第1章　声音的规律及传播

奇妙又壮观的大自然中，各种各样的声音交织在一起。小鸟的尖鸣、知了的聒噪、蟋蟀的吟唱……如果没有它们的点缀，大自然将萧瑟凄凉，毫无生机。声音的存在给大自然增添了无穷的魅力。

声音现象很早就引起了人们的注意，古希腊数学家毕达哥拉斯（约前580—前500）有一项重要发现就来自于音乐。据说有一天，他在大街上散步，不远处的铁匠铺传来“叮叮当当”响亮的声音，他停下脚步，上前细探究竟（图1.1）。原来，这些声音是铁匠用各式锤子锻打铁块时产生的。锤子越重，锻打铁块产生的声音越低沉；相反，锤子越轻，产生的声音越尖锐。当不同的锤子交替敲打时，能够发出和谐的声响。这个现象激发了毕达哥拉斯探索的兴趣。通过深入研究，毕达哥拉斯发现当两把锤子的重量具有简单的整数关系时，它们交替敲打铁块时就会发出好听的声音，而其他重量搭配的锤子交替敲打，发出的声音就不好听。

回到家中，毕达哥拉斯利用七弦琴1继续进行实验，潜心研究弦长和琴声之间的关系。他将若干条琴弦的一端固定住，另一端悬挂着重量相等的重物，重物能够让琴弦绷紧并发出声音。这时，他调整弦长，发现当弦长之比具有简单的整数关系时，可以得到一对和弦。例如，2:1的弦长对应的是八音度，3:2对应第五音，4:3对应第四音等。用现代物理术语可以这样描述这个发现：在给定的张力作用下，一根给定弦每秒振动的次数与弦长成反比。这就是有名的毕达哥拉斯琴弦定律（图1.2）。

两把锤子的重量具有简单的整数关系时交替敲打铁块就会发出好听的声音，两根弦的弦长具有简单的整数关系时就能产生悦耳的和弦，这些现象使毕达哥拉斯得出了一个结论：整数的规则揭示出音乐的秘密，甚至世界上的一切都是如此。

在声音的探索方面，很多物理学家都有特殊有趣的发现。

意大利物理学家伽利略·伽利雷（1564—1642）年轻时发现了单摆的周期定律，这激发了他对弦线振动的兴趣，他认为单摆的运动和弦线振动之间具有相同的物理原理。在《关于两门新科学的对谈》一书中，伽利略写道：首先必须观察到，每一个摆都有它自己的振动时间，这时间是那样确切而肯定，以致不可能使它以不同于大自然给予它的周期的任何其他周期来振动。

伽利略证明了音调依赖于弦的振动频率，即给定时间内弦的振动次数。伽利略发现，当他用一个锐利的铁凿子刮一块黄铜片以除去上面的一些斑点并且让凿子在那上面活动得相当快时，在多次的刮削中有一两次听到铜片发出了相当强烈而清楚的尖啸声；当更仔细地看那铜片时，他注意到上边有长长的一排细条纹，彼此平行并且等距地排列着。当他用凿子一次又一次地再刮下去时，注意到只有当铜片发出“嘶嘶”的声音时，上面才能留下记号；当刮削并不引起摩擦声时，就连一点记号的痕迹也没有。多次重复这种玩法并且使凿子运动得时快时慢时，啸声的调子也相应地时高、时低。当声调较高时，得出的记号就排得较密；而当音调降低时，记号就相隔较远。他还发现，在一次刮削中，当凿子在结尾处运动得较快时，响声也变得更尖锐，而条纹也靠得更近。此外，每当刮削造成“嘶嘶”声时，他就觉得凿子在他的手掌中发抖，而一种颤动便传遍整只手。

伽利略曾经观察到大键琴2上有两条弦和上述那种由刮削而产生的两个音相合，而在那些音调相差较多的音中，有两条弦是恰好隔了一个完美的五度音的音程。

通过测量由这两种刮削所引起的各细条纹之间的距离，他发现了一个音的45条细条纹（因而有45次振动）的距离上包含了另一个音的30条细条纹（因而有30次振动），二者之间正好是指定给五度音的那个比率。

