月球交会点的运动

命题34

太阳离开交点的平均运动，是由太阳平均运动与太阳在方照点、以最快速度远离交会点的平均运动的几何中项所决定的。（如图12）

令T为地球的位置，Nn为在任意给定时间里月球交会点的连线，KTM垂直于Nn，TA为绕球心旋转的直线，有着与太阳和交会点相互远离彼此的相同的角运动速度，以至静止直线Nn和旋转直线TA之间的角可以总是等于太阳到交会点的距离。现在如果把任意直线TK分成TS和SK，且那两部分之比会等于太阳的平均小时运动与在方照点的交会点平均小时运动之比，又取直线TH为TS和TK的比例中项，所以该直线正比于太阳远离交会点的平均运动。（如图12）

以TK为半径，绕中心T画圆NKnM，而又以TH和TN为半轴，绕同样的中心画椭圆NHnL。在太阳沿着弧Na离开交会点的时间里，如果作直线Tba，让扇形NTa的面积为太阳和交会点在相同时间里运动之和。所以，令极小的弧aA为直线Tba按上述规则在一给定时间里均匀旋转所掠过的弧，则该极小扇形TAa就会正比于在该时间里太阳和交会点向不同方向运动的速度之和。现在太阳的速度几乎是匀速的，其不相等性小得几乎不能在交会点的平均运动中产生哪怕很小的不相等性。而和的另一部分，就是所谓的交会点速度的平均量，在离开朔望点的过程中以其到太阳距离的正弦的平方增大（由本编命题31的推论）。又当其位于方照点而太阳又位于K点时有最大值，其与太阳速度之比等于SK比TS，即等于TK和TH的平方差与TH2之比，或KH×HM与TH2之比。但椭圆NBH把扇形Ata这两个速度之和，分成分别正比于速度的两个部分ABba和BTb。延长BT与圆相交于β，过B点做BG垂直于长轴，且BG向两边延长，分别与圆相交于点F和点f；又因为ABba与扇形TBb之比等于AB×Bβ与BT2之比（因为直线Aβ被T平均分割而被B不平均分割，所以该乘积等于TA与TB的平方差），所以当ABba在K点面积最大时，该比例等于KHM与HT2的比。但是前面所述的交会点最大平均速度与太阳速度之比也等于该比值，所以在方照点时扇形ATa被分成正比于速度的各部分。又因为KHM与HT2的乘积正比于FBf比BG2，以及AB×Bβ等于FB×Bf，所以当ABba面积为最大时，其与剩余扇形TBb的比值等于AB×Bβ与BG2的比。但是因为这些小部分面积的比值总是等于AB×Bβ与BT2；所以当在A点时ABba，其面积要小于当其在方照点时的面积，这两个面积之比等于BG与BT比值的平方，即，等于太阳到交会点距离的正弦的平方之比。所以，所有这些小部分面积之和，也就是面积ABN，将会正比于在太阳离开交点掠过弧NA的时间里交会点的运动；而剩余的空间，也就是椭圆扇形NTB的面积就会正比于在相同时间里太阳的平均运动。又由于交会点的平均年运动也就是交会点在太阳完成一周期的运转里的运动，所以交会点离开太阳的平均运动与太阳本身的平均运动之比，等于圆与椭圆的面积之比；即，等于直线TK与TH之比；而TH是TK与TS的比例中项，等价地，也等于比例中项TH与直线TS的比值。

命题35

已知月球交点的平均运动，求它们的真实运动。（如图13）

令角A为太阳到交会点平均位置的距离，或为太阳离开交会点的平均运动。而如果我们取角B，其正切与角A的正切之比等于TH比TK，即，等于太阳的平均小时运动与太阳离开交会点的平均小时运动之比的平方根，则当交会点在方照点时，角B等于太阳到交会点真实的距离。因为由上一个命题的证明得知，连接FT，则角FTN会等于太阳到交会点平均位置的距离，而角ATN就会为太阳到交会点真实位置的距离，这两个角的正切相互之间之比为TK比TH。

推论　角FTA为月球交会点的均差；该角的正弦，其在八分点的最大值比半径等于KH比TK＋TH。但该均差在任意位置A的正弦与最大正弦之比，等于角FTN与角ATN之和的正弦与半径之比；即，几乎等于太阳到交会点平均位置距离的两倍的正弦与半径之比。

附注

如果交会点在方照点的平均小时运动为16″16′″37iv42v，即，在一恒星年里，为39˚38′7″50′″，则TH比TK等于9.0827646与10.0827646之比的平方根，即等于18.6524761比19.6524761。所以TH比HK等于18.6524761比1，即，等于在一恒星年里太阳运动与交会点平均运动之比。

但如果在20个儒略年里，月球交会点的平均运动为386˚50′16″，就正如通过天文观测由月球理论所推算出的结果，则交会点的平均运动在一恒星年里为19˚20′31″58′″，且TH比HK等于360˚比19˚20′31″58′″，即等于18.61214比1，由此交会点在方照点的平均小时运动为16″18′″48iv。交会点在八分点的最大均差为1˚29′57″。

命题36　问题15

求月球轨道相对于黄道平面的小时变差。（如图14）

令A和a表示朔望点；Q和q为方照点；N和n为交会点；P为月球在其轨道上的位置；p为P点在黄道平面上的正投影；mTl为跟上述运动一样的交会点即时运动。如果过Tm我们作垂线PG，且连接pG并延长其与l相交于g，再连接Pg，则角PGp为当月球在P点时，月球轨道相对于黄道平面的倾角；而角Pgp为在一小段时间后的相同倾角；所以角GPg就为倾角的即时变差。但是该角GPg比上角GTg等于TG比PG的比值与Pp比PG比值的乘积。所以，如果我们设时间为一小时，则由于角GTg（由命题30）比上角33″10″′33iv等于IT×PG×AZ比AT3，而角GPg（或倾角的小时变差）比上角33″10″′33iv等于IT×AZ×TG×比AT3。

