第2章　平衡问题的研究

在数学、逻辑学、文学和艺术等方面，古希腊人都表现出惊人的创造才能。但是，他们在物理学方面的成果就比较少。早期古希腊人的物理学思想绝大部分是含糊的、微不足道甚至是毫无价值的，因为他们从未尝试或者很少尝试通过实验来证实自己的判断。从阿基米德开始，古希腊才出现了为研究课题而专门从事实验的物理学家。

阿基米德（前287—前212）的父亲是一位天文学家，良好的家庭教育让阿基米德很早就对数学产生了兴趣，并且熟练掌握了许多数学技巧。他曾对数学的若干分支做出过很重要的贡献，例如在立体几何方面，他找到了圆柱体及其内接球的面积和体积之间的关系式。按照他本人的意愿，他的墓碑上就是用一个圆柱体内有一个内切球作为主要标志的。

阿基米德在《论平面图形的平衡》一书中提到了杠杆。什么是杠杆呢？一般而言，它就是围绕固定支点转动的硬棒，属于一种简单机械，在生活的各个方面都有十分重要的应用。根据实际需要，杠杆的形式多种多样，例如剪刀、扳手、撬棍、跷跷板等。

在阿基米德的时代，希腊数学完全局限于几何学，甚至连物理学领域中的各种证明都是由几何作图来完成。阿基米德讨论静力学的平衡问题时，就是遵从欧几里得《几何原理》的传统，先提出公设，然后再从中推演出若干定理。阿基米德把杠杆在实际生活应用中的一些经验知识当做不证自明的公设。这些公设如下：

1.相同的重物放在相同的距离上就处于平衡状态；而相同的重物放在不同的距离上则不平衡，杠杆会朝着放在较远距离上的那个重物倾斜。

2.当放在一定距离上的重物处于平衡状态时，如果在其中一个重物上加一点分量，它们就不平衡了，杠杆会向加了分量的那个重物倾斜。

3.同理，如果从其中一个重物中取出一点分量，它们也不平衡，杠杆向没有取出分量的那个重物一边倾斜。

4.全等的平面图形如果互相重叠地放在一起，则它们的重心也同样重合。

5.如果图形不相等但是相似，则其重心也有相似的位置。所谓相似图形有相似位置的点，是指如果过这些点分别到相等的角作直线，则它们与对应的边所成之角也是相等的。

6.如果处于一定距离上的两个重物处于平衡状态，则另外两个与它们相等的重物处于同样距离时也会处于平衡状态。

7.任何一个图形，如果沿同一方向其周边都是下凹的，其重心必在图形之内。

从这些公理出发，运用几何学，通过直接的逻辑论证，阿基米德推出了十五条定理。其中第六条定理就是著名的杠杆原理，用现代的话说就是：两个重物平衡时，它们离支点的距离与重量成反比。

阿基米德对杠杆的研究不是仅停留在理论研究层面，他还进行了一系列的实践活动。在第二次罗马和迦太基的战争中，为了保卫锡拉库萨免受罗马海军的袭击，阿基米德利用杠杆原理制造了远近距离的投石器，利用它们射出各种飞弹和巨石攻击敌人，将罗马人阻于锡拉库萨城外达三年之久。

杠杆的工作原理在中国历史文献上也有记载。战国时代后期，在《墨经》（成书时间约为公元前388年）中就有关于杆秤平衡（图2.1）的记载：“衡，加重于其一旁，必捶，权重相若也相衡……”这句话的意思是当杆秤平衡时，若在其一端加重物，一定会使它倾斜。一端同加重物，另一端必须调整臂长，杆秤才能平衡。墨家成员大多数来自生产的第一线，具有丰富的实践经验，刻苦研究的风气也很盛行，做了很多新发明。虽然墨家发现杠杆原理的时间比阿基米德要早200多年，但是没有就此建立起完善的力学体系。

阿基米德应用杠杆原理发明了另一种机械装置，它就是滑轮。滑轮是一个能够绕轴转动的小轮，可以通过绳索或者铰链传递力。根据轴的位置可以将滑轮分为两大类：一类为定滑轮，其轴的位置固定，可以承受力，通过定滑轮可以改变力的方向；另一类为动滑轮，其轴的位置随被拉物体一起运动，它不能改变力的方向，但是牵引一边时可以节省一半的力。如图2.2所示，多个定滑轮和动滑轮组合在一起，构成滑轮组。公元1世纪，亚历山大城的数学家海伦分析并且证明了滑轮原理，即负载与施力之比等于承担负载的绳索段的数目。