伽利略认识到，弦的振动频率与其长度、张力以及质量有关。法国物理学家马林·默森（1588—1648）在伽利略的影响和指导下，也进行了声学研究。为了确定一个律音的音调与产生该音的给定材料，弦的长度、粗细以及张力之间的关系，默森做了大量的实验。

用n和n'表示两个不同律音的音调，l和l'表示同一种弦的不同长度，d和d'表示弦的不同直径，p和p'表示为伸长弦所施加的不同张力，q和q'表示弦本身的不同重量。默森提出下列几个等式：

1.当弦的长度和直径相等，但由不等的张力伸长时，。

2.当弦的长度和伸长弦的张力相等，但本身重量不等时，。

3.当弦的直径和张力相等，但长度不等时，n/n'=l'/l。

4.当同样材料的弦的长度和张力相等，但直径不等时，n/n'=d/d'。

默森还用不同的金属（例如金、银、铜、黄铜和铁等）制成琴弦，进行实验，发现弦的长度、粗细和张力相等时，音调和金属的密度成反比。

发声体整体振动发出的声音称为基音，具有单一的基频。以基音为标准，其他部分（二分之一、三分之一、四分之一等）振动发出的声音就是泛音。默森还发现，一根振动的弦除了基音以外，还产生泛音。当然，当一根弦自由振动时，基音是非常明显的，但当这个音变弱时，就会觉察到某些音比基音延续得更长。默森听到了比基音高的十二度音和十七度音。他将这个发现告诉了法国朋友勒内·笛卡尔（1596—1650），笛卡尔指出泛音可能是这根振动弦的每一部分各自的振动所引起的，绝大多数的发声体发出的声音都包含多个频率。

在与声学有关的各种问题中，声速的测量也同样引起了人们的关注。最早的实验是由法国人皮埃尔·伽桑狄（1592—1655）做的。按照亚里士多德的观点，通过空气时高音的速度比低音要快，伽桑狄决定用实验来检验。他首先利用一门大炮向远方某处射击，在适当的位置安排一位观察员，记录他看到闪光和听到声音的时间间隔，用大炮与观测员的距离除以这个时间间隔，就得到了炮声的速度。然后，再用一支步枪重复同样的实验，也得到了枪声的速度。多次实验的结果表明大炮和步枪各自声音的速度基本相同，约为每秒1473英尺3（约449米），这证明亚里士多德的观点是错误的。

1636年，默森反复做了伽桑狄实验。根据已知距离内的火枪的声音和闪光之间的时间差测定了空气中的声速，他得到的值约为421米/秒。大约在20年以后，意大利的波雷里（1608—1679）和维维安尼（1622—1703）也重复了类似的实验，他们得到的声速约为328米/秒。

在以上关于声速的测量实验中，基本上都没有注意温度以及风向、风速等因素的影响，伽桑狄甚至根据观测数据得出了一个错误的结果，就是风向不影响声速。1705年，威廉·德勒姆（1657—1735）通过实验发现风向对声速有影响，纠正了伽桑狄的错误。德勒姆还试图找出温度、大气湿度变化对声速的影响规律，不过，他得出的结论比较含糊。

1676年，英国的罗伯特·胡克（1635—1703）对金属器件特别是弹簧的弹性进行了研究，为了获得发现的优先权4，他在一本叙述太阳镜的书籍后面，发表了一条用拉丁文写的字谜“ceiiinosssttuv”。按当时惯例，如果暂时还不能确认自己的发现，可以先把发现用一串打乱顺序的字母发表，确认后再恢复正常顺序。两年后，他公布了谜底“ut tensio sic vis”，意思是任意弹簧的力与其张力同比。例如一分力可使该弹簧弯曲一空间单位，二分力就能使它弯曲二空间单位，三分力就能使它弯曲三空间单位，如此类推。这就是著名的胡克定律，意思是说弹簧应力与伸长量成正比。胡克定律的数学表达式为：

F = –kx

式中，F为弹性应力的大小；k为物体的弹性系数（也称倔强系数、劲度系数等），在物体的线弹性范围内是一个常数；x为弹簧相对于平衡状态时伸长或者缩短的值。胡克定律如图1.3所示。

