2.4 导数的应用（1）

求代数方程f（x）=0的根，曾经是代数学领域的中心问题，许多才华横溢的数学家在这一领域作出了卓越的贡献。下面介绍导数在解方程（组）方面的应用。

求代数方程f（x）=0的根，可以直接调用MATLAB命令solve（f, x），输出结果即f（x）=0的所有符号解或精确解。

比如要求x2+3x+2=0的根，可以输入如下代码：

    >> syms x；
    >> f=x＾2+3∗x+2；
    >> solve（f, x）

输出结果为：

    ans=-2,-1。

求解如下代数方程组：

可以使用命令代码 [x, y]=solve（f, g, x, y）．比如要求解

可以输入如下代码：

    >> syms x y b；
    >> f=x＾2+6∗y+2；
    >> g=x+y-b；
    >> [x, y]=solve（f, g, x, y）

输出结果为：

    x=

      3-（7-6∗b）∗（1/2）
    （7-6∗b）∗（1/2）+3


    y=

      b+（7-6∗b）∗（1/2）-3
      b-（7-6∗b）∗（1/2）-3

在上面的例子中，我们得到的都是精确解。如果无法求出精确解，MATLAB会发出提示，并给出相应的近似数值解。

例2-16 求5sin（2x）=ex的根。

仿照此前的例子输入如下代码：

    >> syms x；
    >> f=5∗sin（2∗x）-exp（x）；
    >> solve（f, x）

输出结果为

    警告：Cannot solve symbolically. Returning a numeric approximation instead.
    > In solve at 306

    ans=

    0.11291035698994542654891471155014

使用绘图命令绘制函数y=5sin（2x）-ex的图像，如图2-11所示。

观察图像可以发现，5sin（2x）-ex=0的解并不唯一，因此在使用solve命令解方程时，要注意甄别输出的解是否满足要求。

在了解求解代数方程的命令代码后，我们的下一个问题是：方程的近似数值解是如何求出来的？

代数方程近似解的求法基于零点存在定理，主要分为两个步骤：

（1）确定根的大致范围 [a, b]。这里可以绘出函数的图像，通过观察确定这一范围。我们知道，如果连续函数f（x）满足f（a）f（b）<0且在区间 [a, b] 上仅穿过x轴一次，则 f（x）在（a, b）内必然存在唯一的零点。

（2）以区间端点a和b为根的初始近似值，采用某种算法逐步改进精确度，直至求得满足要求的近似解。

下面介绍牛顿迭代法和弦截法。

如果f（x）在 [a, b] 上二阶可导，f（a）f（b）<0且f′（x）与f″（x）在 [a, b] 上不变号（即函数的单调性与凹凸性不发生变化），则可用牛顿迭代法来求解代数方程f（x）=0。

所谓牛顿迭代法，就是用y=f（x）在各点的切线来代替曲线，以切线与x轴交点的横坐标为f（x）=0实根的近似，如图2-12所示。

使用牛顿迭代法求f（x）=0的近似解时，首先需要确定一个迭代的初始值。由于f（a）f（b）<0且f′（x）在 [a, b] 上不变号，因此必有f（a）f′（a）>0或f（b）f′（b）>0。如果f（b）f′（b）>0，则取初始值x0=b；如果f（a）f′（a）>0，则取初始值x0=a。

其次，在x0处，函数 y=f（x）的切线方程为 y-f（x0）=f′（x0）（x-x0），代入y=0可得此切线与 x轴的交点 x1=x0-。如果f（x1）满足精度要求，即输出x1作为f（x）=0的近似解；否则在x1处作切线，继续第（2）步。按照上述办法反复迭代，直到f（xn）满足精度要求为止。

具体算法步骤如下：

（1）输入精度指标ε>0。

（2）确定区间 [a, b]，该区间应满足f（a）f（b）<0且f′（x）与f″（x）在 [a, b] 上不变号。

（3）若f（b）f′（b）>0，取x0=b，否则取x0=a。

（4）定义x1=x0-。

（5）若|x1-x0|<ε，则输出近似解x1，否则令x0=x1并返回步骤（4）。

如果f（x）的一阶导数不容易计算，则可以使用弦截法。即给定初始值x0和x1，用如下迭代公式计算其余各点：

对比牛顿迭代法和弦截法，前者每次迭代都需要分别计算一次函数值和一次导数值，后者只需计算一次函数值即可。接下来介绍的几个命令都以牛顿迭代法为基础。比如求函数f（x）=0在一定范围内的零点，可以用命令x=fzero（f, x0）；求f（x）=0在区间 [a, b] 上的零点，可以用命令x=fzero（f, [a, b]）。

例2-17 求5sin（2x）=ex在x=-5附近的零点。

输入如下代码：

    >> f=5∗sin（2∗x）-exp（x）；
    >> x=fzero（f,-5）

输出结果为：

    x=-4.7133。

例2-18 求5sin（2x）=ex在 [0, 1] 上的零点。

输入代码：

    x=fzero（f, [0, 1]）

可得结果为：

    x=0.1129。

我们也可以指定初始点来计算函数的零点。从x0出发求f（x）=0的零点，可以用命令[x, f, h]=fsolve（f, x0）。输出结果为向量 [x, f, h]，其中x为近似零点，f为该点处的函数值，h的输出值大于零表示结果可靠，否则不可靠。

例2-19 求y=2sinx-1.5的零点。

输入如下代码：

    >> syms x f h；
    >> f=2∗sin（x）-1.5；
    >> [x, f, h]=fsolve（f, 0）

输出结果为：

    x=0.8481, f=-1.0918e-10, h=1。

如果初始点不同，或者使用的命令不同，那么计算出的结果可能会有差异，在使用时要注意。在介绍了导数在解方程中的应用之后，我们将介绍高等数学课程中涉及的导数应用。