阿基米德曾应用滑轮组移动了一艘沉重的大船，古希腊著名传记作家普鲁塔克（46—120）向公众介绍了这个故事。阿基米德是锡拉库萨的希罗国王的亲戚和朋友，他曾写信给希罗说，用任何给定的力能够移动任何给定的重物，而且正如我们所知道的，他由于受到自己的实验演示的巨大鼓舞，便宣称假如另外有一个世界，他又可以到那里去的话，他就能移动地球！希罗国王大为惊奇，要他把他的主张付诸实施，表演一下怎样用微小的力去移动很大的重物。于是阿基米德决定拉动一艘皇家船队的三桅货船，这种船通常要用很多劳力在岸边拉纤才能靠岸。因为提前设计并安装了一套滑轮组，所以在船上乘有许多旅客并装满了普通的货物后，阿基米德就坐在离船一段距离的地方，安静地转动手里的圆盘，通过滑轮组毫不费劲地就把船平稳地拉动起来了。

除了工程机械方面的贡献以外，阿基米德还发现了流体静力学中的浮力定律，并在《论浮力》一书中给出了详细的证明。古罗马著名建筑师维特鲁威乌斯（约前80或前70—前25）根据传说详细描述了它的发现过程。阿基米德有许多各种各样的发现，在他所有的发现当中，有一个是最精彩、最巧妙的，就是浮力定律。传说，希罗国王为了显示自己的丰功伟绩，决定在一座圣庙里供奉一顶纯金的皇冠，献给不朽的神灵。希罗国王与承包商谈好价钱，按照约定精确地称出黄金交给了他。到了规定的日期，承包商送来了制作极其精美的皇冠，国王极为满意。看起来皇冠的重量与所给的黄金重量完全相符。可是有人告发说，在做皇冠时，承包商窃取了部分黄金，并将其替换为等重的廉价金属。希罗国王觉得自己受了欺骗，非常生气，但又没有办法把窃贼的嘴脸揭露出来，就命令阿基米德想想办法。阿基米德连洗澡的时候都在想着这件事，当进澡盆时，发现自己身体越往里浸，澡盆里的水溢出得越多，解决问题的办法找到了。他从澡盆里跳出来，光着身子欣喜若狂地跑到大街上，一边跑还一边大喊：“找到了，找到了！”阿基米德向国王讨来与皇冠等重的一块黄金，把这块黄金缓慢地完全浸入到灌得满满的容器中，收集溢出的水，溢出的水和黄金的体积是相等的。把黄金取出来，再次用水灌满容器，将皇冠缓慢地完全浸入到容器中，同样收集溢出的水。通过比较发现皇冠的体积比等重黄金的体积稍微大一些，他找到了皇冠中掺入了廉价金属的确凿证据。

皇冠悬案完美地解决了，但是阿基米德却因此沉浸在探索物体在液体中的浮力问题中。如果在液体中对物体进行称重，则必须减去物体排开同体积液体的重量。于是，阿基米德发现浸在液体中的物体受到向上的浮力，浮力的大小等于物体排开的同体积液体的重量。这就是著名的浮力定律。

阿基米德以后，静力学方面的研究几乎停滞，直到十六世纪，由荷兰学者西蒙·斯特文斯（1548—1620）重新发展起来。斯特文斯具有独立的思想，并且对权威极少崇拜，在各方面都有很深的造诣，例如他是小数的发明者、研究过滑轮组的平衡问题、提出并应用过力的平行四边形原理等。

1586年，斯特文斯出版了《静力学原理》一书。在这本书的封面上，画了一幅图。如图2.3所示，许多金属小球组成一根链条，放在一个棱柱形的支撑体上；棱柱体两个斜面的倾角不同，但都是光滑的，可以忽略摩擦。在这种情况下会发生什么呢？因为斜面的倾角不同，右边斜面（倾角较小）上的小球明显比左边斜面（倾角较大）上的多，而许多人认为由于两边不平衡，链条将自左向右顺时针滑动，因为链条是连续的，这个运动将永远地进行下去。如果真如此，这个装置就成为一台永动机了。

