命题

命题1　定理1

那不断把木星卫星从直线运动中拉回来，并将其限制在恰当的轨道上的作用力是指向木星中心的；该作用力反比于卫星到木星中心距离的平方。

本命题的前半部分由现象1和第1编的命题2、3所证明，后半部分由现象1和第1编的命题4推论6所证明。

土星卫星绕其旋转的相同原理可以由现象2所得知。

命题2　定理2

那不断把行星从直线运动中拉回来，并将其限制在适当的轨道上的作用力是指向太阳的；该作用力反比于行星到太阳中心距离的平方。

本命题的前半部分由现象5和第1编的命题2所证明，后半部分由现象4和第1编的命题4推论6所证明，但是命题的这一部分可由在远日点的静止来精确证明。因为距离平方反比产生的极小误差（由第1编的命题45推论1）也会导致每一次环绕中的远日点的明显运动，这样多次环绕就会产生极大误差。

命题3　定理3

那把月球限制在适当的轨道上的作用力是指向地球的，该作用力反比于月球到地球中心距离的平方。

本命题的前半部分由现象6和第1编的命题2、3所证明；后半部分由月球在远地点处运动较慢所证明；月球每一次环绕中远日点向前移动3˚3′，但是可以忽略不计。因为（由第1编的命题45推论1）如果月球到地球中心的距离与地球半径之比为D比1，则引起该运动的力反比于，即，反比于D的幂，其指数为；那就是说，该距离的比值略大于平方反比比值，但是它接近平方反比比值比接近立方反比比值更强倍。而考虑到这一移动是由太阳作用引起的（我们将在后面讨论），现在忽略不计。太阳吸引月球绕地球运转的作用力几乎正比于月球到地球的距离；因此（由第1编命题45推论2）该作用力比上月球的向心力，几乎等于2比357.45，即1比。所以如果忽略不计太阳的这一小小作用力，把月球限制在其轨道上的主要作用力反比于D2。如果把该作用力与地心引力作比较，就像下一命题那样，那这一点能更充分地被证明。

推论　设月球在落向地球表面时，其受到的引力反比于高度的平方，因而随高度的下降，该引力不断加大。如果我们增大把月球限制在其轨道上的平均向心力，先以比的比率，然后以地球半径的平方比月球到地球中心的距离，我们就可以得到月球在地球表面的向心力。

命题4　定理4

月球受地球引力吸引，且该引力不断把月球从直线运动中拉回来，并限制在其轨道上。

在朔望点时月球到地球的平均距离，以地球半径计算，托勒密和大多数天文学家认为是59，凡德林和惠更斯则得出60，哥白尼为，司特里特为，第谷为。但是第谷以及其他所有引用他的那张折射表的人，都认为太阳和月球的折射（与光的本质不同）大于恒星的折射，约为地平线附近大4至5分钟，这样就使月球的地平视差增加了相应的分数，即整个视差的或。如果纠正这个错误，月球到地球的距离就会是个地球半径，接近于其他人的结果。我们假设在朔望点时距离是地球半径的60倍，并设月球的一次环绕的时间，按照恒星时间，为27天7小时43分，就正如天文学家所认为的一样；而地球的周长为123249600巴黎尺，正如法国人所测得的数据。如果假设月球不做任何运动，受限制其在轨道上的向心力（由命题3的推论）的影响，那它将会受该力作用而落向地球，且在一分钟时间里下降巴黎尺。这是由第1编命题36，或是（同样道理）第1编命题4推论9所推算出来的。因为月球在平均一分钟时间里，在离地球半径60倍长的地方落下，所掠过的轨道弧长的正矢约为巴黎尺，或者更准确地说是15尺1寸分。因为那个力在落向地球时，反比于距离平方，且随距离的减少而增加。这样的话，月球在地球表面所受的力是在月球本身轨道上所受力的60×60倍，如果地表附近一个物体受该力作用落向地球，在一分钟的时间里，降落的距离为60×60×巴黎尺，那在一秒钟的时间里，距离为巴黎尺，更确切地说是15尺1寸分。我们发现正是这个力让地球附近的物体下落；因为正如惠更斯先生所观测的那样，在巴黎纬度上的秒摆的摆长为3巴黎尺分。重物在一秒钟时间里落下的距离与半个摆长之比，是圆的周长与它的直径（惠更斯先生已经证明过）之比的平方，所以为15巴黎尺1寸分。所以使月球限制在其轨道上的力，当月球落在地球表面时，就等于我们先前研究重物时的那个重力。所以那使月球保持在轨道上的力（由规则1和2）就是我们常说的重力。因为，如果重力是与那个力不同的力，则物体就会受这两个力的作用以加倍的速度落向地球，且在一秒钟的时间里，下降巴黎尺，这样就与实验结果相冲突。

本推算是建立在假设地球静止不动的基础上的。因为如果地球和月球都在绕太阳运动的同时，又绕它们的公共重心运动，则月球中心到地球中心之间的距离为地球半径的倍。这就与第1编命题60所计算出的结果相同。

附注

这个命题的证明还可以以下方式更详细地阐述。就像木星和土星都有很多卫星绕其旋转一样有好几个月球绕地球运转；这些月球的周期时间（由归纳理由），将遵循开普勒所发现的行星之间的运行规律；所以由本编命题1，它们的向心力将会反比于到地球中心的距离的平方。如果它们中位置最低的那个非常小，且十分接近地球，就快要挨着地球上最高山峰的峰顶了，则由先前计算可得知把其限制在其轨道上的向心力将几乎等于任何放在那山峰上的物体的重量，如果同样的小月球失去了维系其在轨道上的离心力，而不能继续在轨道上前进，则它将会落向地球；且落下的速度跟在那山顶上落下的重物的速度一样；因为它们受同样的力下落。如果使那位置最低的月球下落的力与重力不同，又如果该月球将像在山顶的重物一样落向地球，则因为受到两个力共同作用，它将以两倍的速度下落。因为这两个力，即重物的重力和月球的向心力，都指向地球中心，且相互之间相似、相等，它们（由规则1和2）只有一个相同的原因。这样把月球维系在其轨道上的力就是我们通常说的重力；否则那个在山顶上端的小月球必须要么没有重力，要么以重物下落速度的两倍下落。

命题5　定理5

木星卫星被吸引向木星，土星卫星被吸引向土星，行星被吸引向太阳，且受吸引力的影响把它们从直线运动中拉回来，并继续在其曲线轨道上运行。

因为不管是木星卫星绕木星运转，土星卫星绕土星运转，还是水星、金星或是其他行星绕太阳运转，都是同月球绕地球运转相同的运动类型，这样，由规则2，这必须归属于相同原理。特别是我们已经证明了，带动这些运动的力是指向木星、土星和太阳的中心；且随着渐渐远离木星、土星和太阳，这些作用力也以相同比率减小，跟受重力吸引的物体远离地球时，其吸引力也减小的原理一样。

推论1　有一种引力对所有的行星和卫星都有吸引作用；因为，毫无疑问，金星、水星和其他剩下的，都是和木星、土星一类的星球。因为所有的吸引力（由定律3）都是相互的，因此木星也会受它的所有卫星吸引，土星对它的卫星也是，地球对月球也是，并且太阳对所有行星也是。

推论2　对任何一个行星和卫星的引力都反比于到行星中心距离的平方。

推论3　由推论1、2得知所有行星和卫星的确相互吸引。因此当木星和土星运动到其交会点附近时，受其相互吸引的影响，它们明显互相干扰了对方的运动。所以太阳干扰了月球的运动，并且太阳和月球都干扰了地球海洋的运动，这我会在后面解释。

附注

这把天体维系在其轨道上的力，迄今为止我们叫它向心力，但是现在我们弄明白了这不过是一种吸引力，我们今后就叫它引力。因为由规则1、2和4得知，那把月球维系在其轨道上的力可以推广到所有的行星和卫星。

命题6　定理6

所有物体都受每一个星体的吸引，并且物体对任意一个相同的星体的重量，在到该星体中心的相等距离处，正比于该物体各自所含物质的量。

很长时间以来，人们都已观测到各种类型的重物（忽略掉它们在空气中遇到的阻力造成的不相等的减速）在相同高度里，以相等时间落下；用钟摆来做实验，我们可以精确地测出时间的相等性。我试过用金、银、铅、玻璃、沙子、普通盐、木头、水和小麦来做实验。我用了两个木盒子，都是圆的且大小相等：我在一个里面装了木头，在另一个摆的摆动的中心悬挂了等重的金子（尽我所能做到精确）。这两个盒子都被长11英尺的线吊起来，这样做成了两个重量和大小都完全相等的摆，且遇到的阻力也相等。把它们并排放在一起，我观察到它们在很长时间里一直一起往复摆动，做着相同的振动。所以金子里面物质的量（由第2编的命题24推论1和6）与木头里面物质的量之比，等于作用于所有金子的运动力与同样作用于所有木头的运动力之比；即，等于一个的重量与另一个的重量之比，且用其他物质做的实验也一样。在这些用相同重量的物体做的实验，如果有差异，我可以发现的物质差异不到千分之一。我可以毫不迟疑地说，行星的引力跟地球的引力是同类。因为，我们假设地球上的物体被移到了月球轨道上，并都失去了所有运动，然后使它们一起落向地球，则毫无疑问，由前面我们所证明的，那就是在相同时间里，物体下落的距离与月球相等，因而，该物体质量与月球质量之比，等于它们的重量之比。而且，因为木星的卫星环绕一周的时间正比于到木星中心的距离的次幂，则它们受木星吸引的加速引力会反比于它们到木星中心的距离的平方，即在相同距离时力也相等。因此，如果设这些卫星在相同高度落向木星，则它们会在相同时间里下落相同高度，就像地球上重物的下落一样。同理，如果设行星在相同高度落向太阳，则它们会在相等的时间里下落相等高度。但是这些不相等物体的相等加速力正比于这些物体，即行星对于太阳的重量必须正比于其物质的量。而且，木星和它卫星对于太阳的重量正比于它们各自的物质的量，这可以由木星卫星的规则运动所证明（由第1编命题65推论3）。因为如果其中一些卫星受太阳吸引，因其自身质量的比例较大而受吸引的力更强，则卫星的运动就会受到不相等引力的干扰（由第1编命题65推论2）。在到太阳距离相等的情况下，如果任何卫星受太阳的吸引力比上其物质的量，大于木星受太阳的吸引力比上其物质的量，设任意给定比率为d比e；则太阳中心到卫星轨道中心的距离将会总是大于太阳中心到木星中心的距离，几乎正比于上述比率的平方根，就正如我之前所计算得出的那样。且如果卫星受太阳的吸引力较小，值为e比d，则卫星轨道中心到太阳中心的距离会小于木星中心到太阳中心的距离，值为同一比率的平方根。所以，如果在到太阳距离相等的情况下，任何卫星受太阳作用的加速引力，大于或小于木星受太阳作用的加速引力的，则木卫星轨道中心到太阳的距离就会比木星到太阳的距离大于或小于总距离的，即为木星最远卫星到木星中心的距离的，这样就会使轨道的偏心变得非常明显。但事实是木卫星的轨道和木星是共心的，所以木星和所有木卫星指向太阳的加速引力都是相等的。同理，土星和其卫星受太阳的重力，在到太阳距离相等时，各自正比于其物质的量；月球和地球受太阳的重力，也一样正比于其所含有的物质的量。由命题5推论1、3得知，它们必定有重量。