完毕。

这些都是建立在假设月球是在圆形轨道上匀速运转的基础上的。但如果轨道是椭圆的，则交会点平均运动也会以正比于短轴与长轴之比来减少，就像我们前面所述一样；且倾角的变差也会以相同比例减少。

推论1　在Nn上作垂线TF，且令pM为月球在黄道平面的小时运动；在QT上作垂线pK、Mk，并延长它们与TF相交于H和h；则IT比AT就会等于Kk比Mp；而TG比Hp等于TZ比AT；所以，IT×TG就会等于，即等于面积HpMh乘以，所以倾角的小时变差与33″10″′33iv之比，等于面积HpMh乘以与AT3的比值。

推论2　如果地球和交会点每小时从它们的新位置迅速退回到它们的老位置，以至它们的位置在整个周期月里都是已知的，则在该月里倾角的变差为33″10″′33iv，等于在p点的一次旋转所产生的时间里（考虑它们的适当符号＋或-的总计），所产生的所有面积HpMh之和，与AZ×TZ×与Mp×AT3的比值的乘积；即，等于周长QAqa乘以AZ×TZ×与2Mp×AT2的比值。

推论3　在交会点的给定位置上，如果在一整月里都匀速运动而产生的月变差的平均小时变差比33″10″′33iv，等于AZ×TZ×比2AT2，或等于Pp×比PG×4AT；即（因为Pp比PG等于上述倾角的正弦比半径，而比4AT等于两倍角ATn比四倍半径），等于相同的倾角的正弦乘以交会点到太阳距离的两倍的正弦比上半径平方的四倍。

推论4　由于交点在方照点时，倾角的小时变差比上角33″10″′33iv，等于IT×AZ×TG×比AT3，即等于比2AT，即等于月球到方照点距离两倍的正弦与的乘积比上半径的两倍，在交点的这个位置上，在月球从方照点到朔望点的时间里（即，在小时里），所有小时变差之和比上一样多的角33″10″′33iv之和或5878″，等于太阳到方照点所有两倍距离的正弦的和与的乘积比上一样多的直径之和，即，等于直径与的乘积比上周长，即，当倾角为5˚1′时，等于比上22，或等于278比10000。所以，在上述时间里由所有小时变差组成的总变差为163″或2′43″。

命题37　问题16

求在一给定时间里，月球轨道相对于黄道平面的倾角。（如图15）

令AD为最大倾角的正弦，AB为最小倾角的正弦。C把BD平分成两截；以C为圆心，BC为半径，画圆BGD。在AC上取CE比EB等于EB比两倍BA。如果在给定时间里我们设角AEG等于交点到方照点距离的两倍，在AD上作垂线GH，则AH就会为所要求的倾角的正弦。

因为GE2等于GH2＋HE2＝BH×HD＋HE2＝HB×BD＋HE2-BH2＝HB×BD＋BE2-2BH×BE＝BE2＋2EC×BH＝2EC×AB＋2EC×BH＝2EC×AH；因此，由于2EC是给定的，GE2就会正比于AH。现令AEg表示交点到方照点距离的两倍，则在给定时间间隔里，由于角GEg是给定的，弧Gg就会正比于距离GE。但由于Hh比Gg等于GH比GC，所以Hh正比于GH×Gg或GH×GE，即正比于×GE2，即正比于×AH，即正比于AH与角AEG的正弦的乘积。如果在任意一个情况下AH都是倾角的正弦，则由前一个命题的推论3得知，其将以与倾角正弦相同的增量增大，所以会以一直与该正弦相等。当点G落在点B或点D上的时候，AH与该正弦相等，所以就会一直与该正弦相等。

证明完毕。

因为我不能转而去论证每秒钟的不相等性，所以在该证明中我未令表示交会点到方照点两倍距离的角BEG均匀增大。现令BEG为直角，而Gg为交会点到太阳距离的两倍的小时增量；而后由前一个命题推论3得知，在相同情况下倾角的小时变差会比上33″10″′33iv，等于倾角的正弦AH与为两倍交点到太阳距离的直角BEG的正弦之积，比上半径平方的四倍；即，等于平均倾角的正弦AH与四倍半径之比；即（由于平均倾角约为）等于其正弦896比四倍半径40000，或等于224比10000。但是相对于BD的总变差（即正弦之差）与小时变差之比等于直径BD与弧Gg的比值，即等于直径BD与半周长BGD的比值与交会点从方照点运行到朔望点的时间比1小时，即等于7与11的比值与与1的比值之积。因此，综合所有这些比式，我们可以得到总变差BD比33″10″′33iv，等于224×7×比110000，即，等于29645比1000，由此可得变差BD为。

这就是不计月球在其轨道上位置的倾角的最大变差；因为如果交会点在朔望点上，则倾角不受月球位置变化的影响。但如果交会点位于方照点，当月球位于朔望点时的倾角比其在方照点时要小2′43″，就正如我们在前一个命题的推论4里所论述的一样；而当月球在方照点时，总平均变差BD就会减少，也就是减少上述差的一半，最后为15′2″；同样当月球位于朔望点时也会增加该数值，成为17′45″。如果月球位于朔望点，交会点在从方照点移向朔望点的过程中的总变差为17′45″，所以，如果当交会点位于朔望点时其倾角为5˚17′20″，则当交会点位于方照点而月球位于朔望点时倾角为4˚59′35″。这些都是通过观测验证过的真实数据。