胡克定律对现实世界中复杂的非线性本构关系进行了线性简化，为研究声源物体的机械振动提供了一个重要的物理模型，而实践证明这种处理方法是有效的。

声源物体的机械振动能够引起周围空气的振动，形成了疏密相间的波动，向四面八方传播（图1.4）。如果将声源物体的机械振动记录下来，然后再按记录重现，就会产生与原来一样的声音。1877年，美国发明家爱迪生（1847—1931）根据上述原理发明了一台会说话的机器，即留声机，轰动了全世界。

机械振动在各种介质（例如空气）中向四面八方的传播叫做声波。声波的传播实质上是能量在介质中的传递，声波所到之处的质点（如空气分子）沿着传播方向在平衡位置附近振动。

罗伯特·胡克曾利用紧绷的长绳研究声音在固体中的传播速度。不过，他给出了一个错误的结论，认为声音在固体中的传播是瞬时的，不需要时间。

空气是传播声音的介质。有一些物理学家认为作为声音介质的东西仅仅是空气的某些部分，而不是全部。例如，伽桑狄把这种传播声音的功能归结于某种特殊的原子，而德勒姆则认为传播声音的究竟是空气本身还是某种以太微粒或者物质微粒是一个悬而未决的问题。不管怎么样，在抽气泵被发明之前，关于空气在声音传播中扮演了什么角色的讨论只能停留在猜测的层面。

1646年，德国物理学家奥托·冯·格里克（1602—1686）当选为马德堡市市长。在紧张的城市管理工作之余，他仍然抽出时间致力于自然科学的研究。格里克受到吸取式抽水机工作原理的启发，经过精心设计和反复试验，发明了能够产生真空的活塞式抽气泵。由此，他进行了有关确定空气和声音之间关系的一系列实验。例如，他在一个密闭的玻璃容器里用一根金属丝悬挂了一个铃铛，由一个机构敲响铃铛（图1.5）。然后，用抽气泵将容器中的空气抽去，在这个过程中，他发现铃声会变得越来越轻。这个实验充分说明，真空不能传播声音，空气在声音传播的过程中起到了关键作用。

格里克还发现，除了空气以外，液体甚或固体也可以传播声音。他的实验证据是能够教会鱼按照铃声来进食。不过，这个证据并不是很确凿：鱼游过来进食到底是因为看见敲击铃铛的场景还是因为听到铃铛发出的声音？这个问题至今还存在争论。

1705年，英国物理学家弗朗西斯·豪克斯比（1687—1763）重复了格里克验证空气传播声音的实验。他把一个里面有空气和一只铃铛的小玻璃球（内球）放在一个大玻璃球（外球）内。内球与外球之间用一根开口的管子连通。在两个球之间，用抽气泵将空气尽量抽空，形成真空。当把连通管的管口封闭时，就几乎听不见里面的铃声；当管口被打开后，就可以清楚地听到铃声。

豪克斯比还提供了水能传播声音的确凿证据。他用一根绳子把一个内有空气和铃铛的玻璃瓶放在水下。当铃铛发出声音时，站在外面可以非常清楚地听到铃声。

英国物理学家艾萨克·牛顿（1643—1727）对声速也进行了详细的研究，不过他没有做实验，而是根据声音的物理模型，再应用数学工具对声速进行理论上的推导。

可以拿一串弹簧和小球模拟声音在空气中的传播。如图1.6所示，只要拨动左边的小球，这个小球就会带动右边紧挨着的小球振动，然后这样的振动会依次向右传递，形成一个传播的效果。在传播过程中，每个小球只是在原来的位置附近振荡，并不产生大范围的移动，但波动却被传递到远方。

1687年，牛顿在《自然哲学的数学原理》一书中，根据胡克定律以及玻意耳定律等公式，推导出空气里的声速与大气压强的平方根成正比，与空气密度的平方根成反比，即

式中，v为空气里的声速；P为大气压强；ρ为空气密度。

按照上面的方程，牛顿得出的声速约为280米/秒，这个数值远远小于实测值，约有16%的误差。

大约在一个世纪之后，法国数学家拉普拉斯（1749—1827）指出牛顿没有考虑到空气由于压缩变热和稀疏制冷的弹性变化。他使用绝热过程代替了等温过程，对牛顿的声速模型进行了修订，得到的计算结果与实测值误差很小。