另外，每个行星所有部分指向其他任何行星的重力各自正比于每一个部分；因为，如果有些部分受到的重力与其物质的量的比值偏大或偏小，则根据该行星的主要部分的重力情况，这整个行星的重力是大于或是小于它与总体物质的量的比例。不管这些部分是否在行星内部或是外部都不影响什么；因为，如果我们假设地球上的物体升到了月球轨道上，和月球在一起；如果该物体的重量比上月球外部重量，等于一个与另一个的物质的量之比；但比物体内部重量却大于或小于该比例，这样，这些物体的重量与月球重量之比也将大于或小于原比值。这与我们之前证明的相冲突。

推论1　物体的重量跟其形状和构造无关；因为如果重量要随形状而改变，则它们在自身物质含量不变的情况下，重量随其形状改变而改变，这跟实验结果是相冲突的。

推论2　放之宇宙皆准，地球附近的所有物体都受地球吸引；且在到地球中心距离相等的地方，它们的重量正比于其各自包含的物质的量。这是在我们可实验范围内的所有物体的特性；且（由规则3）可以推广到所有物体。如果以太或是其他任何物体，是失去重力的，或是受到的重力小于其质量，则因为（根据亚里士多德、笛卡尔等人）这些物体和其他物体除了在形状之外并没有差别，如果不断改变其形状，最后其一定会成为与那些按质量比例受到的重力最大者相同情况的物体；另一方面，这最重的物体在变回到最初的形状时，也会逐渐失去其重力。这样物体的重量就会依据其形状的改变而改变，所以就和我们在前一推论中所证明的相矛盾。

推论3　所有空间包含的物质都是不相等的；因为如果所有空间里的东西都一样，则在空气中的流体，因为物质的密度极大，其比重就不会比水银、金或其他任何密度最大的物质的比重小；这样，无论是金或是其他任何物体都不能从空气中下落；因为除非物体的比重大于流体的比重，否则物体是不能在流体中下落。且如果在一给定空间里，物质的密度通过稀释而减小了，那又怎样阻止其无限减小呢？

推论4　如果一切物体的固体粒子都是同样密度，也必须通过气孔而得到稀释，则我们就得承认有虚空或真空的存在。而我说的相同密度物体，是指那些惯性与体积之比相同者。

推论5　重力在本质上是不同于磁力的；因为磁力大小不会正比于它所吸引的物质质量。一些物体受磁铁的吸引强一些，另一些弱一些，而大多数则根本不受其吸引。一个物体的磁力可以增加或者减少，有时物质的质量要比其磁力大很多，且在远离磁铁的过程中，磁力不是以正比于距离的平方而是以正比于距离的立方减小，这一结论和我之前粗略的观测结果差不多。

命题7　定理7

一切物体都会受一种引力的吸引，该引力正比于物体各自所含的物质的量。

我们在前面已经证明了，所有的行星都相互吸引；也证明了每一个所受的吸引力，分开考虑，是反比于其到行星中心距离的平方。然后我们证明了（由第1编命题69及其推论）物体受行星吸引的引力正比于其包含的物质的量。

此外，任意一个行星A的所有部分都受其他任意行星B的吸引；且每一部分与整体的引力之比，等于部分物质与整体物质之比；而（由定律3）每一个作用都能引起一个相等的反作用；这样行星B就会反过来受行星A的所有部分吸引；且其受任意一部分的引力与其受整个的引力之比，等于部分的物质量与整体物质量之比。

证明完毕。

推论1　任何行星整体所受的引力是由部分所受引力所构成的。磁和电吸引力就给我们提供了这样一个例子；因为整体所受的引力来自于部分所受引力之和。如果我们把一个较大的行星看作是由许多较小的行星构成的，引力这一原理也不难理解；因为在此很明显，整体的引力必须由部分来构成。有人曾反对说，根据这一原理，地球上所有物体必须相互之间互相吸引，但为什么我们不曾在任何地方发现此引力呢？我回答道，因为这些物体所受引力与地球整体所受引力之比等于这些物体与地球整体之比，它们所受的引力远远小于我们所能感觉到的那种程度。

推论2　任何一物体的几个相等粒子的引力反比于粒子距离的平方；第1编命题74推论3已清楚证明了。

命题8　定理8

两个互相吸引的球体，如果球体内到球心距离相等处的物质是相似的，则其中一个球体的重量与另一个的重量之比反比于它们球心之间的距离的平方。

在我发现行星整个所受引力是由部分所受引力构成且指向各部分的引力反比于到该部分距离的平方之后，我仍然怀疑，在总引力由这么多的分引力构成的情况下，那个平方反比是否是精确的或是几乎如此；因为很可能在距离较远的地方，这个比例是很精确的，但是在地球附近，这里粒子间的距离不相等，情况也不一样，这个比例就不适用了。但是由于有了第1编命题75、76及其推论，我很高兴最后还是证明了这一命题，结果正如我们所看到的那样。

推论1　这样我们可以找到并比较物体受不同星球作用的引力；因为物体绕行星旋转的引力（由第1编命题4推论2）正比于轨道的直径，反比于它们周期的平方；且它们在行星表面，或是在到它们中心任何距离处的重量（由本命题），随距离平方的反比关系而变大变小。金星绕太阳运转的周期时间为224天小时、距木星最远的木卫星绕木星运转的时间为16天小时、惠更斯卫星绕土星运转的周期时间为15天小时、月球绕地球运转的周期时间为27天7小时43分；这样将金星到太阳的平均距离与木星最远卫星到木星中心的最大距角——8′16″，惠更斯卫星到土星中心的最大距角——3′4″和月球到地球中心的最大距角——10′33″作比较，通过计算，我发现相等的物体在到太阳、木星、土星、地球的中心等距的地方，其重量之比分别为1、、和。然后因为距离增大或是减小，重量以平方比例关系减小或是增大，相等物体相对于太阳、木星、土星、地球的重量，在到它们的中心距离为10000、997、791和109时，即在它们的表面时，分别正比于10000、943、529和435。至于该物体在月球表面的重量为多少，我将在后面作阐述。

推论2　同样，我们可以发现在几个行星上的物质的量；因为它们的物质的量在到其中心距离相等处正比于其引力，即在太阳、木星、土星、地球上分别为1、、和。如果太阳视差大于或小于10″30‴，则地球上的物质的量必须以该比值的立方比例关系增大或减小。

推论3　我们也找到了行星的密度；因为（由第1编命题72）相等且相似的物体在相似球体表面的重量正比于球体的直径；这样相似球体的密度正比于它们的重量除以球的直径。而太阳、木星、土星和地球之间直径之比分别为10000、997、791和109；同样的重量之比分别为10000、943、529和435；所以其密度之比为100、、67和400。在此计算中的地球的密度，不是由太阳视差所决定，而是由月球所决定的，所以这个计算是正确的。所以太阳的密度比木星的大一点，木星比土星大，而地球的密度是太阳的四倍；因为太阳由于其极高的温度，就保持了一种稀薄的状态。月球的密度大于地球，这在后面会提及。

推论4　行星越小，在其他条件不变的情况下，其密度越大；因为这样在它们各自表面的引力可以趋于相等。同样地，在其他条件不变的情况下，当它们越靠近太阳，其密度越大。所以木星的密度比土星的大，地球的大于木星的；因为行星运行在离太阳远近不同的轨道上，这样根据它们密度的不同，它们受太阳热的程度的比例也是不同的。如果把地球上的水移到土星轨道上，则水就会变成冰；而放在水星的轨道上，则会立刻变成水蒸气挥发掉了。因为正比于太阳温度的阳光，在水星轨道上的密度是在地球上的七倍，而我曾用温度计测出过七倍于地球夏季的温度可以使水沸腾。我们也不用去怀疑水星物质能适应其极高的温度，所以其密度大于地球物质；因为在密度更高的物质里，自然的作用要求更高的温度。

命题9　定理9

行星表面里，越往下，引力以几乎正比于到其中心的距离减小。

如果行星物质的密度是均匀的，这一命题就完全正确（由第1编命题73）。所以其误差不会大于由于密度不均匀所造成的误差。

命题10　定理10

宇宙中行星的运动可以持续很长时间。

在第2编命题40的附注中，我已经证明过了一个都是水的球冻成冰，在掠过其半径长距离的时间里，将由于阻力失去其运动的；且不管球有多大，以何种速度运动，在这种情况下都会是这种比例。但是我们地球的密度会比它全由水构成的密度大，我将对此作证明。如果全是由水构成的，任何密度小于水的物体，因为其较小的比重，则该物体会浮在水面上。照这个推论，如果地球里面的物质跟我们现在的一样，而表面上全是由水包裹着，这样，因为里面的物质密度小于水的密度，则会在某处漂浮；而下沉的水则将会在另外一边聚集起来。而我们地球现在的状况是表面大部分覆盖的都是海水。地球如果不是密度大于海水，则会浮在海面上，并根据其轻的程度，将会或多或少浮在表面，而海水则会退去另一边。由此原理，飘浮在发光物质上的太阳黑斑也是轻于该物质；而不管行星是怎样形成的，当其还是流质状态时，所有较重的物质就会沉入球心。因为地球表面的普通物质的重量是水的两倍，而地球更深处的物质会是水的重量的三四倍，或是五倍，这就使得地球的整个物质比全是由水构成的物质量大五六倍；特别是因为我在前面证明出了地球密度约比木星的密度大四倍。所以，如果木星的密度比水大，则在30天的时间里，木星掠过459个半径长度的空间里，其将会受与空气相同密度的介质的阻力，而失去几乎的运动。但是由于介质的阻力，随其重力或密度的正比关系减少，所以比水银轻倍的水的阻力也会比水银的阻力小相同倍数；而空气比水轻860倍，在空气中的阻力也比在水中的阻力小860倍。所以在宇宙中，由于介质的重量极小，行星运动的阻力几乎等于零。

在第2编命题22的附注中证明过，在地球以上200英里处的空气比其在地球表面稀薄，其比值为：30比0.0000000000003998，或约为75000000000000比1。所以如果木星在与高空空气密度相等的介质里运转，则在1000000年的时间里，介质的阻力只使它失去其百万分之一的运动。在近地球处的阻力只是由空气、薄雾和水蒸气所造成的。当容器底部的气泵把它们全部干净地抽走时，重物就会在容器里自由下落，并且没有任何哪怕是很小的可感知的阻力：金和最轻的下落物一起下落时，它们的速度是一样的；就算它们要下降四、六或者八英尺的距离，它们也能在同等的时间里到瓶底；实验可以证明这一点。所以，宇宙中完全没有空气和水汽，行星和彗星不受任何明显的阻力，这样它们才能在宇宙中运动很长的时间。

假设1

宇宙的中心是固定不动的。

这一说法是大家公认的，但是有些人认为是地球，而其他人则认为是太阳处在宇宙的中心。让我们来看看下面可以推出什么结果。

命题11　定理11

地球、太阳和所有行星的公共重心是固定不动的。

因为（由运动定理推论4）那个重心或是静止的，或是做匀速直线运动；而如果它是运动的，则宇宙的重心也会运动，这就和假设相冲突。

命题12　定理12

太阳受到恒久运动的推动，但是从不远离所有行星的公共重心。

因为（由命题8推论2）太阳的物质的量与木星的物质的量之比为1067比1；木星到太阳的距离比上太阳的半径略大于该比值，所以木星和太阳的公共重心位于太阳表层一点的位置。同理，因为太阳的物质的量与土星的物质的量之比为3021比1，且土星到太阳的距离与太阳半径之比略小于该比值，所以土星和太阳的公共重心将会落在太阳表层略往下一点的位置上。且通过运用该原理来计算，我们可以发现地球和所有的行星都位于太阳的一侧上，所有公共重心到太阳的距离几乎都不能达到太阳直径。在另一些情况中，这些重心的距离会更短。因为该重心是永远静止的，则根据行星的不同位置，太阳必须不断改变位置，但是绝不会远离该重心。