现在，如果当月球在朔望点，而交会点位于它们和方照点之间的任意位置上，要求轨道的倾角，则要令AB比AD等于4˚59′35″的正弦与5˚17′20″的正弦之比，并取角AEG等于交点到方照点距离的两倍，则AH就是要求的倾角的正弦。当月球与交点有90˚远的距离时，该轨道倾角与该倾角的正弦是相等的。而在月球的其他位置上，由倾角的变差所带来的每月不相等性，在计算月球黄纬时得到平衡，且可以通过交会点运动的每月不相等性（就如我们在前面所说的）予以消除，在计算月球黄纬时将其忽略。

附注

通过对这些月球运动的计算，我希望可以证明通过引力原理由月球的物理运动推测出月球的运动。由相同理论，我还进一步发现由太阳运动所引起的月球轨道扩大而产生的月球运动的年均差（由第1编命题66推论6）。该太阳作用力在近地点时大，使月球轨道扩大；而在远地点时小，使得轨道又缩小。月球在扩大轨道上运动得较慢，而在缩小的轨道上较快；在这种不相等性中得到调节的年均差，在远地点和近地点都完全消失了。在太阳到地球的平均距离里，它约为11′50″；在到太阳的其他正比于太阳中心的均差距离里，当地球从远日点移向近日点的过程中，它要加入到月球平均运动中，而当地球运动在另一半轨道上时，则其要从中减去。取最大轨道半径为1000，为地球偏心率，则当均差为最大值时，由引力原理得出均差为11′49″。但地球偏心率似乎还要大些，这样，均差也会以相同比例增大。设偏心率为，则最大均差为11′51″。

另外，我发现由于太阳作用力在地球的近日点要强些，所以月球的远地点和交会点的运动比地球在远日点运动得快些，其反比于地球到太阳距离的立方；由此产生出那些正比于太阳中心均差的运动年均差。现在太阳运动反比于地球到太阳距离的平方，对应于前面所说的太阳偏心率，这种不相等性产生的最大均差为1˚56′20″。但如果太阳运动反比于距离的立方，则这种不相等性就会产生的最大均差为2˚54′30″；所以月球远地点和交会点不相等的运动事实上产生的最大均差比上2˚54′30″，等于月球远地点的平均日运动和交会点的平均日运动比上太阳的平均日运动。由此可知，远地点平均运动的最大均差为19′43″，而交点平均运动的最大均差为9′24″。当地球从其近日点运行到远日点时，前一个均差会增加，而后一个均差会减小，但当地球运行在轨道的另一边时情况正好相反。

根据引力原理，我又发现当月球轨道的横向直径横穿太阳时，太阳作用在月球上的作用力大于当月球轨道的横向直径垂直于地球和太阳连线时的作用力，所以月球轨道在前一种情形中要大于后一种情形。由此产生的月球平均运动的均差，取决于月球的远地点相对于太阳的位置，而该均差在当月球的远地点在太阳的八分点时最大，当远地点到达方照点或朔望点时为零；当月球远地点由太阳的方照点移向朔望点时，该均差叠加在平均运动上，而当远地点由朔望点移向方照点时，则应从中减去。我称这种均差为半年均差，当其在远地点的八分点时达到最大，就我对其现象的收集分析，其约为3′45″，这就是其在太阳到地球平均距离上的量值。但由于它以反比于到太阳距离的立方而增大或减小，所以当距离最大时约为3′34″，而在距离最小时约为3′56″。但当月球的远地点不在八分点上时，其变得较小，其与其的最大值之比等于月球远地点到最近的朔望点或方照点的距离的两倍的正弦与半径之比。

同理，太阳作用于月球上的作用力在当月球的交会点连线穿过太阳时，要略大于当月球的交会点连线与太阳和地球的连线成90˚角时；由此产生的另一个月球平均运动的均差，我把它称作第二半年均差；当交会点在太阳八分点时最大，在朔望点或方照点时为零；然而当在交会点的另外一些位置上时，就正比于任意一个交会点到最近的朔望点或方照点的距离的两倍的正弦。如果太阳位于离它最近的交会点之后，则把它加入月球的平均运动中，而当太阳位于之前时，就把它从中减去；在有着最大值的八分点上，在太阳到地球的平均距离里，它达到了47″，就如我用引力理论所推算出的一样。在到太阳的其他距离上，在交会点位于八分点达到最大的均差，反比于太阳到地球距离的立方；所以在太阳的近地点上约为49″，而在远地点时约为45″。（如图16）

