第3章　光的反射及折射

眼睛是人类感官中最重要的器官，读书认字、看图赏画等都要用到眼睛，健康人的大脑中约80%的知识都是通过眼睛获取的。眼睛能识别不同颜色和不同亮度的光线，并将这些信息转变成神经信号，传送给大脑。人类的眼睛发展成为这样一个复杂灵巧的光学系统，是生物在自然选择过程中漫长进化的一个结果。

人的眼睛为什么能看见物体？古希腊哲学家亚里士多德（约前384—前322）提出了相遇说，认为人的眼睛和物体分别发出某种东西，两者在空中相遇形成视觉；哲学家伊壁鸠鲁（约前341—前270）坚持进入说，主张物体自身发出影像，进入眼睛，产生视觉；而几何学家欧几里得（约前330—前275）笃信发射说，认为人之所以能看见，是因为眼睛能够发射出光线。不过，欧几里得将光线从一种散漫的蒸汽状态的存在解释为某种沿直线传播的东西，认为光的行为可以应用几何学命题进行预言。

公元1世纪，正在亚历山大城学习的古希腊数学家海伦经过长期的研究，发现了光的反射定律，即光线沿两点间距离最短的路径反射。

如图3.1所示，点A、B在直线CD的同侧。那么，从点A到直线CD，然后再到点B的所有路径中，以通过直线上的点P，使得AP及BP与CD的夹角相等的这条路径的距离最短。作点A关于直线CD的对称点E。连接BE，与直线CD相交于点P。显然，∠APC=∠CPE。连接AP、PB，根据对顶角相等，有∠BPD=∠CPE，所以，∠APC=∠BPD。不难验证，从点A到直线CD，然后再到点B的所有路径中，AP+PB这条路径最短。

现代物理学中引入了镜面的切面法线，也就是说，镜子的剖面可以不是直线。如图3.2所示，入射角是入射线与法线所成的∠1，反射角是反射线与法线所成的∠2。光的反射定律可以简单表述为光线的入射角与反射角相等。

海伦曾经写过名为《反射光学》的书，其内容涉及镜子的反射理论及其实际应用。为什么从我们眼睛里发出的光线会被镜子反射？为什么又以相等的角度反射？海伦认为这是因为我们的视线从视觉器官发出时是沿着直线进行的。这个命题现在可以证实出来，因为任何以不变速度运动的东西都是沿直线运动的。以我们看到的弓上射出的箭为例，由于推力，箭在运动中力求走过尽可能短的距离，因为它没有时间使运动变慢，也就是说，没有时间走过更长的距离，推力不允许有这样的耽搁。所以，由于箭的速度，它倾向于走最短的路径，而在所有终始端相同的路径中，最短的就是直线。眼中发出的光线是以无穷大的速度运动的，当我们闭上眼睛后再睁开来观看天空，并不需要什么时间就看到天空了。尽管我们与星星的距离可以说是无限远，但当我们去看它们时立刻就看到了。而且，如果我们与星星的距离再增大，结果还是一样，所以，光线显然是以无限大的速度射出的。因此，它们若不受阻碍或被弯曲，总是沿最短的路径即直线运动。

这一段话同时也揭露了一个事实，就是海伦保留着与欧几里得相似的发射说思想，认为视觉的产生是由于眼睛发出了光线，光线以无限大的速度被物体反射回来。

亚历山大里亚时代的另一位伟大人物是克罗狄斯·托勒密（约90—168），他生于埃及，父母都是希腊人。年轻时，托勒密被送到亚历山大求学，后来长期生活在那里。托勒密对物理学的重要贡献被整理到他的《光学》一书中，其中就包括光线从一种介质进入另一种介质时发生折射的问题。托勒密认为可见光可以有两种方式改变路径：一是被反射，即被物体反弹回来，这种物体称为镜子，光线不能穿透；二是在介质中被弯曲（即折射），这时光线能穿透介质，这种介质有一个共同的名称—透明物质，因为可见光线能够穿透它们。

如图3.3（a）所示，托勒密把一枚硬币放在一只装满水的名为洗礼盆的容器的底部，假定眼睛的位置使得它发射的可见光线刚好通过洗礼盆的边缘到达比硬币略高的地点。然后让硬币保持原地不动，慢慢地向盆里注水，直到从盆边射过去的光线向下弯曲刚好落到硬币上为止。结果，原来看不到的物体现在顺着从眼睛连接到物体真正位置上方一点的直线可以看到了。但观察者不会假定视线已经弯向物体，而会认为物体自行浮了起来，向视线方向升高了。因此，物体将会出现在从它向水面所作的垂直线上。

