2.5 导数的应用（2）

在高等数学课程中，导数的应用随处可见。比如求极限时用到的洛必达法则，函数的泰勒展开式，判断函数的单调性和求极值等。利用MATLAB，我们可以很好地验证上述理论。

首先，我们来验证洛必达法则。洛必达法则主要用于解决型和型的极限问题，具体内容为: 如果=0，在点a的某去心邻域内，f和g均可导且g′（x）≠0，同时存在或者为无穷大，则有

例2-20 求函数极限。

对于这个问题，可以用limit命令直接计算：

    >> syms x；
    >> f=3∗x-2∗x；
    >> g=x；
    >> limit（f/g, x, 0）

也可以对分子、分母分别求导之后，再用limit命令求极限：

    >> syms x；
    >> f=3＾x-2＾x；
    >> g=x；
    >> limit（diff（f, x）/diff（g, x）, x, 0）

两种方式的计算结果都是log（3）-log（2）。

下面验证泰勒展开定理。泰勒展开定理的具体内容为：如果函数f（x）在x=a处存在任意阶导数，则在x=a的某个邻域内，函数f（x）可以表示为：

求函数f（x）在x=a处的n-1阶幂级数展开式，所对应的MATLAB命令为：

    taylor（f, x, ExpansionPoint , a, Order , n）

例2-21 观察f（x）=exsinx在x=1处的幂级数展开式。

输入如下命令：

    >> syms x f；
    >> f=exp（x）∗sin（x）；
    >> T2=taylor（f, x, ExpansionPoint , 1, Order , 2）

则输出结果为函数的1阶幂级数展开式：

    T2=esin1+e（cos1+sin1）（x-1）

输入新的命令：

    >> T3=taylor（f, x, ExpansionPoint , 1, Order , 3）

则输出结果为函数的2阶幂级数展开式：

    T3=esin1+e（cos1+sin1）（x-1）+ecos1（x-1）2

在同一个图中画出函数本身及其1阶、2阶幂级数展开式的图像，如图2-13所示。

显然，相比于T2, T3在x=1附近更接近函数本身的曲线。

最后，我们来讨论函数的单调性和极值问题。在高等数学课程中，讨论可导函数的单调性被归结为求函数导数的正负区间，而极值点则要从函数导数的正负区间的端点中筛选。

例2-22 求函数f（x）=x3-2x+5的单调区间与极值。

首先求函数的驻点，即导数为零的点。输入如下命令：

    >> syms x；
    >> f=x＾3-2∗x+5；
    >> zhudian=solve（diff（f, x））

输出结果为：

其次作出函数在这两点附近的图像（见图2-14）。

    >> x=-2: 0.1: 2；f=x.＾3-2∗x+5；
    >> plot（x，f）
    >> grid on

根据图像可以看出，函数的单调区间、极值点的位置和类型。

在高等数学课程中，导数应用部分有大量的习题，我们可以选择其中的部分习题进行验证。作图的时候要注意，求导、解方程输出的代码需要修改后才能用于作图，否则很容易出错。