2.6 常微分方程的精确解
常微分方程是一种包含自变量、函数、函数导数和高阶导数的等式。常微分方程（组）经常被用于描述事物的动态变化，如经济波动、物体运动轨迹、受力形变等。下面介绍如何用MATLAB来求解常微分方程。
求解常微分方程（组）通解的命令为：
dsolve（eqn1, eqn2, …, t）
其中，eqn1、eqn2等为各个方程，t为自变量。
例2-23 求解x′（t）+4x（t）=sin（2t）。
命令代码和输出结果如下：
>> dsolve（Dy+4∗x=sin（2∗t））
ans=
sin（2∗t）/5-cos（2∗t）/10+C8∗exp（-4∗t）
输出结果中的C8为待定常数。
需要注意的是，如果常微分方程（组）中的自变量为t，则无须专门注明，其他自变量必须注明。比如y′（x）=x的通解为 y（x）=
+C，如果不注明自变量去用命令dsolve（Dy=x），则输出的是错误答案ans=t∗x+C。正确的求解命令应为：
>> syms x；
>> dsolve（Dy=x , x）
例2-24 求解x″（t）+2x′（t）-3x（t）=et。
输入如下代码：
>> dsolve（D2x+2∗Dx-3∗x=exp（t））
输出结果为：
ans=
C1∗exp（t）-exp（t）/16+（t∗exp（t））/4+C2∗exp（-3∗t）
我们知道，绝大多数常微分方程是无法求解析解的。比如常微分方程x″（t）+2x′（t）-cosx（t）=etsinx（t）就无法求解析解，用dsolve求解时，系统会提示无法求解。
>> dsolve（D2x+2∗DX-cos（x）-sin（x）∗exp（t））
警告：Explicit solution could not be found.
In dsolve at 197
ans=
[ empty sym]
例2-25 求解常微分方程组
由于常微分方程组的通解为单变量向量函数，因此输入的命令格式为：
>> syms t；
>> [ x, y]=dsolve（Dx=-3∗y , Dy=4∗x , t）
输出结果为：
x=
-（12＾（1/2）∗C20∗cos（12＾（1/2）∗t））/4-（12＾（1/2）∗C19∗sin（12＾（1/2）∗t））/4
y=
C19∗cos（12＾（1/2）∗t）-C20∗sin（12＾（1/2）∗t）
常微分方程的通解都带有任意常数项，要确定这些常数项的具体数值，需要有定解条件，由此得到的就是常微分方程的特解。定解条件包括初值条件、边值条件，在此基础上求解常微分方程，可以用命令：
dsolve（eqn, condition1, …, conditionk, t）
其中，eqn为方程，condition1等为定解条件。
例2-26 求解二阶常微分方程初值问题：
输入如下命令：
>> syms x；
>> dsolve（D2 y+3∗Dy+2∗y=sin（2∗x）, y（0）=1 , Dy（0）=1 , x）
ans=
（17∗exp（-x））/5-（3∗cos（2∗x））/20-（9∗exp（-2∗x））/4-sin（2∗x）/20
例2-27 种群规模研究经常会用到常微分方程（组），比如最简单的指数增长模型：设t时刻种群总数为x（t），种群规模增速与现有种群规模成正比，比例系数为r（相对增长率）。据此可以建立常微分方程模型：x′（t）=rx（t）。求其通解：
>> syms x t r；
>> s=dsolve（Dx=r∗x）
s=
C2∗exp（r∗t）
即模型有通解x=C·ert。设C=10而r=0.1，可以绘出解的曲线，如图2-15所示。
图2-15
考虑到环境和资源的限制，种群规模又会对种群增长产生一定的阻滞作用。假设种群的相对增长率是总数的减函数
，其中，N为环境可容纳的种群数量上限。据此建立阻滞增长模型
，对其求解:
>> syms x a N t；
>> s=dsolve（Dx=a∗（1-x/N）∗x）
s=
N
0
N/（exp（-N∗（C5+（a∗t）/N））+1）
结果表明，方程有三个解，两个常值解x（t）≡N,0以及x（t）=
。
观察x′随着x变化的图形，如图2-16所示。
图2-16
可以看到，随着种群总数x的增加，种群增速x′先是不断上升，然后趋于下降，并在x=N时降为0，即种群规模停止增长。
假设t=0时种群的初始值为x0，代入x（t）的表达式可以求出任意常数项C，这时解可以改写为
根据这个解的表达式，可以看到种群规模会随着时间推移逐渐趋于环境允许的上限。
本节所介绍的常微分方程解法，都是求精确解，但是绝大多数常微分方程都是无法求出精确解的。因此在实际应用中，人们经常会以微分方程的数值解来代替精确解。此外，还可以运用常微分方程定性理论，在不求解的情况下，根据微分方程（组）本身来直接分析解的性态。