推论　因此地球、太阳和所有行星的公共重心被看作是宇宙的中心；因为地球、太阳和所有的行星都相互吸引，所以根据它们的吸引力大小，正如运动定理所要求的那样，它们会不断地相互推动。很明显，它们的可移动的重心不能被看作是宇宙不可移的中心。如果把一个天体放在该中心上，且对其他天体的吸引力最大（根据普遍观点），则太阳会是最佳选择；但是因为太阳本身是运动的，所以定点只能选在离太阳中心距离最近处，且当太阳的密度和体积变大时，该距离还可以更小，这样太阳运动更小。

命题13　定理13

行星的运行轨道呈椭圆形，且其公共焦点位于太阳中心；在伸向该中心的半径时所掠过的面积正比于其掠过的时间。

前面我们已经在“现象”这一节讨论了这些运动。现在我们知道了它们所依据的原理，从中我们推导出宇宙中的运动规律。因为行星受太阳的重力反比于它们到太阳中心的距离的平方，如果太阳是静止的，其他行星不再相互吸引，则它们的轨道将会是椭圆的，太阳会在其公共焦点上；由第1编命题1、11，以及命题13推论1得知它们所掠过面积正比于掠过的时间。但是行星间的相互作用力很小，几乎可以忽略掉；且由第1编命题66所知，在太阳运动时，它们对绕太阳运转的行星运动的干扰，要小于假设太阳静止时对绕太阳的这些运动的干扰。

事实上，木星对土星的作用力是不能忽略的；因为木星引力和太阳引力之比（在距离相等的情况下，由命题8推论2）为1比1067；且因为土星到木星的距离比上土星到太阳的距离约为4比9，则在木星和土星的交会处，土星受木星的引力与土星受太阳的引力之比为81比16×1067，或者约为1比211。这样在土星和木星的每一个交会点处，土星轨道就会产生明显摄动，以至于很多天文学家都迷惑不解。因为木星在交会点的不同位置，其偏心率有时增大，有时减小；其远日点有时顺时针运转，有时逆时针运转，且其平均运动依次加快和减慢；尽管木星绕太阳运动的所有误差都是产生自这么强大的作用力，但通过把其轨道的低焦点放在木星和太阳的公共重心（由第1编命题67）上，则几乎可以避免（除了平均运动）产生该误差，所以当该误差达到最大值时，几乎也不超过两分钟；且在平均运动中的最大误差每年也不会超过两分钟。但是在木星与土星的交会点处，土星受太阳的加速引力，土星受木星的加速引力，以及太阳受木星的加速引力之间的比值约为1618和，或156609；所以土星受太阳和木星的不同引力比上太阳受木星的引力，约为65比156609或1比2409。但是土星干扰木星运动的最大作用力正比于该差值；所以木星轨道的摄动要比土星的小得多。其他行星的摄动更是要远远小于土星的，除了地球的轨道明显受到月球的干扰。地球和月球的公共重心绕太阳做椭圆运动，且其伸向太阳的半径所掠过的面积正比于掠过的时间。此外地球平均每月绕该公共重心运转一次。

命题14　定理14

行星轨道的远日点和交点是固定的。

由第1编的命题11可知远日点是固定的，且由同一编的命题1可知轨道的平面也是固定的。如果平面是固定的，则交点必须也是固定的。事实上在行星和彗星环绕的相互作用中会产生平面的一些位置变动；但是这些变动都太小了，我们可以把它们忽略不计。

推论1　因为既然与行星的远日点和交点都保持位置不变，所以恒星是不动的。

推论2　因为在地球的年周运动中看不到恒星有明显视差，又因为它们与我们相距甚远，所以恒星不能对我们的天体系统产生任何明显的影响。更不用说由于它们的反向吸引抵消了它们间的相互作用，恒星无规律地在宇宙中到处分布，这由第1编命题70可知。

附注

因为太阳附近的行星（水星、金星、地球和火星）都太小了，所以它们之间几乎不能产生相互作用力。这样，它们的远日点和交点必定是固定的，除了受到一些木星、土星和其他更远行星的作用干扰。所以我们可以通过引力理论得出，它们的远日点位置相对于恒星来说稍微前移，且该移动正比于它们各自到太阳距离的次幂。因此，如果在一百年的时间里，火星的远日点相对于恒星来说前移33′20″，则地球、金星和水星在一百年里各自前移17′40″、10′53″和4′16″。但是这些移动都太小了，在本命题中我们就把它们忽略掉了。

命题15　问题1

求行星轨道的主径。

由第1编命题15可知，它们正比于周期时间的次幂。又由第1编命题66得知，它们各自以太阳与各行星的物质总量的和的三次方根与太阳物质量的三次方根的比值而增大。

命题16　问题2

求行星轨道的偏心率和远日点。

可由第1编命题18得出本命题的解。

命题17　定理15

行星的周日运动是均匀的，且月球的天平动是由这种周日运动产生的。

这一命题可由第1编命题66推论22来证明。相对于恒星而言，木星的自转时间为9小时56分，火星为24小时39分，金星为23小时，地球为23小时56分，太阳为天，以及月球为27天7小时43分，这些在现象这一节已经讲明了。太阳表面黑斑回到其表面相同位置，相对于地球来说为天，这样相对于恒星来说太阳自转要天。但是因为由月球绕其轴均匀转动而产生的太阴日是一个月时间，即，等于其在轨道上环绕一周的时间，所以相同月相总是出现在其轨道的上焦点附近；但是随着焦点位置的移动，该月相也会朝一侧或另一侧偏向在低焦点位置上的地球，这就是经度天平动；因为纬度天平动是由月球的纬度和其轴向黄道平面倾斜所造成的。关于月球天平动的理论，N．默卡特先生在其发表于1676年初的《天文学》这本书中，已经根据我给他写的信作了详尽阐述。土星最远的卫星似乎也在跟月球做一样的自转运动，对土星来说，该卫星呈现的总是同一面向；因为在其绕土星的运转过程中，只要其转到轨道东部位置时，其便很难让人看见，基本可以说是消失了；据M．卡西尼的观测，这可能是由于在球体在面向地球的那部分有一些黑斑所导致的。木星最远那个卫星看起来也在做类似运动，因为在其背向木星的那一部分也有黑斑，而不管其在木星与我们视线范围之间的任何位置上，看起来其总像是在木星球体上。

命题18　定理16

行星的轴短于与轴正交的直径。

如果行星各部分相等的引力不是让其在轨道上自转，则就会使其呈球形。由于自转运动，使得远离轴的那部分受力在赤道附近隆起；这样如果该部分是流质状态，由于其在赤道附近隆起，则赤道部分行星的直径将会扩大，且由于极点的下陷，行星的轴也会减短。因此木星的直径（由天文学家的共同观测）在两个极点之间比在东西之间要短。同理，如果地球赤道处的直径要短于轴长，则大海就会在极点附近下陷，且在赤道附近隆起，并将淹没一切物体。

命题19　问题3

求行星轴长和与轴正交的直径之比。（如图1）

英国人诺伍德先生在1635年测出了伦敦和约克之间的距离为905751英尺，且观测出纬度差为2˚28′，得出了一度长为367196英尺，即57300巴黎托瓦兹。M．皮卡得测出在亚眠和马尔瓦新之间的子午线弧为22′55″，则一弧度为57060巴黎托瓦兹。老M．卡西尼测出了在罗西隆的科里乌尔镇到巴黎天文台的子午线距离；而小M．卡西尼又把这一观测距离从天文台延伸到敦刻尔克的西塔德尔。总距离为巴黎托瓦兹，且科里乌尔和敦刻尔克之间的弧度差为。所以一弧度长为57061巴黎托瓦兹。从这些测量我们可以得出地球周长为123249600巴黎尺，半径为19615800巴黎尺，则假设地球是正球体。

在巴黎的纬度上，重物在一秒钟的时间里下落15巴黎尺1寸分，同上，即分。而由于周围空气的阻力重物的重量会减轻。设减去的重量为总重的，则重物在真空里一秒钟下落2174分。

一个物体在一长23小时56分4秒的恒星日里，在离球心19615800英尺距离的圆周上作匀速运动，一秒钟里其掠过的弧长为1433.46英尺，其正矢为0.05236516英尺或7.54064分。则物体在巴黎纬度上下落的重力，与物体在赤道上由于地球的自转运动所产生的离心力之比为2174比7.54064。

物体在赤道上的离心力与物体在巴黎纬度，48˚50′10″上的离心力之比，等于半径与该纬度的余弦之比的平方，即等于7.54064比3.267。把该力加入到物体在巴黎纬度上由其重量而下落的力中，则该物体在巴黎纬度上，一秒钟时间里，受阻力不计的引力的作用而下落，则其将下落2177.267分或15巴黎尺1寸5.267分。且在该纬度上的总引力与物体在地球赤道上的离心力之比为2177.269比7.54064或289比1。

因此，如果APBQ表示地球，现在它不再是球体了，而是由它较短的轴PQ旋转而形成的椭球；ACQqca表示装满水的管道，从极点Qq延伸到中心Cc，又延伸到赤道Aa；在管道ACca这一支的水的重量与在另一支QCcq中的水的重量之比为289比288，因为自转运动所产生的离心力维持并消去了重量的（一支中），而另一支288份的则维持其余重量。通过计算（由第1编命题91推论2）我发现，如果地球的所有物质是均匀的，不做任何运动，且其轴PQ比上直径AB为100比101，则在Q处所受的地心引力，与在同样位置Q受以C为球心、以PC或QC为半径的球体的引力之比为126比125。同样的原理，在A处受轴AB旋转而成的椭圆APBQ的引力，与同样在A处受以C为中心、以AC为半径的球体引力之比125比126。但是在A处受地球的引力，是受椭球引力与受球体引力的比例中项；因为如果该球体的直径PQ以101比100的比例减小，该球体就会变成地球形状；而如果垂直于直径AB和PQ的第三条直径也以相同比例减少的话，则该球体形状就会变成先前所说的椭球形；且在A处所受的引力也以相同比例减少。在A处指向以C为球心，以AC为半径的球体的引力，比上在A处指向地球的引力为126比。在Q处指向以C为球心，QC为半径的球体的引力，与在A处指向以C为球心，以AC为半径的球体的引力之比的比值，正比于两个球体的直径之比（由第1编命题72），即100比101。如果我们把这些比值126比125、126比和100比101连乘，则得到在Q处与在A处受的地球引力之比为126×126×100比125××101，或为501比500。（如图1）