同理，当月球的远地点位于与太阳的会合点时或相对处时，其以最大速度顺行，但在它相对于太阳在方照点时，其会逆行；由第1编命题66推论7、8和9得知，在前一种情况中，偏心率达到其最大量，而在后一种情况中最小。且由我们所提到上述推论中得知，那些不相等性差异很大，并产生出我称之为远地点半年均差的原理；该半年均差在其最大量时达到约12˚18′，这是根据我搜集的天文观测数据所推算出的结果。英国人霍罗克斯第一个提出月球是在以地球为下焦点的椭圆轨道上运行的理论。哈雷博士改进了这一观点，他提出椭圆的中心在一个中心绕地球均匀旋转的本轮上；由于该本轮上的运动，产生了前面提到的那个不相等性在远地点顺行或逆行，以及偏心率不相等性。设月球到地球的平均距离被分成100000个等份，且令T表示地球，TC为有着5505份该部分的月球平均偏心率。延长TC到B，使得最大半年均差12˚18′的正弦与半径TC的比值正比于CB；圆BDA是以C为中心，CB为半径所掠过的圆，也就是前面提到的本轮，月球轨道也位于其中，其以字母BDA的顺序运转。作角BCD等于年角差的两倍，或是等于太阳真实位置到月球远地点第一次校正位置的距离的两倍，CTD则会为月球远地点的半年均差，而TD为其轨道的偏心率，其指向现在已二次校正的远地点的位置。但由于月球的平均运动，其远地点的位置、偏心率，以及其轨道长轴为200000都是已知的，则可由这些数据，通过普遍已知的方法求出月球在其轨道上的实际位置，以及其到地球的距离。

在地球的近日点，那里太阳的作用力最大，所以月球轨道的中心绕中心C的运转速度要快于在远日点的运转速度，而且该作用力反比于太阳到地球距离的立方。但由于太阳中心的均差是包括在年角差中的，所以月球轨道的中心在其本轮BDA上要运动得快一些，反比于太阳到地球距离的平方。所以，如果设其反比于到轨道中心D点的距离，则还会运动得更快一些，作直线DE，指向月球第一次校正的远地点，即，平行于TC。设角EDF等于前面所述的年角差减去月球远地点到太阳顺行近地点的距离之差；或等价地，取角CDF等于太阳的实际近点角在360˚中的余角；令DF比DC正比于大的轨道偏心率的两倍比上太阳到地球的平均距离，以及太阳到月球的远地点的平均日运动比太阳到其本身远地点的平均日运动的乘积，即等于比1000，与52′27″16″′比59′8″10″′的乘积，或等于3比100；设月球轨道的中心位于F点，以D为中心，以DF为半径绕本轮旋转，与此同时，点D沿圆DABD运转。因为由这种方法，月球轨道的中心以C为中心，以几乎正比于太阳到地球距离立方的速度，做某种曲线运动，就正如其应该做的那样。

计算该运动很复杂，但如果按照用近似法来算就会简单得多。像前面一样，设月球到地球的平均距离有100000等份，偏心率TC有着5505个等份，直线CB或CD占，而DF有等份；该线段在离地球TC处对着地球的张角是由于轨道中心从D点移动到F点产生的；延长直线DF一倍，在月球轨道的上焦点到地球的距离里，对着地球的张角等于前一个张角，后一个张角是由该上焦点的运动所产生的；但是在月球和地球的距离里，两倍直线2DF位于上焦点处，平行于第一条直线DF，且对着月球的张角，而该张角是由月球的运动而引起的，所以该角可以被称做月球中心的第二中心均差；而在月球到地球的平均距离上，该均差几乎正比于直线DF与点F到月球的连线所形成夹角的正弦，它最大时可以达到2′55″。但是直线DF与点F到月球连线所形成的夹角既可以用从月球的平均近点角中减去角EDF而得到，也可以用月球到太阳的距离加上月球远地点到太阳远地点的距离求得；而由于半径比该角的正弦已求得，即为2′25″比第二次中心均差：如果前面提到的和要小于半周长，就要加上；而如果大于，就减去。由于月球在其轨道上的位置已校正过了，据此，日月球在其朔望点的黄纬即可求出。

高35或40英里的地球大气层能折射太阳光。该折射散射了太阳光并把它射入了地球阴影地方；而这种散射的光在阴影附近时会扩大阴影范围；因此，由视差所引起的扩大的阴影，我在月食时间里增加了1或分。

但月球的原理应用天文观测数据来检查和验证，首先是在朔望点，而后是方照点，最后是所有的八分点；任何愿意做这一事情的人都能发现，在格林尼治皇家天文台在旧历1700年12月的最后一天的下午，假设太阳和月球的如下平均运动是正确的：太阳的平均运动为，其远地点为；月球的平均运动为，其远地点为，其上升交会点为；而格林尼治天文台和巴黎皇家天文台的子午线差为9′20″，但月球和其远地点的平均运动还没有足够的精确的数据。

命题38　问题17

求太阳引起海洋运动的作用力。

在月球的方照点上的，太阳干扰月球运动的作用力ML或PT（由命题25），与地表重力之比等于1比638092.6；而在月球朔望点上的力TM-LM或2PK是在方照点的力的两倍。但在地球表面这些力以正比于其到地球中心的距离而减小，即以比1的比例；所以在地球表面的前一个力比引力等于1比38604600；该力使海水在离太阳90˚的地方受到抑制。但受另一个两倍于该力的力，海水不仅在正对太阳的位置可以涨起，而且在正背太阳的位置也可以涨起；这两力之和比引力等于1比12868200。又因为同样的力引起了相同的运动，不管是在距太阳90˚的地方受到的抑制海水的力，还是在正对以及正背于太阳的地方受到的涨起的力，前面所说的力之和就为太阳干扰海水运动的总力，而且会产生把全部力用于在正对和正背于太阳处使海水涨起的相等作用，而会在距太阳90˚的地方一点也不起作用。

这就是太阳在给定位置上干扰海水运动的力，在那儿既垂直于太阳又与此同时位于地球到太阳的平均距离上。在太阳的另一些位置上，该引起海水涨起的力正比于其正对于地平线的两倍高度的正矢，反比于到地球距离的立方。