后来，托勒密又发现光在水中产生并能被观测到的折射量，可以借助铜盆实验来确定。如图3.3（b）所示，在铜盆上作一个圆αβγδ，圆心是s。再作两条直径αsγ和δsβ，使其相交成直角，从而分出4个象限。把每个象限分成90等份并在中心放上很小的颜色标记。然后把圆盘垂直地放在一个水盆中，并向盆中注入适量的清水，使视线不受阻碍。让盘面竖立与水面垂直，并被水面一分为二，于是正好有半个圆βγδ完全处在水下，直径αsγ垂直于水面。他试着从α点附近取一段已测的弧长，例如αε，它位于水平面上两个象限之一中，在ε上放一很小的颜色标记。用一只眼睛瞄着去看，直到ε和s上的标记与眼睛在同一条直线上。同时，在对面水下的象限中沿着圆弧γδ移动一根细小的杆，直到细杆的一端与圆弧的交点η在水下的像出现在ε与s连线的延长线上。现在，如果我们测出γ点与η点之间的弧长，我们将会发现这段弧长γη总是小于弧长αε。

如果让眼睛沿着垂线αs看，视线就不会弯曲，而会落在对面的γ点上，并与αs处于同一直线上。而在任何其他位置，当弧αε增大时，弧γη也增大，但射线的弯曲量将逐渐变大。

当αε是10°时，γη为8°，弯曲量是2°。托勒密实验测量到的其他数据可以罗列如表3.1所示。

托勒密用类似方法研究了光线在空气和玻璃的交界面上的折射，并发现在这种情况下，光线的弯曲量更大。但是托勒密没有更进一步把他的观察结果用数学公式总结出来。

关于人的眼睛能够形成视觉的解释，托勒密相信欧几里得的发射说。当时，无论是支持相遇说、进入说，还是支持发射说，他们都拿不出确凿的证据反驳别人。这种争论不休的状态一直持续到阿拉伯物理学家伊本·艾尔·海什木（965—1040）的出现，他是阿拉伯世界的著名学者，拉丁语中尊称他为阿尔哈森。阿尔哈森用实验结果有力地支持了伊壁鸠鲁的进入说。

在开罗居住期间，阿尔哈森进行过著名的黑屋实验。具体的做法就是在一个黑暗的屋子里，一面墙上开一个小洞。屋外，在紧挨着这个小洞的地方挂上五盏灯。这时，他发现黑屋里出现五道光。然后，他在小洞和其中一盏灯之间放了一个障碍物，使这盏灯、障碍物和小洞在一条直线上。他发现有障碍物遮挡的那道光线消失了，黑屋里只剩下四道光了。五盏灯同时点亮，当有障碍物遮挡时，屋内的观察者只能发现其中的四盏。阿尔哈森由此推论，眼睛也是这样工作的，它只能对进入眼睛的光线产生视觉。

阿尔哈森还通过手的前后移动的锥角变化来验证自己的结论。一个人的手在移动的时候会产生大小的视觉变化，因为来自手的轮廓和外形的光线的锥角会在手移向自己的时候变大。

阿尔哈森研究了眼睛的解剖结构（图3.4），详细阐述了视觉形成的原理，彻底转变了人们对光及视觉的认识。阿尔哈森开创了对实验物理学的研究，是现代光学的开拓者，其著作《光学书》倡议使用实验科学方法，将物理和数学综合在一起，建立了一种基于古希腊光学知识的新理论。

光入射到不同介质的界面上会发生折射。1621年，荷兰数学教授斯涅尔（1580—1626）发现了光的折射定律，即斯涅尔定律。他的表述为：对于给定的两种介质来说，入射角和折射角的余割之比总是保持相同的值。因为余割和正弦成反比，这个表述也等价于现代的表述：入射角的正弦与折射角的正弦之比对给定的两种介质来说是一个常数。

如图3.5所示，介质1与介质2的折射率分别为n₁、n₂，光线从介质1的P点传播到两种介质的交界O点后，经折射进入到介质2的Q点。若入射角为θ₁，折射角为θ₂，那么，斯涅尔定律的数学表达式为：

斯涅尔没有从理论上推导出这个定律，但是通过多次的实验验证了它。

1637年，笛卡尔的《屈光学》一书出版，重新给出了光的折射定律，但是他在书中没有谈到斯涅尔的贡献，这很可能是他独立发现的。笛卡尔没有去做实验，他根据以下假设从理论上推导出了这个定律：

假设1：光速在较密的介质中较大。

假设2：对相同的介质，入射前后的光速之比对各种入射角都相同。

假设3：在折射时，平行于折射面的速度分量保持不变。

令人遗憾的是，其中假设1和假设3都是错误的。

笛卡尔的研究引起了法国数学家费马（1601—1665）的注意。费马根据下述两个假设也推导出了折射定律，其中第一项假设就是著名的时间最短原理。

假设1：光以最短的时间从一种介质的某一点传播到另一种介质的某一点。

假设2：进入较密介质中，光速将变小。

1662年，在时间最短原理的基础上，费马提出经过两个定点的光沿着最为平稳的路径传播的原理，这就是著名的费马原理。所谓的最为平稳的路径是指在数学上对时间的一阶变分为零，也可以理解为在光程中的关键点可以取极小值或者极大值，也可以是一个拐点。

费马原理当时曾引发巨大的争议，因为牛顿和笛卡尔都认为介质密度越大，光的速度就越快。1802年，英国物理学家托马斯·杨（1773—1829）通过实验证实，当光进入较高密度介质之后，光的波长会变短。因此推论，光进入到较高密度介质之后，速度会降低。