1.6.1　一元问题

如果局部导数为零且二阶导数为正，则设计点一定在强局部极小值处：

1. f′（x*）=0

2. f″（x*）>0

导数为零使得自变量变化较小时，函数值不会改变。二阶导数为正使得一阶导数为零的点刚好在碗形函数的底部[1]。

如果一个点的一阶导数为零且二阶导数是非负的，它也可以是局部极小值点：

1. f′（x*）=0，一阶必要条件（FONC）[2]。

2. f″（x*）≥0，二阶必要条件（SONC）。

这些条件被称为必要条件，因为所有局部极小值都遵守这两个规则。不幸的是，并非所有一阶导数和二阶导数为零的点都是局部极小值点，如图1.7所示。

可以使用泰勒展开式[3]得到候选点x*的一阶必要条件。

其中渐近符号O（h2）在附录C中讨论。

二阶必要条件也可以从泰勒展开式获得：

我们知道一阶必要条件必满足：

因为h>0。因此f″（x*）≥0的充分条件是x*在局部极小值处。

[1] 如果f′（x）=0并且f″（x）<0，那么x是一个局部极大值点。

[2] 满足一阶必要条件的点有时称为平稳点。

[3] 泰勒展开式在附录C中介绍。