数学与思维
在公元前300年，希腊数学家欧几里得总结出5条公设，根据它们可以推出当时所知的所有几何真理。与其他重要的数学思想一样，这些公设如此简单，以至于孩子都可以理解。但它们又是如此强而有力，今天的数学家、科学家与工程师仍在不断发现它们所蕴含的海量真理的新应用。
下面是用现代方式陈述的这5大公设：
（1）直线是两点之间最短的距离。
（2）一条直线可以无限延伸。
（3）围绕一点可以画任意半径的圆。
（4）所有的直角角度都相等。
（5）给定一条直线A，与不在直线上的一点B，经过点B有且只有一条直线不与直线A相交（或“平行”于直线A）。
许多个世纪以来，数学家都被其中的第5条公设困扰，因为它看起来比其他公设更复杂，又不那么直观。从欧几里得的时代到19世纪之间，许多业余数学家（还有一些职业数学家）声称，他们能从其他4条公设证明出第5公设，但他们所有的证明都包含了错误。
19世纪初，两位创造性的数学家决定采取不同的路径去处理第5公设。不再试图从其他公设去证明第5条公设，雅诺什·鲍耶（János Bolyai）与尼古拉·罗巴切夫斯基（Nikolai Lobachevsky）分别独立地探索如果完全抛弃第5公设将会发生什么。让他们惊讶的是，他们发现可以在不用第5公设的情况下，发展出完美合理而一致的几何学。数学家很快意识到，如果我们生活于一个弯曲的表面，或在更高维度上的曲面空间，这些几何图形描绘的即是体验这个世界的各种方式。例如，如果你生活于具有球面曲率的宇宙，你沿着看上去是直线的路径走足够长的时间，最终你将回到你开始的地方。而如果你生活于一个巨大的球形表面（事实的确如此），你可能以为（一些人至今这样以为）你生活于一个平坦的表面。如果球体极其大，你可能不能分辨出这个表面是弯曲的。但当你理解了弯曲空间的数学，你还是可以推理出，假如你真的恰好生活在一个球体上，欧几里得的第5公设在你的世界里便不成立。
在一个平坦表面，直线是走过两点之间距离最短的路径。在一个弯曲表面，两点之间的任何最短路径——用一种更抽象的视角来看——也可以被视为一种“直线”。这些最短路径对一个生活在这个二维表面的人来说，看起来是平直的，但它们实际上会在三维空间里弯曲。
在一个球面上，在给定的一对点之间只有一条最短路径——这条路径总是处于一种被数学家称为“大圆”的特定类型曲线上。演示大圆的一种方法是，想象将一个网球沿通过球心的一个截面切成相等的两半，当你观察任一半球的环形边缘时，你看到的就是一个大圆。
地球的赤道是一个大圆，因为它将整个地球分成两个相等的半球。对于地球表面的任意一对给定点，连接它们的仅有一个大圆。如果你希望从多伦多的中心点经过最短路径飞到悉尼的中心点，你必须沿着连接两点的大圆飞行。当航班路线被投影到一张平面地图时，它们看起来通常是弯曲的，因为飞行员在跟随大圆的路径以节省时间与燃料。
因为存在无数种方法可以将一个球切成两半（沿着一个通过球心的截面），在球体的表面上有无数大圆，且每一个大圆将与其他所有大圆相交。这就是为什么欧几里得的第5公设在球面上不能成立。每一条最短路径或“直线”（当它延伸后）与其他所有“直线”相交，所以这里不存在“一对平行线”这种事情。
与此相反的是，在下图所示的马鞍形表面上，“直线”是抛物线，而欧几里得的第5公设因另一种原因而失效。
给定任一线A及任一不在线上的点B，存在不止一条“直线”通过B且不与线A相交。事实上，在马鞍形的表面上，通过点B存在无数多条与A平行的线。
数学如此有效的原因之一是它的抽象性。事实上，过去200年里取得的所有主要数学进展，都源于数学家学会了越来越抽象地看待各种数学对象，比如数字、形状和关系。平面上的一条直线，与球面上的一条大圆，除了它们都是线条这一事实之外，似乎没有多少共同之处。但是以更抽象的角度去看，它们是在各自表面之上的最短路径，都会被生活在其表面之上的人视为直线。