现在因为（由第1编命题91推论3）ACca与QCcq这两支管道中的引力正比于到地球中心的距离，如果假设管道被横向的、平行的和等距的平面分割成正比于整体的部分，则在ACca这一支中的任意几个部分的重量与另一支中相同数量部分的重量之比，等于它们的大小与加速引力的乘积之比，即，等于101比100乘以500比501，或505比501。所以如果在ACca这一支中任意一部分的由自转运动产生离心力与同样部分的重量之比为4比505，这样分成的505个等份，离心力可以抵消四份该等份的重量，则两支中任意一支中的剩余重量相等，因而流体可以在均衡状态中保持静止。但是任意一部分的离心力与相同部分的重量之比为1比289，即本应为重量的的离心力只为重量的。所以，我认为由比例的规则可知，如果离心力的使得在ACca这一支中的水面高度仅仅超过了QCcq这一支中水面高度的，则离心力的仅仅会让ACca这一支中的水面高度超出另一支中的高度的；所以在赤道上的地球直径与地球的轴之比为230比229。因为根据皮卡德的测量，地球平均直径为19615800巴黎尺，或3923.16英里（1英里等于5000英尺），所以地球在赤道处要比在极点处高出85472英尺，或英里。且地球在赤道上的高度约为19658600英尺，而极点处则为19573000英尺。

如果行星在自转运动中的密度和周期时间都不变，则大于或小于地球的行星，其离心力与引力的比例，以及极点之间的直径与赤道上的直径都不变。但是如果自转运动以任意比例加速或减速，则离心力就会以几乎相同比例的平方增大或减小，直径的差以相同比的平方增大或减小。而如果行星的密度以任意比例增大或减小，则指向它的引力也会以相同比例增大或减小；相反的直径差会正比于引力的增大而减小，且正比于引力的减小而增大。因为相对于恒星而言，地球自转要23小时56分，而木星要9小时56分，它们周期时间的平方之比为29比5，且它们密度之比为400比，以及木星的长直径与其短直径之比为比1，或几乎等于1比。所以木星从东到西的直径与极点之间的直径之比约为比。这样因为木星最长的直径为37″，则其两极之间较短的直径为。并且有大约3″的光的不规则折射，这样该行星的视在直径为40″和36″25‴，这两个值之间的比约为比。这些都是建立在假设木星本身是有着均匀密度的基础上。但是，现在如果其在赤道附近的密度大于其在极点附近的密度，则其相对应的直径之比为12比11，或13比12，或14比13。

卡西尼在1691年观测到木星东西向的直径就比其他直径长约。庞德先生在1719年用他的123英尺长的望远镜和精确千分尺测出了木星的直径，见下表。

因此，这一理论跟现象相符。因为行星赤道附近能受更多的太阳光热，所以赤道处的密度就要比极点处的大。

此外，随着地球的自转运动引力也会减小，所以地球在赤道处要比在极点处隆起得要高（假设其物质的密度均匀），这可由与以下命题相关的钟摆实验来证明。

命题20　问题4

求地球不同地区的物体重量，并对此进行比较。（如图2）

因为管道ACQqca的两分支长度不相等水的重量却是相等的，且部分的重量正比于整个管道的重量，且位置相似处的重量都各自正比于整体的重量，所以它们的重量相等；在管道中重量相等且位置相似部分反比于管道长，即反比于230比229。管道两支中所有位置相似的均匀物体都是这种情况。它们的重量反比于管长，即反比于物体到地球中心的距离。所以，如果物体位于管道的最顶部，或是位于地球表面，则它们各自的重量反比于它们到球心的距离。同理，整个地球表面所有其他位置的重量都反比于其到球心的距离；所以，假设地球是椭球体，则比值即定了。

从该原理可以得出从赤道移到极点的物体的重量几乎以正比于纬度正矢的两倍增加；或者，正比于纬度正弦的平方也是一样的；且在子午线上的纬度弧长也几乎是以相同比例增加。所以因为巴黎纬度为48˚50′，赤道为00˚00′，极点为90˚；这些弧的两倍的正矢为1133400000和20000，半径为10000，且极点处与赤道的引力之比为230比229；极点引力多于赤道的那部分与赤道引力之比为1比229；在巴黎纬度处多于赤道的引力与赤道引力之比为1×比229，或者为5667比2290000。该处总引力比另一处总引力等于2295667比2290000，因此，由于在相同时间里的摆长正比于引力，所以在巴黎纬度上，秒摆摆长为3巴黎尺分，或者由于考虑到空气的重量，摆长为3巴黎尺分，周期相同的赤道上的摆长就要比前者短1.087分。

从此处的表格可以看出，每度子午线长的差异实在是太小了，所以从地理学角度，我们可以把其看做是球体，特别是如果地球在赤道平面处的密度比在极点处的密度大时。

现在几个被派到遥远国家作天文观测的天文学家发现，摆钟在赤道附近确实比在我们地区走得相对慢些。最早在1672年，M．里歇尔在凯恩岛注意到这一现象。因为在八月时，当他正在观测恒星过子午线的移动，他发现他的摆钟比其本该有的速度要慢，相对于太阳的平均运动来说它一天要慢2′28″。所以他制作了一个简单秒摆，由精确钟表校准，并测出了那个摆的摆长。他一个星期又一个星期地重复做这个实验，足足做了十个月。当他回到巴黎后，他比较了前面测出的摆长和在巴黎测出的摆长（3巴黎尺分），他发现它要短分。

此后，我的朋友哈雷博士在1677年左右在圣赫勒拿岛时，发现了在条件相同的情况下，他的摆钟比在伦敦时走得要慢。但是当他缩短了摆钟的摆杆英寸，或分多时，因为在摆杆底部的螺丝失效了，他就在螺母和摆锤之间插入了一个木环。

然后，在1682年，M．法林和M．德斯海斯在巴黎皇家天文台测出了一个简单秒表的摆长为3巴黎尺分。用同样的方法，在戈雷岛他测出了等时摆的摆长为3巴黎尺分，与前者相差2分。且在同一年里去了瓜达罗普和马丁尼古岛，在那里他测出了等时摆的摆长为3巴黎尺寸。

这之后，小M．库普莱在1697年7月在皇家天文台，他让他的摆钟与太阳的平均运动校准，使之在相当长时间里与太阳运动相吻合。在接下来的十一月，他来到了里斯本，在这里他发现他的摆钟一天里比以前慢了2分13秒。然后紧接着的三月，他去了帕雷巴，他发现在这儿他的钟比在巴黎时一天要慢4分12秒；他断定秒摆的摆长在伦敦要比在巴黎短分，在帕雷巴要短分；他如果计算的这些差值为分和分的话，他会做得更完美；因为这些差异都是和时间差2分13秒和4分12秒相对应的。但是这位先生做观测太疏忽大意了，以致他的数据不值得信赖。

在随后的1699年和1700年，M．德斯海斯去了美洲，他测出了在凯恩和格林纳达岛秒摆摆长稍微小于3巴黎尺分，而在圣克里斯托弗岛是3巴黎尺分，在圣多明戈岛为3巴黎尺7分。

随后，在1704年，P．费勒在美洲的皮尔托贝卢发现在那儿秒摆的摆长为3巴黎尺分，那几乎比在巴黎要短3分；但是这一观测结果是错误的。因为在之后去马丁尼古岛时，他发现在那儿等时摆的摆长为3巴黎尺分。

现在帕雷巴在南纬6˚38′，皮尔托贝卢为北纬9˚33′，凯恩、戈雷、瓜达罗普、马丁尼古、格林纳达、圣克里斯托弗和圣多明戈岛则分别为北纬4˚55′，14˚40′，15˚00′，14˚44′，12˚06′，17˚19′和19˚48′。在巴黎的摆长超出在上述这些纬度上等时摆摆长的那部分长度要比在从上表中得出的要稍微多一点。所以地球赤道要比前面计算的隆起得还要高，且在球心处的密度比表面的还要大，除非是热带的温度让摆长增加了。

因为M．皮卡德曾经观察过，在冬季会结冰的天气里，一根铁条是1英尺长，而在遇火加热后，变成了1英尺分长。此后M．德拉希尔发现在冬季同样的天气下，铁条是6英尺长，当暴露在夏日阳光下时，就增长到了6英尺分。在前一种情况中温度要比在后者中高，但是后者的温度也要比人体表面温度高，因为金属暴露在阳光中可以得到相当可观的热量。但是摆钟的铁条却从来没有暴露在夏日阳光里，也从没得到过与人体表面温度相同的热量；所以，尽管3英尺长的摆钟铁条确实会在夏季比冬季长，但这一差值还不到分。所以，在不同气候下的等时摆长差不能归因于热量的不同，也不能归因于法国天文学家的错误事实。因为，尽管他们的观察结果不统一，但是这些误差不大可以忽略掉；他们一致同意的是等时摆的摆长在赤道处要比在巴黎皇家天文台要短，其误差在分到分之间。M．里歇尔在凯恩岛观测出的误差为分。而那一误差被M．德斯海勒更改成了分或是分。其他人做同样的观测更不精确，误差为2分。这一误差有一部分是由观测误差所造成的，有一部分是来自地球内部构造的差异和山的高度，还有一部分是空气温度的差异。

我观测出的3英尺的铁条在英格兰的冬季要比夏季短分。因为赤道处的温度极高，要从M．里歇尔的分中减去这一量，这样就会剩下分，这就和本理论前面所得出的很符合。M．里歇尔在凯恩岛反复做这一观察，每周一次，做了10个月，还把在这儿记录到铁条上的观测数据与他在法国观测的作比较。这种勤奋和仔细看起来似乎是其他观测者所缺乏的。如果这位先生的观测数据值得信赖，则地球的赤道就要比极点隆起得要高，且高出约17英里，就正如本理论所证明的那样。

命题21　定理17

二分点后移，地轴由于公转运动中的章动，每年两次朝黄道移动，也以相同频率回到其原先的位置。

这一命题由第1编命题66推论20所证明；而章动运动必定很小，几乎不能察觉。

命题22　定理18

月球的所有运动和那些运动的所有不相等性，都要遵循以上原理。

由第1编命题65可知，较大的行星在围绕太阳转时，可能在同时带动一些较小的卫星绕其旋转；而那些较小的卫星必须在以较大行星的中心为其焦点的椭圆轨道上运动。但是它们的运动将会受到太阳多种形式的干扰，并像月球所受的那样呈现不相等性。这样我们的月球（由第1编命题66推论2、3、4和5）就会运动得越快，在伸向地球的半径在相同时间里所掠过的面积越大，且其轨道弯曲得越小，所以在朔望点时比在方照点时更靠近地球，除了当这些干扰被偏心运动所阻挡的时候；因为（由第1编命题66推论9）远地点的位于朔望点时，偏心率是最大的，而在方照点时是最小的；由此得出近地点的月球在朔望点时运动得较快，且更接近地球，而远地点的月球在方照时运动得较慢，且离地球较远。此外，远地点向前移，而交会点向后退；且这不是由规则的运动而是由不均匀的运动造成的。因为（由第1编命题66推论7、8）在朔望点时远地点前移得更快，而在方照点时后退得更慢，这种顺逆行差就造成了每年的前移。相反地，交会点（由第1编命题66推论11）在朔望点时是静止的，而在方照点时后退得最快。而且，月球的最大黄纬（由第1编命题66推论10）在方照点时大于在朔望点时。且（由第1编命题66推论6）月球的平均运动在地球近日点时比其在远日点时要慢。这些都是天文学家所发现的（月球运动的）基本不相等性。

但是也有其他一些过去天文学家没发现的不相等性，他们使月球的运动被干扰，到现在我们也不能把它们归入任何确定的规律下。因为月球的远地点和交会点的速度或每小时的运动及其均差，以及在朔望点的最大偏心率和在方照点的最小偏心率的差值，还有就是我们称之为变差的不相等性，是（由第1编命题66推论14）年度里随着正比于太阳视在直径的立方而增大或减小的。而且（由第1编引理10推论1、2和命题66推论16）变差几乎是以正比于朔望之间的时间的平方而增加和减小。但是在天文计算中，该不相等性通常都与月球中心运动的均差相混淆。