推论　由于地球各部分的离心力是由地球的自转运动所引起的，该力比引力等于1比289，在赤道处引起的海潮要比在两极处的高出85472巴黎尺，就如在命题19中所证明的那样，太阳作用力比引力等于1比12868200，所以其与离心力之比等于289比12868200或等于1比44527，因为该尺度比85472尺等于1比44527，所以其在正对和正背于太阳的地方引起的海潮要比在距太阳90˚地方所引起的仅高出1巴黎尺又寸。

命题39　问题18

求月球引起海水运动的作用力。

月球引起海水运动的作用力可以由它与太阳作用力的比值求出，该比例可由受这些力产生的海水运动得出。在布里斯托尔下游三英里阿文河口前面的涨潮，在春秋季的日月朔望点时（由塞缪尔·斯托米尔的观测），达到约45英尺高度，而在方照点时只有25英尺。前一个高度是由前面所说的力之和所引起的，后者是由它们之差所引起的，所以，设S和L分别表示当太阳和月球在赤道，且处于到地球的平均距离上的作用力，则我们可以得到L＋S比L-S等于45比25，或等于9比5。

在普利茅斯（由塞缪尔·克里普莱斯的观测）海潮的平均高度达到了16英尺，而在春秋季的朔望点时的高度与方照点时的高度之差为7或8英尺。设那些高度的最大差值为9英尺，所以L＋S比L-S等于比，或等于41比23，这一比值与前一个相符。但由于布里斯托尔的海潮很高，我更偏向用斯托米尔的观测数据；所以，我认定比值为9比5，直到我们找到更确信的数据。

由于水的往复运动，最大海潮不会在日月的朔望发生，但就像我在之前所说的那样，它会发生在朔望之后的第三次潮；或（从朔望开始算起）在朔望点之后月球第三次到达当地子午线之后；也可以说（正如斯托米尔德观测），是新月或满月之后的第三天，也几乎是新月或满月之后的第十二个小时，因而落潮发生在新月或满月后的第四十三小时。但在这个港口，潮水在月球到达当地子午线后的第七个小时退下去；所以在月球距太阳或是其方照点提前约18或19度时，最大潮紧接着月球到达当地子午线。因此在冬夏的二至时刻并不会产生高潮，而发生在当太阳位于至点后，超出约总轨迹的十分之一时，即约为36或37度时。类似地，最大潮产生于月球到达当地子午线之后，当月球超过太阳或其方照点，由约为产生一个最大海潮到紧接着的一个最大海潮的总运动的十分之一运动时引起。设距离约为度，则在月球到朔望点和方照点的距离里，该太阳作用力会比在朔望点和方照点使海水运动增大或减小的力要小，这两个力之比等于半径比两倍距离的余弦，或是等于比37度角的余弦；即，等于10000000比7986355；所以在前一个比例中，S的位置我们必须用0.7986355S来替代。

此外，由于月球在方照点时向赤道倾斜，所以月球作用力也会减小；因为月球在这些方照点上，更甚是过方照点度处，向赤道倾斜约23˚13′；则日月引起海水运动的作用力随着其向赤道的倾角的减小，以正比于倾角余弦的平方而减少；所以月球在方照点的作用力仅有0.8570327L；由此我们得出L＋0.7986355S比0.8570327L-0.7986355S等于9比5。

进一步说，如果不考虑偏心率，则月球轨道的直径之比等于69比70；所以如果其他条件不变，月球在朔望点上到地球的距离与其在方照点上的距离之比等于69比70；而当月球过朔望点度，此时会产生最大海潮，以及它过方照点度产生最小海潮时其到地球的距离比平均距离等于69.098747和69.897345比。由于月球引起海水运动的力反比于其距离的立方；所以其作用力在最大和最小距离里，分别与平均距离之比等于0.9830427比1和1.017522比1。由此我们可以得到1.017522L×0.7986355S比0.9830427×0.8570327L-0.7986355S等于9比5；以及S比L等于1比4.4815。因为太阳的作用力比引力等于1比12868200，所以月球作用力比引力等于1比2871400。

推论1　由于太阳作用引起海水涨到1英尺英寸，而月球作用可以使海水涨到8英尺英寸；所以这两个力之和可以使海水涨到英尺；而当月球在其近地点作用的高度为英尺，此外，特别是当风向顺着涨潮方向时，高度还会更高。这时的作用力完全可以引起各种海洋运动，这是与那些运动的比例相符的；因为在那些深邃而又开阔的海洋里，就像在太平洋里，以及位于回归线以外的大西洋和埃塞俄比亚海上水域里，潮水通常可以涨到6、9、12或15英尺。因为要使潮水完全涨起来，至少需要该海域东西横跨90度。而由于太平洋广阔而深邃，潮水要高过在大西洋或是埃塞俄比亚海的海面；而在埃塞俄比亚海，因为其位于非洲和南美洲之间，海面很狭窄，所以其回归线以内的水域引起的海潮要小于在温带地区的。在开阔海域，如果不是与此同时东西两岸同时落潮，中间海水就不会涨潮，尽管这样，在狭长的水域里，也会要两岸潮水的交替涨落才能引起中间海水的涨落；由此可知，通常在那些离大陆很远的海岛上只有很小的海水涨落。相反，在那些海水交替灌进灌出的海湾港口里，由于海水受极大的压迫力被推进推出狭长的海峡，所以涨潮和退潮必定比平常地方的大；就像在英格兰的普利茅斯和切斯托·布里奇，在诺曼底的圣米歇尔山和阿弗朗什镇，在东印度群岛的坎贝和勃固，这些地方海水进出很急，有时岸上涨起很高的潮水，有时潮水又退出好几英里。这种使海水流进流出的力可以使海水涨落30～50英尺以上。同样的道理可以解释又长又浅的水道或是海峡的情况，就像麦哲伦海峡以及英格兰周围的浅滩的情况一样。在这种港口或是海峡里，潮水受流进流出的海水的推动力，使海潮得到极大增强。而在那些面朝深邃开阔海洋并有着陡峭悬崖的海岸，在这儿海水可以在没有水流进流出的推动下自由地涨落，潮水的大小正比于日月作用力。

