1.1.8 全概率公式

定义1-9：假设B₁、B₂、…为有限或无限个事件，它们两两互斥，且在每次试验中至少发生一个，即

把具有式（1-8）所示的这些性质的一组事件称为一个“完备事件群”。

现考虑任意事件A，因Ω为必然事件，有

依据加法定理，有

再考虑到条件概率的定义式（1-6），有P(AB_i)=P(B_i)P(A|B_i), 将其代入上式得

式（1-9）就称为“全概率公式”，从其推导的过程可以理解其名称的由来：“全部”概率P(A)被分解成许多部分之和。其理论和实际意义在于：在较复杂的情况下直接计算P(A)是不容易的，但是A总是随某个B_i伴出，则可以适当构造这一组B_i，往往可以简化计算。

全概率公式所蕴含和表明的这一思路，对于车辆耐久性道路载荷数据统计分析意义重大。车辆耐久性工程中，一般来说用“伪损伤”或与之等效的一些量（后面会讲到）来衡量和表征载荷的强度。车辆耐久性载荷谱编制方面的一个顶层输入之一，就是当车辆行驶到某一设计里程时（事件发生时），“伪损伤”或与之等效的这些量能达到什么程度？或者说这些量达到某一程度的概率P(A)是多少。限于现实可行的数据获取条件，直接计算P(A)是不容易的，但是可以适当地构建一组完备事件群B_i，并且获得各个B_i的概率，在此基础上使得获得随某个B_i伴出的P(A|B_i)变得可能，最终运用全概率公式完成对于P(A)的估算。后面将会看到，对于一组完备事件群B_i的构建正是道路载荷大数据分析工作中对于“工况空间”的构建、识别、划分和统计。

对于全概率公式还可以用如下一个很好的角度加以理解，并可以据此更好地对其加以应用：把B_i看作导致事件A发生的一种可能途径。对于不同的途径，A发生的概率[即条件概率P(A|B_i)]各不相同，而采取哪个途径却是随机的。在这种情况下，从直观上不难猜测，A的综合概率P(A)应该在最小的P(A|B_i)和最大的P(A|B_i)之间，它不一定是所有P(A|B_i)的算数平均，因为各种途径被使用的机会P(B_i)并不均等，一个更合理的做法是将诸P(A|B_i)以P(B_i)为权，做加权平均，而这正是全概率公式表明的道理和实际采用的做法。这样一种认知角度和思路在后面还会多次使用。