数学与心灵

2004年，我应邀到伦敦一所学校做一堂演示课，这所学校地处市中心一个非常贫困的社区。课间休息时我观察玩耍的孩子们，发现整个操场上都是相互追打的场景。不在打架的孩子们围成一圈，为打架的孩子加油。有几个孩子因为受伤而不得不被带离操场，在操场监督的老师们也无法叫停打斗。

我曾应邀为这个学校有行为问题的班级教授数学。我对班上那些十一二岁被认为是困难学生甚或暴力学生的孩子们说，当我像他们那么大时我以为我很笨，而且也学不好数学。我说，如果他们不理解某些地方，他们可以让我停下，并请我再次解释这些地方。如果他们没有学到东西，那是我的错，不是他们的。然后我教他们阅读二进制码，在电脑中代表数字的一连串0与1。学生们似乎都把自己当成了小小密码破译员，要求我给他们越来越长的密码。我表演了一个读心的小把戏，他们弄清了这个把戏与密码之间的关联，并且都想上前来表演这个把戏。在我来到这个班的第三天，当老师和我一起进入教室时，孩子们欢呼了起来。

很少有人会将数学与社会公平联系起来。但是数学是一个改变弱势孩子自我评价的理想工具。我无法在一堂课里让一个班里的所有6年级学生，都达到以同等流利的水平去阅读一篇故事或散文，但是我却能够仅用一节课就让整个班的数学程度达到大概同等水平，因为数学可以分解为很多细小的步骤（或概念线索），因为它可以通过让每一步增加一点点挑战性而产生巨大的兴奋。

弱势学生从学好数学里获得的自信，能够鼓励他们在生活的其他方面做得更好。当孩子们发现他们能够学会数学，他们就会开始相信自己能学习任何东西，因为数学被认为是困难科目。在伦敦，一个JUMP的试点项目显著提高了那些困难学生的通过率，一位教师反馈说，有行为问题的学生会训斥其他在数学课上捣乱的人，因为他们在数学课堂上十分投入。另一位老师写道，她的学生们变成了“大胆而独立的问题解决者”。在保加利亚的一个试点项目里，观察者反馈说，使用JUMP课程的班级，学生们会感到更快乐、更投入，也会更加合作。即便不是教数学，代课老师也能分辨一个班级是否采用了这种教学方法，因为采用了JUMP课程的班级，学生会更加投入，好奇心更强烈，能够更好地一起合作。

我曾在许多班里教过二进制码的课程，但是在温哥华的一个5年级班里，我经历了我最难忘的教学体验。在我的课上，当学生们正在解答我写在黑板上的一些问题时，我注意到一个看起来很害羞的男孩，他看上去要比他的实际年龄小。他俯身趴在桌子上，正快速在一张纸上边写边算。当我扫视他那张纸时，我注意到他正写下从1到15的数字，并将它们译成二进制码。

如何将一个数字写成二进制

因为我们有10根手指，我们的数字系统围绕10的倍数建立。对于一个人来说，数字1101代表有1个1000、1个100、0个10以及1个1：

电脑中的线路基本上只有两种状态——通电或者断电——所以电脑只能有效地处理两个符号。这就是为什么电脑只使用含有两个数字（0与1）的数字系统，其中每个位置的值都是2的倍数。对于一台电脑来说，二进制数1101代表的是1个8，1个4，0个2与1个1:

为找出这个代码表示的数字，可以将图表中每一个1上面出现的任何2的倍数加起来。因为八位、四位与一位下面各有一个1（即8+4+1=13），所以二进制码1101代表数字13。同样地，1010代表1个8与1个2，也就是10。

如上图所示，将一个给定的二进制数换算成通常的数字相对容易，而将一个数字转译为二进制则会稍微困难一些。我已经教过学生如何将二进制码转换为数字，但是那个男孩自己找到了如何将数字变成二进制码的逆运算方法。当我要把这个方法教给学生时，我拿起男孩的这张纸，向班里展示了他所做的成果。然后我让班里的同学像他做的那样去想出解码的方法。

当这堂课结束时，老师告诉我，在决定是否让这个男孩参与课程时她曾感到非常紧张，直到最后一刻才决定让他进来。悲剧的是，这个男孩天生心脏较弱，他的身体状况特别糟糕，被预测只能再多活几年。他的数学一向不好，而且当他遇到困难时可能会变得非常焦虑与沮丧。为保护他的健康，老师不得不小心翼翼的，以免给这个男孩带来过大的压力，她之前一直很担心这个小男孩会在我的课堂上焦虑发作。

后来老师发给我一系列邮件，告诉我这个男孩取得的进步。她说，我的课程让他变得“自信心高涨”，那天下午他回到家，制作了自己的二进制本，在本子上写满了他的演算。最终他告诉父母，希望他们请一个辅导老师来帮助他赶上课程，因为他决定了将来要做一个数学家。那一年，在辅导机构与学校里，他都取得了非常显著的进步。在他上一个生日时，他坚持要离开生日派对赶回家，因为他不想错过自己的数学课程。