推论2　由于月球使海水运动的作用力比引力等于1比2871400，所以很明显该力在静力学和流体静力学，甚至是在摆动实验中还远远不能产生明显影响。只有在潮水中该力才能产生明显的影响。

推论3　由于月球使海水运动的作用力比太阳作用力等于4.4815比1，且那些力（由第1编命题66推论14）正比于太阳和月球球体密度与它们视在直径立方的乘积，所以月球密度与太阳密度之比等于4.4815比1，反比于月球直径的立方比太阳直径的立方；即等于4891比1000（由于月球和太阳的平均视在直径为和32′12″）。但由于太阳与地球密度之比为1000比4000；所以月球与地球密度之比为4891比4000，或等于11比9。所以月球球体比地球的密度更大更实，而且上面陆地更多。

推论4　由于月球的实际直径（由天文观测）比地球实际直径等于100比365，所以月球上的物质比地球上的物质等于1比39.788。

推论5　月球表面的加速引力约比地球表面加速引力小三倍。

推论6　月球中心到地球中心的距离比上月球中心到地球和月球的公共引力中心的距离等于40.788比39.788。

推论7　因为地球最长半径为19658600巴黎尺，而月球中心到地球中心的平均距离为个该半径，等于1187379440巴黎尺。所以月球中心到地球中心的平均距离几乎正比于地球最长半径的倍；而这一距离比月球中心到地球和月球的公共引力中心的距离等于40.788比39.788，所以后一个距离为1158268534巴黎尺。而又因为月球相对于恒星的公转周期为27天7小时分，所以月球在一分钟里掠过的角的正矢为12752341比半径1000000000000000；所以半径比该正矢等于1158268534巴黎尺比14.7706353巴黎尺。这样月球受把其维持在轨道中的力的作用落向地球，会在一分钟时间里掠过14.7706353巴黎尺；而如果我们以正比于比来扩大该力，则由命题3的推论，我们就能得到月球轨道总引力；而月球受此力作用，在一分钟时间里掠过14.8538067巴黎尺。在月球到地球中心距离的六十分之一距离里，即，在到地球中心197896573巴黎尺的距离里，物体受重力落下，在一秒钟时间里可掠过14.8538067巴黎尺。所以在19615800巴黎尺的距离里，即为一个地球平均半径，重物会在相同时间里下落15.11175巴黎尺，或15巴黎尺1寸分。这就是物体在45˚纬上的下落的情况。由命题20中的表格可知，物体在巴黎纬度上落下的距离会比在45˚上的略长分。所以通过该计算可知，在接近一秒钟的时间里，重物在巴黎纬度上在真空中落下的距离为15巴黎尺1寸分。而如果引力失去了一个等价于在该纬度上由于地球自转运动产生的离心力的量，则在这儿重物在一秒钟里会掠过15巴黎尺1寸分的距离。这就是在巴黎纬度上重物下落的实际速度，正如我们在命题14和19中所证明的。

推论8　因为（由命题28）这两个距离与月球在八分点的平均距离之比等于69和70比，所以地球中心到月球中心在月球朔望点的平均距离等于60个地球最大半径减去一个半径的；而在月球方照点，这两个中心之间的平均距离等于个地球半径。

推论9　在月球朔望点，地球和月球中心的平均距离等于个地球平均半径，而在月球方照点这一平均距离等于个地球平均半径。

推论10　在月球朔望点其在0、30、38、45、52、60和90度的纬度上的地平视差分别为57′20″、57′16″、57′14″、57′12″、57′10″、57′8″和57′4″。

在以上这些计算中，我并未把地球磁力考虑在内，因为其量很小，也还未知：如果一旦能求出该值，则子午线的度数，在不同纬度上的等时摆的摆长，海洋运动的规律，以及月球视差（由太阳和月球的视在直径求出），都能由天文观测结果更准确地得到，然后我们也可以让该计算更准确。

命题40　问题19

求月球球体的形状。

如果月球球体是像地球海洋一样的流质，则地球在离月球最近和最远地方引起月球上流体运动的力，比上月球在正、背于地球的地方所引起的地球海水运动的力，等于地球对月球的加速引力与月球对地球的加速引力之比，乘以月球与地球的直径之比，即，等于39.788与1的比值，乘以100与365的比值，或等于1081比100。由于我们地球海水受月球作用可以涨到尺，所以月球上的流体受地球作用能涨到93尺；由此可得，月球应为椭球，其最长直径的延长线应会穿过地球球心，最长直径要比垂直于该直径的那条直径长186尺。所以月球形状的这一偏差必定是一开始就有的。

推论　这就是为什么月球面向地球的那一面总是呈现相同样子的原因；月球球体在其他任何位置都不可能是静止的，而通过反复运动回到该状态；但由于引起这种运动的力很微弱，所以这种运动必须是极慢的；由命题17中的原因得知，月球那本该总是背对着地球的一面，在转向月球轨道的另一个焦点时，由于不能被即刻拉回来，所以转而面向地球。