命题23　问题5

从月球的运动中得出木星和土星卫星的不相等运动。

从月球的运动我们可以推导出相对应的木星卫星运动，由第1编命题66推论16可知。木星最外层卫星交会点的平均运动与月球交会点的平均运动之比，正比于地球绕太阳运动的周期与木星绕太阳运动的周期之比的平方，乘以木卫星绕木星运动与月球绕地球运动的周期之比；所以，这些交会点在一百年的时间里，后退或前移了8˚24′。内层卫星交会点的平均运动与外层卫星交点的平均运动之比，等于它们的周期与前者的周期之比，这是由同一个推论得出，所以也可以求出。每个卫星回归点的前移运动与其交会点的后移运动之比，等于月球远地点的运动与其交会点之比（由同一个推论），所以也可以求出。但是，这样求出的回归点运动必须以5比9，或是约为1比2的比例减小，其原因我不能在这儿很好地解释。每一个卫星的交会点和上回归点的最大均差分别与月球交会点和远地点最大均差之比，等于在前一均差一次环绕的时间里，卫星的交会点和上回归点的运动与在后一均差一次环绕的时间里，月球的交会点和远地点的运动。由同样的推论，从木星上所看到的卫星变差与月球的变差之比，等于在卫星和月球（从离开到回来）分别绕太阳运转的时间里这些交会点的总运动的比，所以最外层卫星的变差不会超过5.2秒。

命题24　定理19

大海的涨潮和退潮是由太阳和月球的作用引起的。（如图3）

由第1编命题66推论19，我们得知海水一天中有两次潮起和潮落，包括在太阳日和月亮日的。开阔的深海里的海水紧随着日、月到达当地子午线后在6小时里达到最高高度，就像在法国和好望角之间的大西洋和埃塞俄比亚海的东部区域，也就像南太平洋的智利和秘鲁海岸。在所有的这些海岸边涨潮发生在第2、3或4个小时，除非深海底的海水运动被海峡的浅滩导向一些特别的地方，这样会延迟到第5、6或7小时后，甚至更晚。我所估计的小时是从每一次日、月到达当地子午线，也是从高于或低于地平线时开始算起的；月球日是月球通过其视在周日运动经过一天后再次回到当地子午线所需的时间，小时是该时间的。当太阳或月球到达当地子午线时海水涨潮的力是最大的；该作用于海水的力在作用后仍然能持续一段时间，且其随后由一种新的，尽管作用力很小，但是仍然作用于其之上的力所增强。这就使得海潮涨得越来越高，直到这一新的力变得越来越弱，已不能再使海水涨起来，海潮就涨到了其最高的程度。这一过程也许需要一两个小时，但是通常是在靠近海岸的地方停留约3个小时，当海水很浅时，甚至更多。

太阳和月球能够引起两个运动，这两个运动之间没有明显区别，但是它们之间会引起一个复合了前两个的混合运动。在日月的会合点或对冲点，它们的作用力结合在一起，就引起最高的潮涨潮落。在方照点时太阳会使月球退下去的潮水涨起来，或使月球涨起来的潮水退下去，并且它们力的差造成了最小的潮。因为（由经验可知）月球的作用力大于太阳，所以在第三个月球小时会产生最高的潮。除了在朔望点和方照点时，月球独自引起的最大海潮应该发生在第三个月球小时，而太阳独自引起的最大海潮应该发生在第三个太阳小时。这两个的混合作用力引起的海潮必须是一个中间时间，且在更接近于第三个月球小时而不是太阳小时。所以，当月球从朔望点到方照点这期间，第三个太阳小时领先于第三个月球小时，而且最高海水到来的时间也要领先于第三个月球小时，且以其最大间隔稍微落后于月球的八分点；当月球从方照点到朔望点这期间，最高海潮以相同间隔落后于第三个月球小时。这些情形发生在开阔的水域；因为河口处的最高潮要晚于海面的最高潮。

但是，日月的这些作用取决于它们到地球的距离；因为当它们离地球很近时，它们的作用力就很强，而当它们离地球很远时，它们的作用力就很弱，该作用力正比于它们的视在直径的立方。所以在冬季时，当太阳在近地点时有最大作用力，且在朔望点时弄起的潮更高，而在方照点时引起的海潮比在夏季时要小；而每月月球在近地点弄起的海潮要大于在离近地点15天前后当其还处于远地点时弄起的海潮。由此可知，最大的两个海潮不是一个接一个地发生在两个紧接的朔望点之后。

日月的作用还依靠其与赤道的距离和倾斜度，因为如果它们在极地的位置上，则其就会维持对所有地方的水的吸引力，水的运动不会有任何变化，且也不会引起任何交替运动。所以，在日月从赤道到两极的过程中，它们会逐渐失去作用力，这样它们在朔望点时，在夏至和冬至时激起的海潮就会小于在春分和秋分时的。但是当在方照点时，它们在夏至和冬至时激起的海潮要大于在春分和秋分时，因为当月球在赤道时，其作用力超过太阳作用力的程度是最大的，所以最大的海潮发生在这些朔望点，最小的海潮在方照点，在“二分”点时情况也是这样的。我们由经验也可以得知，在朔望点时的最大海潮之后通常都紧接着在方照点时的最小海潮。但是，因为太阳在冬季时离地球的距离比夏季时更近，所以在春分之前最大海潮和最小海潮发生的频率要比在这之后发生得更高，而在秋分之前的频率则要比之后更小。

此外，日月的作用力也取决于纬度位置。令ApEP代表表面覆盖深海的地球，C就表示地心，P、p是两极；AE为赤道，F为赤道外任意一点，Ff是赤道的平行线，Dd是赤道另一边的平行线，L表示月球三小时前所处的位置，H为月球正对着L的地球的点，h为H的地球另一面正对的点，K、Q为90˚处的距离，CH、Ch是海洋到地心的最大高度的海，CK、Ck是最小高度。如果以Hh、Kk为轴线作出一个椭圆，且绕其较长的轴线Hh做自转，则椭球体HPKhpk就形成了，该椭球几乎就能代表海的形状，CF、Cf、CD、Cd就表示在Ff、Dd处的海洋高度。而且，在前面所说的椭球体自转过程中，任意点N所掠过的圆NM与平行线Ff、Dd相交于随MN移动的R，T，与AE相交于S，CN表示在这个圆中R、S、T所代表的所有地方中海面的高度。为此，在任意点F的周日运动中，最大潮将发生在F，就在月球由地平线上升到子午线后的第三个小时；此后，最大的潮水又发生在Q处，在月球落下后的第三小时；然后最大的潮水又出现在f，月球由地平线落到子午线后三小时；最后又是在Q处的最大退潮，发生于月球升起后的三小时。且后者在f处的潮水会小于前者在F处的。因为整个海被分成两个半球的潮水，一个是在北部半球KHk上，而另一个是在南部半球Khk上，对此我们可以分别称之为北部潮水和南部潮水。这通常是一个与另一个相对的潮水，以12月亮小时的间隔，一个接一个地到达各地的子午线。由于北方国家受到北部潮水的影响较大，而南方则受到南部潮水的影响较大，因此日月引起的大小不等的潮涨潮落，交替在赤道以外的任何地方发生着。但是最大潮会发生在月球在当地的天顶，约为月球从地平线爬到子午线后的第三个小时；当月球变得更倾向于赤道的另一边时，则本是较大的潮水就会变得较小。这种改变最大的潮水将会发生在冬至、夏至，特别是当月球的交点是在白羊座的第一星附近时。由经验可知，在冬季时早潮要高于晚潮，而在夏季情况相反，根据科勒普赖斯和斯多尔米的观察，在普利茅斯这之间的高度差为1英尺，而在布里斯托为15英寸。

然而，我们所说的运动也会受到相互作用而有一些改变，水一旦动起来就会因其惯性而持续一段时间。因此，尽管日月的作用停止了，但海潮还是会持续一阵。这种能持续其运动的能力减少了交替海潮的差异，且让那些紧接在朔望点大潮之后的海潮更大，而在方照点小潮之后的海潮更小。因此在普利茅斯和布里斯托的交替海潮的高度差异相互之间不会超过1英尺或15英寸，且在所有这些港口中最大海潮不是在朔望点大潮之后的第一天而是第三天。而且，所有的运动都在它们通过的浅海峡而有所阻滞，因此在一些海峡和河口处，往往最大的海潮是在朔望点大潮后的第四天，甚至第五天。

此外，还有一种情况就是潮水通过不同的海峡到达同一个港口，且在通过一些海峡时会比通过其他的要快一些；在这种情况中，同样的潮水分成了两道或三道，它们之间不停地相互追赶，最后它们可能会会合成一道不同种类的新运动。假设两支相等的海潮从不同地方汇聚到同一个港口来，有一个要提前另一个六小时；又假设这前一个海潮发生在月球到达该港口的子午线之后的第三小时。如果月球在到达该子午线时是在赤道上，该处每六小时就会出现相等的潮水，在遇到相等的退潮时，相互之间就抵消了，到那一天海水就会沉寂下来。如果月球接着从赤道上落下，就如我以前说过的，海潮就会在较大和较小之间交替；因此两个较大和较小的海潮就会交替到达港口。但是这两个较大的海潮会在它们到达的时间之间产生最高的潮水；而这两种潮水能在它们的到达时间之间，产生这四股潮水的平均高度的潮水，然后这两个较小海潮之间能产生最低的潮水。因此在24小时里潮水一般不会涨两次最高潮，而是只有一次到达了最高潮；如果月球倾向于上极点，则潮水的最高高度就会发生于月球到达地平线之后的第6或30小时；当月球改变其倾角时，潮水就会转为退潮。所有哈雷博士所给我们的例子中的一个是，在北纬20˚50′敦昆王国的巴特绍港口的水手的观察中发现：在该港口，在月球经过赤道后的第一天里，海水是平静的，当月球向北倾斜时，海水就开始涨和退，就像在其他港口一样不是每天有两次而是一次；而且涨潮发生在月落时，最大退潮是在月球升起时。这一潮水随着月球的倾斜而增强直到第七或八天；然后这第七、八天之后潮水就以涨潮时相同的比例退潮，当月球越过赤道向南，改变了其倾斜后，潮水才会停止退去。在潮水迅速转变为退潮之后；月落时就会发生退潮，而月球升起时就会涨潮；直到月球又一次越过了赤道，改变了倾斜。有两条海湾通向港湾口和临近水湾，一条是从大陆与吕卡尼亚之间的中国海，另一条是从大陆与波尔诺岛之间的印度海。但是是否真的有两股潮水通过刚才我们所说的海峡，一条从印度海在12小时之内赶来，而另一条从中国海在6小时之内赶来，在第三个和第九个月球小时汇聚在一起，产生这些运动；或者是否是由于这些海域的其他环境因素造成的，我把这留给了邻近海岸的观察者们去研究。

