为x（0），则线性定常非齐次状态方程的解为

应用定积分的换元积分法，式（2-43a）也可写为

有时应用式（2-43b）求解较为方便。

事实上，对初始时刻t0=0的情况，也可应用拉普拉斯变换法求解非齐次状态方程。对式（2-37）两边取拉普拉斯变换，并移项整理得

式（2-44）两边左乘（sI-A）-1得

式（2-45）两边取拉普拉斯反变换得

根据式（2-16）及卷积定理，由式（2-46）可推出式（2-43）。

【例2-6】 已知线性定常系统状态方程为，设初始时刻t0=0时x（0）=0，试求u（t）=1（t）为单位阶跃函数时系统的响应。

解

方法一 应用式（2-43）直接求解（本题u（t）=1（t），应用式（2-43b）求解较方便）

在例2-1中，已求得此系统的状态转移矩阵

则根据式（2-43b）得

方法二 应用拉普拉斯变换法求解

在例2-1中，已求得

则根据式（2-46）得