引理1

如果APEp表示密度均匀，以C为中心，P、p为极点，AE为赤道的地球；如果以C为中心，CP为半径，作球面Pape，且QR为一平面，一条连接了太阳和地球的中心直线与该平面垂直；又设地球整个外围PapAPepE上的粒子，如果在不受前面所说高度作用，都倾向于分别以受正比于到平面QR的距离的力，离开该平面的一侧或另一侧；首先，位于赤道上，以及均匀分布于地球之外并以圆环形式绕着地区的所有粒子促使地球绕其中心转动的合力和作用，比赤道上距离平面QR最远点A处同样多的粒子促使地球绕其中心作类似转动的合力和作用，等于1比2。该圆周运动所绕的轴是赤道和平面QR上的公共交线。（如图17）

令以K为中心，IL为直径，掠过所形成的半圆为INL。设半圆周长INL被分成无限个相等部分，过这几个部分中的N向直径IL作正弦NM，则所有正弦平方之和就会等于所有正弦KM平方之和，而这两个和相加又会等于同样多个半径KN平方之和；所以所有正弦NM平方之和仅为同样多个半径KN的平方之和的一半。

现设圆AE的周长被分成同样多个相等部分，过这些相等部分中的F部分向平面QR作垂线FG，同样过A点也向该平面作垂线AH，使粒子F从平面QR离开的力（由假定）正比于垂线FG；该力与距离CG的乘积就表示粒子F作用于地球绕球心运转的力。所以在F点粒子的作用力与在A点粒子的作用力之比等于FG×GC比AH×HC，即等于FC2比AC2，所以所有粒子F在其自身位置F处的总力，比上相同数量粒子在A处的力，等于所有FC2之和比所有AC2之和，即（由我们前面所证明的）等于1比2。

证明完毕。

因为那些粒子的作用是作用于垂直于平面QR的直线方向，且在平面四周所产生的作用是相等的，所以这些力能推动赤道所在的圆周，连同连带的地球球体一起，绕轴（平面QR和赤道的交线）转动。

引理2

其次，我仍然设相同的条件，所有位于球面各处的粒子推动地球绕先前所说的轴转动的总作用力，比上均匀分布于赤道AE所在的圆周各处，形成环形的同样数量的粒子推动地球作类似转动的总力，等于2比5。（如图18）

令IK为任意平行于赤道AE的稍小的圆，又令Ll为该圆上任意的两个位于球面Pape外的相等粒子；如果在与伸向太阳的半径形成直角的平面QR上，作垂线LM、lm，则这些粒子从平面QR离开所受的力正比于垂线LM、lm。作直线Ll平行于平面Pape，且在点X把其平均分成两半；过X点作Nn平行于平面QR，并分别与垂线LM，lm相交于N和n；又过平面QR作垂线XY。粒子L和l推动地球向相反方向转动的相反的力，分别正比于LM×MC和lm×mC，即正比于LN×MC＋NM×MC和LN×mC-nm×mC，或正比于LN×MC＋NM×MC和LN×mC-NM×mC；而这两个力的差LN×Mm-NM×（MC＋mC）就是这两个粒子一起推动地球运转的合力。该差的正数部分LN×Mm或2LN×NX，比上两个位于A点的相同大小粒子产生的力2AH×HC，等于LX2比AC2；而该差的负数部分NM×（MC＋mC），或2XY×CY，比上同样大小的两个粒子在A点所产生的力2AH·HC，等于CX2比AC2。所以这两个部分的差，即粒子L和l一起使地球运转的力，比上这两个粒子在前面所说的在点A推动地球做类似运动的力，等于LX2-CX2比AC2。但如果圆IK的周长IK被分成无限个相等的小部分L，则所有LX2比同样多的IX2等于1比2（由引理1）；而比同样多的AC2等于IX2比2AC2，又同样多的CX2比同样多的AC2等于2CX2比2AC2。因此所有粒子在圆IK的圆周上的合力比上同样多的粒子在A点的合力，等于IX2-2CX2比2AC2，所以（由引理1）与同样多的粒子在圆AE的圆周上的合力之比等于IX2-2CX2比AC2。

现在如果球面的直径Pp被分成无限个相等部分，其中每部分都有同样多数量的圆IK，则每个圆IK的圆周上的物质就会正比于IX2；所以该物质推动地球转动的力正比于IX2与IX2-2CX2的乘积；因此相同的物质如果位于圆AE的圆周上，则产生的力会正比于IX2乘以AC2。所以位于球面外所有圆的圆周上的所有粒子的物质总量所产生的力，比位于最大圆AE的圆周上由同样多的粒子所产生的力，等于所有IX2与IX2-2CX2的乘积比上同样多的IX2与AC2的乘积；即等于所有的AC2-CX2与AC2-3CX2的乘积比上同样多的AC2-CX2与AC2的乘积；即等于所有AC4-4AC2×CX2＋3CX4比同样多的AC4-AC2×CX2；即，等于其流数为AC4-4AC2×CX2＋3CX4的总流积量比上流数为AC4-AC2×CX2的总流积量；所以，可以由流数法得出，等于AC4×CX-AC2×CX3＋CX5比AC4×CX-AC2×CX3；即，如果我们用Cp或AC代替CX，则等于AC5比AC5，即等于2比5。

证明完毕。

引理3

第三点，我仍然设相同的条件，地球受所有粒子的作用而绕先前所说的轴转动的总运动，比上前面所说的圆环绕相同轴的运动，等于地球上物质与环上的物质的比值，乘以任意圆的四分之一周长的平方的三倍与其直径的平方的两倍的比值，即，等于这两种物质之比乘以925275比1000000。