以上我已解释了关于月球运动和海洋运动的原因，现在是讲与这些运动的量有关的问题的时候了。

命题25　问题6

求太阳干扰月球运动的力。（如图4）

令S为太阳，T是地球，P为月球，CADB为月球的轨道。从SL上取SK等于ST，令SL与SK之比等于SK与SP之比的平方；作线LM平行于PT；如果设ST或SK表示地球受太阳的加速引力，则SL就会表示月球受太阳的加速引力。但是该力是由SM和LM合成的，其中SM干扰月球的运动的那部分力由TM表示，正如我们在第1编命题66及其推论所证明的那样。因为地球和月球都绕它们的公共重心运转，所以地球的运动也会受到类似力的影响；但是我们可以把这些力的和与运动的和都看做是发生在月球上的，力的和用与其相似的线段TM、ML来表示。力ML（平均量）比上在PT的距离里使月球维持绕静止地球运转的向心力，等于月球绕地球的周期与地球绕太阳的周期之比的平方（由第1编命题66推论17），即等于27天7小时43分与365天6小时9分之比的平方，或为1000比178725，或为1比。但是在本编命题4中我们可以知道，如果地球和月球都绕它们的公共重心运转，则它们之间的平均距离就几乎等于个地球平均半径；在PT，也就是个地球半径的距离里，使月球维持在绕静止地球运转的轨道上的向心力，与使月球在相同时间里，在距离60个半径处运转的力之比等于比60；且这个力与地球上的重力之比非常接近于1比60×60。所以力ML与地球表面的引力之比为1×比60×60×60×，或者为1比638092.6；因此由直线TM与ML的比例，就求出了力TM。这就是太阳干扰月球运动的力。

证明完毕。

命题26　问题7

求月球在圆形轨道上运行时，伸向地球的半径所掠过面积的每小时的增量。（如图5）

我们前面已经证明过月球伸向地球的半径所掠过的面积正比于掠过的时间，月球的运动受太阳作用的干扰忽略不计；在此我建议去研究变化率的不相等性，或受干扰的该面积的每小时增量，或受干扰的运动的每小时增量。为了使计算更简单，我设月球的轨道是圆的，且忽略掉其他所有不相等性，除了现在我们要考虑的；因为距离太阳很遥远，所以我们可以进一步设直线SP和ST是平行的。由此，力LM就会总是简化为其平均量TP，力TM也简化为其平均量3PK。这些力（由运动定律推论2）合成了力TL；且作垂线LE到半径TP，该力又可以分解成力TE和EL；其中TE力恒定作用于半径TP方向，且不使半径在掠过区域TPC时加速或减速；但是EL作用于半径TP的垂线，这使得掠过该面积的速度以正比于月球运转速度的增加或减少来增加或减少。在从方照点C移动到会合点A的过程中，月球的加速每时每刻都正比于生成的加速力EL，即正比于。令时间由月球的平均运动来表示，或是（等价地）由角CTP来表示，甚至是由弧CP来表示。过C作CG垂直于CT，且CG等于CT；设直角弧AC被分成无限个相等部分Pp，这些部分代表同样无限个相等的时间部分。作pk垂直于CT，直线TG与KP、kp的延长线相交于F和f；则FK等于TK，因此Kk比PK等于Pp比Tp，即比值是给定的；所以FK×Kk，或是面积FKkf，将会正比于，即正比于EL；合成后，GCKF整个面积将正比于在整个时间CP里，EL所有作用在月球上的力之和；所以也正比于该和所引起的速度，即，正比于掠过CTP的加速度，或是正比于其变化率的增量。使月球在距离TP上绕静止地球以27天7小时43分的周期在轨道CADB上运行的力，可以使一物体在时间CT里运动CT长的距离，与此同时也获得与月球在其轨道上运行的相等速度。这是在第1编命题4推论9所证明过的。但因为作TP垂线的Kd，是EL的三分之一长，又在八分点处等于TP或是ML的一半长，所以在该八分点处力EL最大，它超出力ML的部分与力ML之比为3比2；所以它比上使月球绕静止地球作周期运动的力，为100比，或是11915；且在时间CT里可以产生的速度等于月球速度的；而在时间CPA里可以产生一种正比于CA比CT，或是CA比TP的更大速度。令最大力EL在八分点，由FK×Kk，或是由相等乘积TP×Pp来表示；在任意时间CP里该最大力能产生的速度与在同样时间里任意较小力EL能产生的速度之比，等于乘积TP×CP比面积KCGF；但是在整个时间CPA里产生的速度相互之比等于乘积TP×CA比三角形TCG，或为直角弧CA比半径TP；所以在整个时间里后一个速度正比于月球速度的。该正比于面积的平均变化率的月球速度（设该平均变化率由数字11915表示），如果我们在该速度上增加或减少其他速度的一半；则和11915＋50，或11965就表示在朔望点A面积的最大变化率；而差11915-50，或11865就表示在方照点面积的最小变化率。所以在相等时间里，在朔望点和方照点掠过的面积之比为11965比11865。若在最小变化率11865上再加上一个变化率，它比前两个变化率的差100等于四边形FKCG比三角形TCG，或等于正弦PK的平方比半径TP的平方（即等于Pd比TP），则所得到的和表示月球位于任意中间位置P时的面积变化率。

但是，这一切都是建立在太阳和地球都是静止的，以及月球会合周期是27天7小时43分的基础上的，但是由于月球的会合周期事实上是29天12小时44分，所以变化率必须按时间相同的比例增加，即以正比于1080853比1000000的比例增加。照此计算，曾是平均变化率的整个增量，就会变为平均变化率；所以月球在方照点的面积变化率和在朔望点的变化率之比为（11023-50）比（11023＋50），或者是10973比11073；而月球在任意中间位置P的变化率则为10973比（10973＋Pd），设TP＝100。

月球指向地球的半径在每个相等时间里画出的面积，在半径等于1时近乎正比于数219.46与月球到最近的一个方照点的距离的两倍的正矢之和。这里设在八分点的变差为其平均量，但是如果变差增大或减小，则正矢也要以相同比例增大或减小。

命题27　问题8

由月球的小时运动可以求出其到地球的距离。

月球指向地球的半径掠过的面积，在每个小时里正比于月球的小时运动与月球到地球距离的平方的乘积。所以月球到地球的距离正比于面积的平方根，反比于小时运动的平方根。

证明完毕。

推论1　因此可以求出月球的视在直径；因为它反比于月球到地球的距离。让天文学家去验证究竟这些规律是否和现象相符。

推论2　因此由现象可以求出比迄今所作的更精确的月球轨道。

命题28　问题9

求月球运行的无偏心率轨道的直径。（如图6）

如果物体受垂直于轨道的方向的吸引，则物体掠过的轨道曲率正比于该引力，反比于速度的平方。我让曲线的曲率之比为相切角的正弦或正切与相等半径的最后之比，设那些半径无限制减小。但是月球在朔望点对地球的吸引力是其对地球的吸引力超出太阳引力2PK（如图4）的部分，太阳引力2PK就是月球指向太阳的加速引力与地球指向太阳的加速引力之间的差。而在方照点时引力就是月球指向地球的引力与太阳引力KT之和，太阳引力KT使月球趋向于地球。设N为，则这些引力近乎正比于和，或正比于178725N×CT2-2000AT2×CT，和178725N×AT2＋1000CT2×AT。（如图6）因为如果数字178725代表月球指向地球的加速引力，则把月球拉向地球的，在方照点时为PT或TK的平均引力ML将为1000，而在朔望点时平均引力TM就会为3000；从中，如果我们减去平均引力ML，则这里就剩了2000，这就是在朔望点时把月球拉向的力，也就是我们在前面称之为2PK的那个力。但是月球在朔望点A、B的速度与在方照点C、D的速度之比为CT比AT，与月球伸向地球的半径在朔望点时所掠过面积的变化率，比上在方照点时所掠过的面积变化率之乘积，即等于11073CT比10973AT。将该比值倒数的平方乘以前一个比值，则月球在朔望点时其轨道的曲率与其在方照点时的曲率之比为120406729×178725AT2×CT2×N-120406729×2000AT2×CT比122611329×178725AT2×CT2×N＋122611329×1000CT4×AT，即，正比于2151969AT×CT×N-24081AT3比2191371AT×CT×N＋12261CT3。

因为月球轨道的形状还不清楚，我们设地球是静止的，又设地球位于椭圆DBCA的中心，且长轴DC位于方照点之间，短轴AB位于朔望点之间。但是由于该椭圆的平面以角运动绕地球运转，则我们现在要求的轨道就不应在有这种运动的平面上掠过。我们应去考虑月球运转在该平面上所掠过的轨道形状，那就是说，我们应这样去求在椭圆的Cpa上任意一点p的：设P表示月球，作Tp与TP等长，且使得角PTp等于太阳最后一个方照点C以后的视在运动；或者（等价地）使得角CTp比上角CTD等于月球的会合运动周期比上运动周期等于29天12小时44分比27天7小时43分。所以，我们取角Cta与角CTA的比值等于该比值，且取Ta与TA等长，这样我们就可以得出a为轨道Cpa的下回归点，而C为上回归点。但是由计算得出在天顶a处的轨道Cpa的曲率与以T为圆心，TA为半径的圆的曲率之差，比上在天顶A处的椭圆的曲率与该圆的曲率之差，等于角CTP与角CTp之比的平方；且椭圆在A处的曲率与圆的曲率之比为TA比TC之比的平方；该圆的曲率与以T为圆心，以TC为半径的圆的曲率之比为TC比TA；但最后一个圆与椭圆在C处的曲率之差为TA比TC的平方；且椭圆在天顶C处的曲率与最后一个圆的曲率之差，正比于图形Cpa在天顶C处的曲率与同一个圆的曲率之差，为角CTp与角CTP之比的平方；所有这些比例都能从相切角的正弦以及那些角之间的差的正弦中很容易地推导出。但是把那些比例相互一起比较，我们可得知图形Cpa在a处的曲率与其在C处的曲率之比为AT3-CT2×AT比CT3＋AT2×CT；这里表示角CTP与角CTp的平方之差除以较小的角CTP的平方；或表示（等价地）时间27天7小时43分和29天12小时44分之平方差除以时间27天7小时43分的平方。

由于a表示月球的朔望点，而C为方照点，现在发现上述比例必须和上面求出的月球在朔望点的曲率与其在方照点的曲率之比的比值相等。因此，为了求出CT比AT的比值，让外项与中项相乘，再用得出的项除以AT×CT，就可得2067.79CT4-2151969N×CT3＋368676N×AT×CT2＋36342AT2×CT2-362047N×AT2×CT＋2191371N×AT3＋4051.4AT4＝0。现在如果我们设AT和CT之和的一半为1，且x为它们之差的一半，所以CT就会等于1＋x，AT则会为1-x。然后把这些结果代入等式中，解出x＝0.00719；因此半径CT＝1.00719，而AT＝0.99281，它们之间的比约为比。所以月球在朔望点与在方照点时到地球的距离之比为比，或者整数比为69比70。

命题29　问题10

求月球的变差。

这种不相等性部分是由于月球轨道是呈椭圆形造成的，部分是由于月球伸向地球的半径所掠过的面积的变化率的不相等性而引起的。如果月球P绕静止在椭圆DBCA中心的地球运转，且其半径TP伸向地球所掠过的面积CTP正比于掠过的时间；且椭圆的最长半径CT与最短半径TA之比为70比69；则角CTP的正切与从方照点C处算起的平均运动角的正切之比就会等于椭圆的半径TA与半径TC之比，或等于69比70。但是掠过的面积CTP应该随着月球从方照点移向朔望点，以这种方式加速，使月球在朔望点的与其在方照点的面积变化率之比为11073比10973；而且在任意中间点P的变化率超出在方照点的变化率正比于角CTP的正弦的平方；如果角CTP的正切以10973与11073比值的平方根来减少，即以正比6868777比69的比值减少，则可以足够精确地求出它。因此，角CTP的正切与平均运动角的正弦之比就会等于68.6877比70；角CTP在平均运动角为45˚的八分点处会等于44˚27′28″，用平均运动角45˚减去该度数，就得到最大变差32′32″。这样，如果月球从方照点到朔望点则只掠过90˚的角CTP。但由于地球运动造成太阳的视在移动，这样月球在追上太阳之前掠过的角CTa大于直角，其与直角的比等于月球运转的会合周期与其自转周期之比，即等于29天12小时44分比27天7小时43分。由此所有以T为顶点的圆心角也以相同比例增大；这样本应为32′32″的最大变差，现在也以相同比例增大到35′10″。