斯特文斯否定了永动机的这种可能性。他找到了链条在斜面上的平衡条件，就是斜面上的一个物体沿斜面方向所受到的力与倾角的正弦值成正比。

显然，左右两个斜面上的小球数目与斜面长度成正比。如果左侧每个小球受到的拉力为F_l，右侧每个小球受到的拉力为F_r，那么有

F_l×AC = F_r×CB

若引入斜面的倾角为φ_l和φ_r，则有

这样，斜面的平衡条件就可以写为以下关系式：

斯特文斯在流体静力学方面也有重要的贡献。他用实验演示了所谓的流体静力学的下述定律，即液体对盛放液体的容器的底所施的力只取决于承受压力的面积大小和它上面的液柱高度，与容器的形状无关。

斯特文斯用图2.4所示的实验演示了这一性质。一个容器ABCD内注满了水，底部有一个圆形开口EF，盖上一个木盘GH。第二个容器IRL与第一个容器一样高，也注满了水，底部也有一个同样大小的开口，也盖了一个与GH同样重的木盘OP。实验结果显示，木盘GH和OP都没有浮起而保持顶住开口。这表明，实际上它们承受着相等的压力。实验方法表明，这两个压力相均衡，并且两个圆盘刚好被重物S和T升起（S和T的重量彼此相等，且等于圆盘GH上水柱ERQF的重量）。斯特文斯注意到，按这样的方式，一根细管中的一磅5水能轻易地对一个大容器中的一个插塞施以十万磅的压力。

斯特文斯还用实验验证了流体不但具有向下的压力，还具有向上的压力。如图2.5所示，用金属片G盖住一个两端开口的管子EF的下端，然后把它放入盛满水的容器ABCD之中。这时他发现，即使没有任何的固定措施，金属片G也不下沉。这说明流体具有向上的压力，并且能顶住金属片G。

伽利略也对静力学研究充满了兴趣。他和斯特文斯几乎是同一时代的人，但他们的研究是各自独立进行的。伽利略不仅为区别于静力学的动力学奠定了基础，而且还通过静力学和动力学的结合，发展了虚位移（或虚速度）原理。这个原理最早是由瑞士数学家约翰·伯努利（1667—1748）在写给法国数学家瓦里尼翁（1654—1722）的一封信中明确提到的：当质点系通过一个平衡位置时，各个力同它们各自作用的质点的位移乘积的总和为零。

如图2.6所示，一根处于平衡状态的杠杆的情形便是这样，两个力P和Q成直角地作用于杠杆的两臂A和B。如果杠杆失去平衡，A和B分别发生的位移为AD和BE。当位移的量很小时，可以认为AD与AC成直角，并且BE与BC也成直角。如果杠杆仍然处于平衡状态，考虑到位移AD和BE方向相反，可以写出如下的公式：

P×AD = Q×BE

也可以说，力P和Q与它们各自的位移大小成反比关系。考虑到位移和它们的力臂的长度成正比关系，实际上就推导出了阿基米德的杠杆定律。

伽利略还把这条原理运用到对滑轮组和斜面的分析中。如图2.7所示，有重物P和Q（为简便起见，也将P和Q视作各自物体所受重力）在一个倾斜角为A的斜面上处于平衡状态。因为重力来源于地球的引力，根据虚位移原理，这两个物体是否平衡可通过它们靠近或者远离地球中心来确定。因为重物P下降（升高）的位移为h，所以重物Q将升高（下降）的位移为hsinA。因为P×h = Q×(hsinA)，所以P = Q sinA。

P实际上就是重物Q沿斜面方向所受到的力的大小，这就是说，用虚位移原理也证明了斯特文斯链的平衡条件。

1653年，法国人布莱士·帕斯卡（1623—1662）推广了斯特文斯的流体静力学方面的研究。经过反复实验，他提出由于流体具有流动性，封闭容器中的静止流体的某一部分发生的压强变化，将大小不变地向各个方向传递，压强等于作用压力除以受力面积。这就著名的帕斯卡定律。

帕斯卡欣喜地认为：在这种新机器中，令人惊奇地也发现了诸如杠杆、滑轮、蜗杆等一切旧机器中发生的那种不变的规则性，即距离（反比地）随力变化……。这可以看作是解释这种效应的真正理由，因为一百磅水移动一英寸6显然与一磅水移动一百英寸相同。

水压机就是应用帕斯卡定律设计出来的。自1893年美国建成第一台万吨水压机起，万吨级水压机就成为各个国家发展航空、船舶、重型机械、军工制造等产业的关键设备。

1962年6月，上海江南造船厂1.2万吨级自由锻造水压机（图2.8）试车成功，这标志着中国的第一台万吨级水压机胜利诞生。