我也记得那个班里很多其他学生，因为他们在课堂上都兴奋万分。一个女孩想到，她可以将一些灯泡排成一排从而制造一台“计算机”（其中每一个灯泡代表二进制中的不同数位），点亮一串次序正确的灯泡就代表一个给定的数字。有几个学生在我做读心把戏时用的图表中发现了一些有趣的模式（此前我并没有注意到）。还有一个男孩给我写了一封相当特别的信。当我读这封信上的日期时，一度怀疑这个男孩没有被教过如何正确书写日期，然后我才意识到它是用二进制码写的。下面是这封信：

11111011000年，1月11010日 ，星期三

亲爱的约翰，

谢谢你1月11010日来我们班教我们二进制码。我很享受学习怎样阅读二进制数字。我以前总以为转译像2008这样大的数会很难，但是你让它变得如此容易，当我把你的方法教给我上1年级的兄弟威尔时，他几乎变成了一台计算机！

他已经加倍算到了500亿左右！

以前他并不擅长数学，但是上周他将乘法表记到了乘以11。有供三年级学习的JUMP数学课本吗？我想他接近这个水平了。

如果能得到帮助，此致感谢。

来自贾斯珀

在信的背面，从上到下排成一列，贾斯柏写下了2的幂（1，2，4，8，16…），这些是二进制码的基数。在这一列的底部，在数字4, 394, 967, 246 旁边，他写下“威尔最后一个双倍数”，而且在数字33, 554, 432 旁边，他写了“有趣的数字”。显然，威尔和他的兄弟也发现了直至43, 046, 721 的3的一系列幂，因为它们也被写在纸上。我没有想太多，至今不太清楚为何33, 554, 432是一个有趣的数字。但孩子们常常能看到我忽视的东西。

相信自己能力的孩子，会像喜欢从事艺术或体育那样喜欢做数学。他们热爱克服挑战，热切地去发现或理解某种美丽、

有用或新鲜的东西。他们会很高兴地花数小时去解决谜题、发现模式和寻找联系。但是多数孩子会在他们长大之前失去这种好奇心与惊奇感，就因为在这个社会中，我们对自己的期望太少。

如果孩子们不能在可见的世界看见美——比如一座白雪覆盖的山峰，或繁星闪烁的天空——我们就应该反思他们被教育或抚养长大的方式了。但是在无形的自然规律世界里，也有一种美，存在于每一个细胞与每一颗星星的优雅模式与对称性里，这种美只能通过数学来理解与欣赏。当人们无法发展自己看见世界这一方面的能力时，我们是否也该对此感到忧虑？

理念的世界里没有匮乏。当某个人理解了一个概念，它的美丽不会消耗或被用尽。一个人学到更多，不会造成另一个人学得更少。但目前，我们教育体系中的一切，似乎都是为了让真正的知识变得稀缺，让那些最深刻的思想不被所有人掌握，而只为少数人所拥有。如果他们足够幸运的话，从中学毕业的学生可能还相信自己有一两种天赋，但学校提供的科目大多是他们不感兴趣或根本学不会的。对于很多人来说，在12年这相对短的时间内，大多数兴趣之门就永远关闭了。

著名环保主义者与《寂静的春天》（Silent Spring）的作者蕾切尔·卡森（Rachel Carson），曾写道：“那些凝视地球之美的人将找到与生命一般持久的力量储备。” 推动建立美国第一座国家公园的约翰·缪尔（John Muir），曾提出自然可以为我们提供“无限的快乐源泉”。如果人们被教导从每一个层面看见世界之美，并能用他们的智慧与感官去欣赏世界的美妙设计，那么他们就可能会汲取比卡森与缪尔提到的更深刻的力量和快乐。他们也将理解世界如何相互联系、个体选择的微小效果会如何快速地累积。因此，他们将有更精细的风险意识，并能更好地保护环境。他们甚至可能受到启发，在自己的生命中腾出更多空间去感受大自然不竭的永恒与怡人的美丽——包括那些你只能通过数学才能欣赏的部分。

任何能思考的人都可以领略世界的隐藏之美。我们不必为这珍贵资源的份额而相互竞争或争夺。如果能穿过学习数学时容易感受到的恐惧与迷雾，成人可以清晰地看见这种美，也就会希望每一个孩子也能看见它。他们不会让孩子们失去学习的激情，也不会让孩子们养成有缺陷的、破坏性的思维方式，这些都是智力贫困的产物。为恢复我们用智慧与感官去洞悉世界的能力，我们需要从检视关于能力和智力的迷思开始，这些迷思阻止了包括我自己在内的许多人在数学与科学领域实现他们的全部潜力。