这就是在太阳到地球的平均距离上月球的变差，忽略掉可能由轨道曲率所引起的差异，以及太阳在月球呈凹面和新月时比在月球呈凸面和满月时的作用力更强。在太阳到地球的其他距离中，最大变差都正比于月球运转会合周期（一年的时间是给定的）的平方，且反比于太阳到地球距离的立方。如果太阳的偏心率比上轨道的横向半径为比1000，则太阳在远地点的最大变差为33′14″，而在其近地点为37′11″。

至此，我们已经了解到一个无偏心的轨道的变差，其中月球在八分点到地球的距离就等于其到地球的平均距离，如果由于月球轨道的偏心率，月球到地球的实际距离或多或少有些差异，由法则可知，其变差也时强时弱。但是我把变差的增减留给天文学家通过观测作出推算。

命题30　问题11

求月球在圆轨道交会点的小时运动。（如图7）

令S表示太阳，T为地球，P为月球，NPn为月球轨道，Npn为轨道在黄道平面上的正投影；N、n为交点，nTNm为交点连线的不定延长线；PI、PK垂直于直线ST、Qq；Pp垂直于黄道平面；A、B为月球在黄道平面的朔望点；AZ垂直于交点连线Nn，Q、q为月球在黄道平面的方照点，pK垂直于方照点之间的连线Qq。太阳干扰月球运动的作用力（由命题25）是由两部分组成的，一部分正比于直线LM，另一部分正比于直线MT；月球以平行于地球于太阳的连线ST的方向，受前一个力的作用被吸引向地球，受后一个力的作用被吸引向太阳。前一个力LM以月球轨道平面方向作用，所以对月球在轨道上的位置不产生影响，因此我们就把它忽略掉；而使月球轨道受影响的后一个力MT等于力3PK或3IT。该力（由命题25）比上使月球沿圆轨道绕静止的地球作匀速转动的周期运动的力，等于3IT比轨道半径与178725的乘积，或等于IT比半径与59575的乘积。但是在本计算中，以及以后的情况中我都把月球与太阳的所有连线看做是地球与太阳连线的平行线；因为这儿的倾斜使在一些情况下减少的作用，与使在另一些情况中增加的作用几乎相当；我们现在是在研究交会点的平均运动，应该忽略掉那些无意义，而又只会使计算更复杂的细节。

现在设PM表示在最短时间间隔里月球所掠过的弧，ML是一小段线段，由先前所说的力3IT的作用下，月球可以在相同时间里掠过它的一半；延长PL、MP使之与黄道平面相交得到m，l，然后作PH垂直于Tm。现在，因为直线ML与黄道平面平行，所以ML永远不能和该平面上的直线ml相交，而又因为这两条直线都在同一个平面LMPml上，所以它们也是平行的，由此，三角形LMP、lmp相似。由于MPm在轨道平面上，在该平面内当月球在P点运动运动时，点m就会落在轨道交点N、n的连线上。因为产生这一小段LM的一半的力，如果整个一起同时作用于P点，则就会产生整条线段，且使得月球在以LP为弦的弧上运动；也就是，使月球从平面MPmT转移到平面LPlT；所以该力产生的交会点角运动就会等于角mTl。但是ml比mP等于ML比MP；而因为时间是给定的，所以MP也是给定的，因此ml正比于乘积ML×mP，即，正比于乘积IT×mP。如果Tml是直角，则角mTI就会正比于，所以正比于，即（因为Tm和mP，TP和PH是成正比的）正比于；且因为TP是给定的，正比于IT×PH。但是如果角Tml或角STN不是直角，则角mTl还要小，正比于角STN的正弦与半径之比，或正比于AZ比AT。所以交会点的速度正比于IT×PH×AZ，或者正比于角TPI、PTN和STN的正弦的乘积。

如果它们都是直角，就像交会点在方照点，月球在朔望点一样，则小线段ml就会转移到无限远的地方，且角mTl就会等于角mPl。但是在这一情况中，角mPl比在相同时间里月球绕地球的视在运动所形成的角PTM，等于1比59.575。因为角mPl等于角LPM，即等于月球偏离直线运动的角；如果月球的引力失去，则先前所说的太阳力3IT就会在给定时间里单独产生该角。角PTM等于月球偏离直线运动的角；如果太阳力3IT失去了，则月球所受的向心力就能在同样时间里单独产生该角。且两个力（就是前面所说的）相互之间的比值为1比59.575。因为月球的平均小时运动（相对于恒星而言）是33m56s27th12，所以在这一情况中交会点的小时运动就会为33s10th33iv12v。但是在另一些情况中，小时运动比上33s10th33iv12v，就会等于TPI、PTN和STN这三个角的正弦（或者是月球到方照点的距离，月球到交会点的距离和交会点到太阳的距离）的乘积与半径的立方之比。随着任意角的正弦从正到负，又从负到正，逆行运动必须变为顺行运动，而顺行运动又变为逆行运动。因此当月球运行到任意方照点与方照点附近的交会点之间的位置上时，交会点就会是顺行的。在另外的情况中它们是逆行的，而又因为逆行会超过顺行，所以交会点逐月向逆行方向移动。（如图8）

推论1　P、M是短弧PM的端点，如果向连接方照点的直线Qq上作垂线PK、Mk，且延长与交点连线Nn相交于D和d，则交会点的小时运动就会正比于面积MPDd与线段AZ平方的乘积。令PK、PH和AZ为先前所说的三个正弦，即PK为月球到方照点的距离的正弦，PH为月球到交会点的距离的正弦，而AZ为交会点到太阳距离的正弦；所以交会点的速度就会正比于PK×PH×AZ。但是由于PT比PK等于PM比Kk，又因为PT和PM是给定的，所以Kk正比于PK。类似地由于AT比PD等于AZ比PH，所以PH正比于乘积PD×AZ；把这些比式相乘，得到PK×PH正比于Kk×PD×AZ，PK×PH×AZ正比于Kk×PD×AZ2，即正比于面积PDdM与AZ2的乘积。

完毕。

推论2　在任意给定的交会点位置上，它们的平均小时运动是它们在月球朔望点的小时运动的一半；所以它们比16S35th16iv36v，等于交点到朔望点的距离的正弦的平方与半径的平方之比，或是等于AZ2比AT2。因为如果月球以匀速掠过半圆QAq，则在月球从Q点运行到M点的时间里，面积PDdM的总和就会在到圆的切线QE处为止，构成面积QMdE；且在月球运行到n点时，该和就会构成由线PD掠过的面积EQAn：但是当月球从n点运行到q点时，直线PD会落在圆外，且在到圆的切线qe为止掠过面积nqe，而因为之前交会点是逆行的，现在变为顺行，所以该面积必须从前一个面积中减去，而因为该面积等于面积QEN，这样剩下的就等于半圆NQAn。所以当月球掠过一个半圆，所有面积的总和就会等于半圆的面积；而当月球掠过一个整圆，所有面积的总和就会等于整个圆的面积。但是当月球在朔望点时，面积PDdM为弧PM和半径PT的乘积；在月球掠过一个整圆的时间里，每一个与月球面积总和相等的面积，都会等于圆周长与圆半径的乘积；而在圆面积增大一倍时，该乘积也会增大为前一个面积总和的两倍。所以如果交会点继续以它们在月球朔望点的速度匀速运动，则它们就会掠过它们事实上掠过距离的两倍距离；这就可以得出，如果持续匀速运动会掠过的距离等于事实上不匀速的运动所掠过的距离，则该平均速度是月球在朔望点的速度的一半。当交会点在方照点时，它们的最大小时运动为33s10th33iv12v，由于它们的最大小时运动，在这种情况下它们的平均小时运动就会为16s35th16iv36v。由于在任意位置的交会点小时运动都正比于AZ2与面积PDdM的乘积，所以在月球的朔望点，交会点的小时运动也正比于AZ2与面积PDdM的乘积，即（因为在朔望点所掠过的面积是给定的）正比于AZ2，所以平均运动也正比于AZ2；这样得出，当交会点不在方照点时，该运动比16s35th16iv36v等于AZ2比上AT2。

完毕。

命题31　问题12

求月球交点在椭圆轨道上的小时运动。（如图9）

令Qpmaq表示绕长轴Qq和短轴ab旋转所形成的椭圆；QAqB为该椭圆的外切圆；T表示处于这两个圆共同中心的地球；S为太阳；p为在椭圆上运行的月球；pm为月球在最短时间间隔里掠过的弧；N和n是交会点，连线为Nn；pK和mk垂直于轴Qq，与圆相交于P和M，与交会点连线相交于D和d。如果月球伸向地球的半径掠过的面积正比于所掠过的时间，则在椭圆交会点处的小时运动就会正比于面积pDdm和AZ2的乘积。

令PF与圆相交于P，延长PF与TN相交于F；令pf与椭圆相切于p，延长pf与TN相交于f，这两条切线同时与轴TQ相交于Y。令ML表示月球在绕轨道运行中掠过弧长PM的时间里，受前面所说的力3IT或3PK的作用而做的横向运动所掠过的距离；且ml表示月球在相同时间里，由同样的力3IT或3PK作用沿椭圆转动的距离；令LP和lp延长，直到它们与黄道平面相交于G和g，延长FG和fg，其中FG的延长线会分别与pf、pg和TQ相交于c、e和R；而fg的延长线会与TQ相交于r。因为作用在圆上的力3IT或3PK比作用在椭圆上的力3IT或3pK，等于PK比pK，或等于AT比aT，所以由前一个力所产生的距离ML比后一个力产生的距离ml，等于PK比pK；即，由于PYKp和FYRc是相似图形，所以也等于FR比cR。但是（由于三角形PLM和PGF相似）ML比FG等于PL比PG，即（由于Lk、PK、GR平行），等于pl比pe，即（因为三角形plm，cpe相似）等于lm比ce；且反比于LM比lm，或等于FR比cR，也等于FG比ce。所以如果fg比ce等于fY比cY，即等于fr比cR（即，等于fr比FR与FR比cR的乘积，即等于fT比FT与FG比ce的乘积），又因为除去两边的比例FG比ce，就剩下了fg比FG以及fT比FT，则fg比FG就会等于fT比FT；所以FG和fg和地球T所形成的角是相等的。但是这些角（由前一命题的证明得知）都是当月球掠过圆的弧PM以及椭圆的弧pm的交会点运动；所以交会点在圆和椭圆上的运动是相等的。由此，我可以说如果fg比ce等于fY比cY，即如果fg等于，就会是这种结果。但由于三角形fgp、cep相似，fg比上ce等于fp比cp；所以fg等于；由此可得，事实上由fg所形成的角比由FG所形成的前一个角，即在椭圆上交会点的运动比上在圆上交会点的运动，等于fg或比前一个fg或，也就是等于fp×cY比fY×cp，或等于fP比fY，乘以cY比cp；即如果ph平行于TN且与FP相交于h，则等于Fh比FY，乘以FY比FP；即等于Fh比FP或Dp比DP，因此就等于面积Dpmd比面积DPMd。由于（由命题30推论1）后一个面积与AZ2的乘积正比于圆中交会点的小时运动，所以前一个面积与AZ2的乘积将会正比于椭圆中交会点的小时运动。