通过探寻弯曲空间的几何，数学家最终发展出爱因斯坦所需要的数学，从而提出了物质能让空间与时间弯曲的奇异想法。1918年，天文学家的观测表明，星星在日食时移动了位置，他们不仅证明了引力会导致光线在经过太阳附近时发生弯曲，也展示了对奥妙晦涩的数学问题（关于欧几里得第5公设是否必要）的解答，可以为科学家所能构想的最具革命性的理论提供支持。
这种类似为相对论做铺垫的巧合之事在数学上一次又一次地发生。故事经常是这样的：一位数学家决定探讨一个看上去不会有太多（或根本不会有）实际应用的问题，仅仅因为他们想使一个理论更优雅、更美，或单纯因为他们的好奇心；多年之后，他们的理论被发现正好是生物学家、化学家、物理学家或电脑科学家为取得某个主要概念突破所需要的东西。从遗传学到量子力学，现代科学的几乎每一个分支，都建立于数学家50年前至500年前发现的概念之上，数学家提出这些概念时甚至还没有人想到这些科学领域。物理学家尤金·维格纳（Eugene Wigner）将数学这种持续不断地预测改变世界科学与技术革命的趋势称为“数学不可思议的有效性”。
我想很少有在世的人像工程师与企业家埃隆·马斯克（Elon Musk）那样清晰展示了数学思维在实践中的力量。通过他的公司特斯拉（Tesla）、太空探索（SpaceX）与“挖洞”公司（The Boring Company），马斯克创造了一系列革命性的产品与技术。而且他激励或者说迫使许多公司（尤其是汽车与能源公司）以比原本预想更快的节奏去采用环保技术与商业模式。马斯克曾将他成功的一大部分原因归于他愿意运用数学从“第一原理”去分析问题。
“挖洞”公司最近才成立，因此不像马斯克的其他公司或他更有名的发明那样广为人知。这个构想类似超级高铁（它在地下管道中发射小型交通仓，因为管道中几乎没有空气，所以空气阻力极小）。创办这家公司的想法，生发自马斯克在洛杉矶街头堵车的时刻，他运用数学的第一原理来分析交通拥堵问题。
交通拥堵导致我们的经济每年损失亿万美元，并使通勤者每天的生活中有几个小时的极度烦恼时间。但是城市大多很少建设地下隧道以缓解拥堵，因为挖掘隧道的成本让人望而却步。该成本取决于需要移走的土石体积。这一体积可以通过用隧道的长度乘以隧道的横截面积来计算。而横截面积又取决于隧道的半径（为直径的一半）。马斯克意识到，他无法改变一条典型隧道的长度，但他又想如果改变隧道半径将会发生什么变化。
我们大多数人都在小学学过圆的面积公式（面积等于常数π乘以半径的平方，或者说是πr2）。该公式意味着，当半径增加隧道的横截面积将快速增加，因为面积与半径的平方成正比。如果你曾试过分别将数字1、2、3与它们自己相乘（或求这些数的平方），你就会知道当数字增大时它的平方增加得有多快了。马斯克推测，通过减小隧道的半径，他可以将挖掘一条典型隧道所需要的时间减少至原来的1/10。为了补偿减少的隧道宽度，他设想将一台车放在类似雪橇的滑车上发射出去，以高速穿过隧道。几天之后，基于为度过堵车时间而做的初级数学思考，一家公司诞生了。现在断言马斯克的各种公司将有多么成功，还为时尚早——就我来说，我不会赌他输——但仅是这些建立于数学直觉之上的公司的存在，就已经产生了正面的影响。
通过为我们提供强大的思想工具，数学能改变我们思维的运作方式。当学习数学时，我们就在学习着去发现模式，去合乎逻辑与系统化地思考、进行类比，以及透过表面的差异而进行抽象的观察。我们也学习进行推理与演绎，寻找隐藏的预设，从第一原理进行证明，通过排除某些可能性而得到谜底，制定和运用策略以解决问题，进行估计与“大致”计算，我们也学习去理解风险和因果关系，并判断数据何时重要或无意义。
不知道如何运用数学思维，一般来说，会让我们更不健康、财务上更不安全、创新性更差、生产力更低、好奇心更弱、更不聪明也更不快乐。它也让我们更容易犯错误、不理性、更加迷信并更易受煽动家影响。数学盲损害我们的经济，恶化我们的环境。如果我们在教育上不能让每个人尽展潜能，这种失败还会导致许多其他难以估量的损失。