烧掉数学书:重新发明数学
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捷径

不是所有东西都是水平或垂直的。东西可以向任何方向倾斜,这很不幸,因为我们得到的信息经常是以两个“相互垂直的”方向的形式出现,这两个方向(在模糊的意义上)可以被认为是水平和垂直的。例如,“往东3个街区往北4个街区”,或“大约100米高200米长”。假设这两个距离就是我们所拥有的全部信息:我们把一个称为水平,另一个称为垂直。我们可以画一个有垂直边和水平边的三角形来讨论这个问题。三角形不是重点,只是用来帮助我们抽象地讨论问题,从而无需关注不重要的细节。我们将这个三角形的边命名为a、b和c(图1.9),并假设a和b为已知。只利用这些信息,我们能求出“捷径”c的长度吗?

图1.9 这不是标题。

对于如何根据a和b求出长度c的问题,我们目前还毫无头绪。既然无法推进,唯一的希望就是看能否将困难的问题转变成我们熟悉的东西。我们还没有发明太多数学,因此也没有太多熟悉的东西,不过我们知道矩形的面积。因此用这个三角形的几份拷贝组成一个矩形也许是个不错的主意,这样我们说不定能取得一点进展(也许不能,但值得尝试一下)。顺着这条思路,我个人能想到的第一件事情是用两个相同的三角形,将它们粘到一起,这样我们就得到了一个宽为a高为b的矩形。可是盯着这个矩形看了一会之后,我们还是很糊涂,这个最简单的构成矩形的方式似乎没有告诉我们太多关于捷径的东西。不过另一种简单的组合方式很有用,就像图1.10那样。

图1.10 用4个相同的三角形和一些空白,构造一个正方形中的另一个正方形。这样就能用我们熟悉的东西(正方形的面积)来谈论我们不熟悉的东西(捷径)。

我们用4份原来的三角形构造了一个大正方形,同时捷径又在中间组成了一个正方形的空白区域。与我们在第1章发明撕东西显然律类似,在纸上画图不会改变面积,从这一点可以挤出许多知识。在这个例子中,我们实际上是在一个大正方形中画了一个倾斜的正方形。正方形的面积是我们目前知道的少数知识之一,因此这个技巧让我们可以用还十分有限的词汇表组成关于捷径的语句。用两种方式谈论整个图形的面积就可以得出这样的语句。结果如图1.11所示。

图1.11 将总面积写成不同的形式,我们就可以发明出捷径的公式,在教科书中也称为“勾股定理(毕达哥拉斯定理)”。

一方面,我们画了一个大正方形,边长是a+b,因此面积是(a+b)2。在第1章,我们通过画图知道了(a+b)2=a2+2ab+b2。这样就有了一种描述这幅图的面积的方式,但我们还可以用另一种方式描述。整个图形的面积正好就是空白区域的面积(c2)加上所有三角形的面积。我们不知道如何求三角形的面积,但我们可以将两个相同的三角形挨着放到一起(就像第一次的失败尝试那样),这样就能得到一个面积为ab的矩形。我们有4个三角形,因此可以拼出两个矩形。通过这种分割方式,我们可以得到整个图形的面积为c2+2ab。我们用两种方式描述了同一个事物,因此可以在两种描述之间放个等号,就像这样:a2+2ab+b2=c2+2ab。

下面这一部分极为重要,请仔细阅读。上面的数学语句说的是一个事物等于另一个事物。如果两个事物真的相等(或一样),并且我们以完全相同的方式改变两者,则(虽然两者都改变了)它们在改变之后应当仍然相等。如果两个盒子里装有相同的东西,在我们对两者做相同的事情之后,则两个盒子里的东西应该还是一样的。无论做的什么事情(例如“拿掉所有的石头”,或“添加7块大理石”,或“数一下有多少顶帽子,然后将数量加倍”),只要所做的事情是一样的,这个结论都应当成立。这就是为什么我们现在可以(用标准行话)说“从上面的等式两边减去2ab项”。请确定你自己理解了这个。这不是数学或等式的特性,也不是什么神秘的“代数律”。这就是我们关于两个事物相同的日常观念:对相同的两个事物做相同的改变,必然会导致相同的结果。[1]如果不是这样,肯定是我们对“相同”一词的使用有误。因此,这样改变后,我们就得到了这个语句:

a2+b2=c2

这个语句告诉了我们如何用水平和垂直量谈论捷径,因此我们可以称它为“捷径公式”。教科书上通常称之为“勾股定理”,这个名字听起来有些古怪,好像某些很不干净的地方。


[1]对这个简单事实及其推论的理解将让我们可以跳过典型的代数入门课程的一大部分。