证明完毕。

推论　因为在任意给定的交点位置上，在月球从方照点运行到任意点m的时间里，所有面积pDdm的和等于以椭圆的切线QE为边界的面积mpQEd；且在一次完整的自转中，所有这些面积之和就等于整个椭圆的面积；在椭圆上的交会点的平均运动与圆上交会点的平均运动之比等于椭圆与圆的大小之比；即，等于Ta比TA，或69比70。由于（由命题30推论2）圆上交会点的平均小时运动比16s35th16iv36v等于AZ2比AT2，如果我们取角16s21th3iv30v与角16s35th16iv36v之比等于69比70，则椭圆上交会点的平均小时运动与16s21th3iv30v之比就会等于AZ2比AT2；即，等于交会点到太阳距离的正弦的平方比半径的平方。

但是月球伸向地球的半径，在朔望点掠过面积的速度大于其在方照点的速度。由此可以看出，在朔望点的用时减少了，而在方照点的用时增多了，所以把全部时间加起来，交会点的运动时间也会相应地增加或减少。但是，由于月球在方照点的面积变化率比其在朔望点的变化率等于10973比11073，所以月球在八分点的平均变化率比其超出在朔望点的那部分，以及比其少于在方照点的那部分，等于这两数字之和的一半与比之差的一半，即11023比50。因为月球在其轨道的几个相等间隔部分的时间反比于其速度，所以月球在八分点的平均时间与其在方照点的超出的那部分的比值，与其比上在方照点少了的那一部分的比值，近似等于11023比50。但是，我发现从方照点到朔望点的，它们的面积变化率之差，几乎正比于月球到方照点距离的正弦的平方；所以在任意点的变化率与在八分点的平均变化率之差，正比于月球到方照点的距离的正弦的平方，与45˚正弦的平方之差，或是与半径的平方的一半之差；而在八分点和方照点之间几处的时间增量，与八分点和朔望点之间的时间减量有着相同比例。但是当月球掠过轨道上几个相等部分时，交会点的运动以正比于该掠过的时间而加速或减速，因为当月球掠过PM，该运动（等价的）正比于ML，而ML正比于时间的平方。因此在月球掠过轨道上给定的小段间隔的时间里，交会点在朔望点的运动以正比于11073与11023比值的平方减少；且减少量与剩下的运动之比等于100比10973；但是减少量与整个运动之比近似为100比11073。但是八分点和朔望点之间部分的减少量，与八分点和方照点之间部分的增加量比上该增量，比该减少量近似于在这些位置上的运动总量与在朔望点的运动总量的比值，乘以月球到方照点距离的正弦的平方和半径平方的一半之差与半径平方的一半的比值。因此，如果交会点在方照点，我们可以取两个点，一个在它的一边，一个在另一边，它们到八分点的距离相等，又以相同间隔到方照点和朔望点，将朔望点和八分点之间两处的运动减量减去八分点和方照点之间两处的运动增量，剩下的减量就等于在朔望点的减量，这由计算可以简单地证明；所以应从交会点的平均运动中减去的平均减量，等于在朔望点的减量的。交会点在朔望点的总小时运动（当月球伸向地球的半径所掠过的面积正比于掠过的时间）为32s42th7iv。且我们已经证明了在月球以最大速度运转相同距离时，交会点的运动减量比该运动等于100比11073；所以该减量为17th43iv11v。从上面求出的平均小时运动16s21th3iv30v中减去上述减量的即4th25iv48v，剩下的16s16th37iv42v就是它们的正确平均小时运动。

如果交会点不在方照点上，我们取两个点，一个在其的一边，一个在另一边，它们到朔望点的距离相等，当月球位于那些点时交会点运动的和，比上当月球位于相同位置而交会点在方照点时它们的运动之和，等于AZ2比AT2。由此产生的运动减量相互间之比等于运动本身，所以剩下的运动相互间的运动之比为AZ2比AT2；而平均运动也会正比于剩下的运动。所以任意交会点位置给定的情况下，它们的实际平均小时运动比16s16th37iv42v，正比于AZ2比AT2；即，正比于交会点到朔望点的距离的正弦的平方比半径的平方。

命题32　问题13

求月球交会点的平均运动。（如图10）

年平均运动就是这一年中所有的平均小时运动之和。设交会点为N，且过了一小时，它又会退回到其原先的位置；因此，尽管它有运动，它还是恒定待在相对于恒星来说固定的位置上；与此同时，由地球的运动，太阳S看起来似乎是要离开交会点，而以均匀运动继续前行直到完成其视在年运动。令Aa表示以一给定的最短弧长；总是伸向太阳的直线TS，在圆NAn的范围内，在最短的给定时间间隔里掠过的就是该弧长；平均小时运动（由以上所证）就会正比于AZ2，即（由于AZ正比于ZY）正比于AZ×ZY，即正比于面积AZYa；从最初开始算起的所有平均小时运动之和就会正比于所有面积aYZA的和，即正比于面积NAZ。但是AZYa面积最大时等于弧Aa与圆半径的乘积；所以整个圆中所有这些乘积的和与所有这些最大乘积的和的比值，等于圆的整个面积比上圆周长与半径的乘积，即等于1比2。但由于该最大乘积相应的小时运动为16s16th37iv42v，而在一个完整的恒星年时间里，就是365天6时9分的时间里，该运动达到了39˚38′7″50″′，所以其一半19˚49′3″55″′就是圆所对应的交会点的平均运动。在太阳从N运行到A点的时间里，交会点的运动比上19˚49′3″55″′，就等于面积NAZ比整个圆的面积。

如果交会点每小时退回到其原先所在位置，这样这一结论才会成立。因此，在完成一次自转运动后，太阳在每一年的年底就会重新出现在其年初所处的同一个交会点上。但由于与此同时交会点也在运动，所以太阳必定要提前与交会点相遇；现在我们该来计算缩短的时间。因为在一年的时间里，太阳行进了360˚，而在相同时间里交会点最大运动39˚38′7″50″′，或39.6355˚；任意位置N的交会点平均运动比上其在方照点的平均运动，等于AZ2比AT2；太阳运动与在N处的交会点运动之比就会为360AT2比39.6355AZ2；即等于9.0827646AT2比AZ2。因此，如果我们设圆的周长NAn分成几个相等的小部分，比如Aa。如果圆是静止的，在太阳掠过这一小段弧Aa所用的时间，比上圆与交会点一起绕中心T掠过相同距离的时间，反比于9.0827646AT2与9.0827646AT2＋AZ2的比；由于掠过这一小段弧的时间反比于其速度，又因为该速度为太阳和交会点速度之和，所以，如果扇形NTA表示在没有交会点的运动下，太阳自身掠过弧NA的时间，以及无限小的扇形Ata表示太阳掠过最小弧Aa的时间；且（作aY垂直于Nn）如果我们取AZ上长度dZ，使dZ与ZY的乘积比上最小扇形ATa等于AZ2比上9.0827646AT2＋AZ2；那就是说，dZ比AZ等于AT2比9.0827646AT2＋AZ2；那么dZ与ZY的乘积就会表示由于交会点的运动，掠过弧Aa所减少的时间；而如果曲线NdGn是点d的轨迹，则曲线所形成的面积NdZ就会正比于掠过整个弧长NA的时间流量；所以扇形NAT大于面积NdZ的部分就会正比于整个时间。但由于交点在更短时间里的运动与时间的比值更小，所以面积AaYZ必定也会以相同比例减小。这可以由以下方法求出：从AZ中取直线eZ，使eZ比AZ等于AZ2比9.0827646AT2＋AZ2；因为这样eZ与ZY的乘积比上面积AZYa就会等于掠过弧Aa的时间减量比上在交会点静止的情况下掠过的总时间；由此可知，乘积就会正比于交会点运动的时间减量。而如果曲线NeFn为点e的轨迹，则e点运动的减量之和，即面积NeZ就会正比于掠过弧AN的总时间流量；而剩下的面积NAe会正比于剩下的运动，而该运动就是，在太阳和交会点的联合运动所掠过弧NA的时间里，交会点的实际运动。现在由无穷级数的方法可以得出，半圆的面积比上图形NeFn的面积约等于793比60。但由于对应于或正比于圆的运动为19˚49′3″55″′；所以对应于图形NeFn面积两倍的运动为1˚29′58″2″′，前一个运动减去这一运动剩下的为18˚19′5″53″′，就是相对于恒星来说，这就是交会点在它与太阳的两个会合点之间的总运动；而从太阳的年运动360˚中减去该运动，剩下341˚40′54″7″′，就是在相同会合点之间太阳的运动。但是该运动比上年运动360˚，等于刚刚我们求出的交会点运动18˚19′5″53″′比上其年运动，由此得出19˚18′1″23″′；而这就是交会点在恒星年中的平均运动。而在天文表中为19˚21′21″50″′。这一差异小于总运动的，看似是由月球轨道的偏心率和其倾斜于黄道平面而引起的。由于该轨道的偏心率，交会点的运动极大加速了；另一方面，由于轨道的倾斜，交点的运动或多或少地受到限制，减少到了其适当的速度。

命题33　问题14

求月球交会点的真实运动。（如图11）

在正比于面积NTA-NdZ（在先前的图里）的时间里，由于该运动正比于面积NAe，所以是给定的。但由于计算太复杂，最好是用以下步骤来解决：以C为中心，以任意间距CD画圆BEFD；延长DC到A，以至AB比AC等于平均运动比上当交点在方照点时的一半真实平均运动（即等于19˚18′1″23″′比19˚49′3″55″′）所以BC比AC等于这些运动之差0˚31′2″32″′与后一个运动19˚49′3″55″′之比，即等于1比。然后通过D点作不定直线Gg，与圆相切于D点，而如果我们取角BCE或角BCF，等于太阳到交会点距离的两倍，而该距离可由平均运动求出。延长AE或AF与垂线相交于G，并取另一个角，其与交点在朔望点之间的总运动（即与9˚11′3″）之比必须等于切线DG与圆BED的周长之比而当交会点从方照点移动到朔望点时，我们在交会点的运动中加入这最后一个角（可以用角DAG表示），并在交会点由朔望点移动到方照点时，从它们的平均运动中减去该角，由此我们可以得到交会点的真实运动，因为求出的真实运动几乎等于我们在设时间正比于面积NTA-NdZ且交会点运动正比于面积NAe的情况下的真实运动，任何人如果验算就会得知，这就是交点运动的半月均差。但是这也有一个月均差，它对求月球纬度是不必要的，因为月球轨道相对于黄道平面的倾斜变差易受两个不相等作用的影响，一个就是半月的，另一个是每月的，而该变差的月不相等性与交会点的月均差能够相互中和，所以在计算月球纬度时两个都可以忽略。

推论　由本命题和前一个命题可知，交会点在朔望点是静止的，而在方照点时是以每小时运动16s19th26iv是逆行的，且在八分点的月球交会点均差为1˚30′。所有这些都完全符合天文现象。

附注

天文学家马金先生、格列山姆教授和亨利·彭伯顿博士相继用不同方法发现交会点的运动。本方法曾在其他地方论述过。他们的论文我都曾见过，每个包含两个命题，而且它们相互之间完全一致。我最先拿到马金先生的论文，所以我在这儿附上它。