1.6.2　多元问题

x在f的局部极小值处，必须满足以下条件：

1.∇f（x）=0，一阶必要条件（FONC）。

2.∇2f（x）半正定（对该定义的解释请见附录C.6节），二阶必要条件（SONC）。

FONC和SONC是一元情况的推广。FONC告诉我们函数在x处无变化。图1.8展示了满足FONC的多元函数的示例。SONC告诉我们x在碗形函数上。

图1.8　梯度为零的三个局部区域（见彩插）

FONC和SONC可以通过简单的分析获得。为了使x*在局部极小值处，它所对应的函数值必须小于周围点处的函数值：

如果求f（x*）的二阶近似，可以得到：

我们知道，在忽略高阶项的情况下，极小值的一阶导数必须为零。整理之后，可以得到：

这是半正定矩阵的定义，并且满足SONC。

例1.1说明了如何将这些条件应用于Rosenbrock香蕉函数。

例1.1　针对Rosenbrock函数检查点的一阶和二阶必要条件（右图中的点表示极小值点，详见彩插）

考虑Rosenbrock香蕉函数

点（1，1）是否满足FONC和SONC？

梯度是：

黑塞矩阵是：

计算得出∇（f）（［1，1］）=0，所以满足FONC。［1，1］处的黑塞矩阵为：

它是正定的，所以满足SONC。

仅依靠FONC和SONC难以实现最优化。对于二次可微函数的无约束优化，如果满足FONC且∇2f（x）是正定的，则该点一定处于强局部极小值处。这些条件统称为二阶充分条件（Second-Order Sufficient Condition，SOSC）。