由于圆柱体绕其静止的轴转动比上其与内接圆一起的运动，等于任意四个相等正方形比三个这种正方形的内切圆；而该圆柱体的运动比极薄的圆环绕球体和圆柱体的公共切线的运动，等于两倍圆柱体中的物质比上三倍环上的物质；而该环持续均匀绕圆柱体中轴的运动，比其绕它自己的直径在相同周期时间里做的相同运动，等于圆的周长比其两倍直径。

假设2

如果地球的其他部分被取走，就剩下一个圆环在地球轨道上绕太阳公转运动，与此同时它也会绕它自己的中轴做自转运动，该轴线与黄道平面成度角，则不管该环是流质的还是由坚硬固体构成的，二分点的运动都不会变。

命题41　问题20

求二分点的岁差。

环形轨道上的月球交会点，当其位于方照点时，其中间小时运动为16″35″′16iv36v，其的一半8″17″′38iv18v（原因已在前面解释过了）就为在这种轨道上的交会点的平均小时运动，而这一运动在一恒星年里会为20˚11′46″。所以在该轨道上的交会点运动就会每年后移20˚11′46″；而如果月球不止一个，则每一个月球的交会点运动（由第1编命题66推论16）就会正比于其周期时间；如果月球在一恒星日里，在地球表面上环绕地球一周，则该月球交会点的年运动比20˚11′46″，就等于一恒星日23小时56分比我们月球的周期时间27天7小时43分，即等于1436比39343。不管这些月球有没有相互接触，或是熔化为一整体的环，也不管该环是否必须为固定的固体环，都同样地环绕地球的月球环上的交会点运动。

现在设构成该环的物质的量等于位于球体Pape以外的（见图18）整个地球外围PapAPepE的物质的量，又由于该球体比地球外围等于aC2比AC2-aC2，即（由于地球的最小半径PC或aC比地球的最大半径AC等于229比230）等于52441比459；如果该环是环赤道来环绕地球，并一同绕该环的直径转动，则环的运动（由引理3）比球体的运动，等于459与52441的比值乘以1000000与925275的比值，即等于4590比485223；所以环的运动比上环和球体的运动之和等于4590比489813；因此，如果环是连接在球体上的，并把它的运动传递给球体，以至其交会点或二分点后退，则环上剩下的运动比其以前的运动等于4590比489813；据此，二分点的运动也会以相同比例减小。因此由环和球体构成的物体，其二分点的年运动比运动20˚11′46″等于1436与39343的比值乘以4590与489813的比值，即等于100比292369。但由于很多个月球的交会点的运动所产生的力（正如我在前面所阐述的原因），所以使环的二分点后退的力（由命题30的图可知，即为力3IT），在各粒子中都正比于那些粒子到平面QR的距离；这些力使粒子远离该平面。所以（由引理2）如果环的物质被遍布于球体表面，并按照PapAPepE的形状来构成地球外围部分，则所有粒子使地球绕任意赤道直径转动，并使二分点运动的总力，会以2比5的比例减小。所以二分点的年度逆进比20˚11′46″等于10比73092，即，等于9″56″′50iv。

但由于赤道平面倾斜于黄道平面，又因为该运动以正比于91706比半径100000的比值的正弦（就是。的余弦）来减少；则剩下的运动为9″7″′20iv，就是太阳作用所引起的二分点的年度岁差。

月球使海洋运动的力比上太阳的作用力约等于4.4815比1；月球使二分点运动的力比太阳的该力也是成这一比例。由于月球的作用二分点的年度岁差为40″52″′52iv，则由这两个力的和所引起的总岁差为50″00″′12iv。因为天文观测的结果二分点的岁差每年约为50″，所以该运动与现象是相符的。

如果地球在赤道隆起的高度比在两极的高度要高出英里，则地球表面的物质密度要小于地球中心的物质密度，所以二分点的岁差就会随着高度差的增大而增大，以及密度差的增大而减小。

到此为止，我们已经论证过了太阳、地球、月球以及行星的系统的运行情况，剩下的我就要谈到彗星了。

引理4

彗星远于月球，位于行星区域内。（如图19）

天文学家之所以会认为彗星远于月球，是因为他们发现彗星没有日视差，而它们的年视差就证明了它们位于行星区域内。这是由于当所有的彗星根据星座的顺序做直线运动，如果地球位于彗星和太阳之间，则其显现的尾部就会比正常时要慢或逆行，而如果太阳位于它们中心，而地球和彗星处在相对的位置，就会比正常时要快；而在另一方面，在所有的彗星按星座顺序做逆向直线运动时，情况与前面这种情况中的正好相反。这些彗星的这些现象主要是由于地球在其运动进程中的不同位置所引起的，这和行星所受地球位置变化的影响是相同的，行星会随着地球是与行星是同方向运动还是反方向运动，而有时逆行，有时较慢，有时则快又顺行。如果地球与彗星同方向运动，但由于地球绕太阳所做的角运动较快，所以地球到彗星的直线超出了彗星本身，又由于彗星的运动较慢，从地球上看彗星的运动就会显得是逆行的；甚至即使地球的运动慢于彗星，彗星的运动中减去地球运动的部分，其运动也会看上去减慢。但如果地球与彗星的运动方向相反，彗星的运动就会看上去是加速的；而彗星的距离可以从这些加速、减速或逆行中用以下方法求出。

令rQA、rQB、rQC为观测出的彗星第一次显现的黄纬（如图20），而rQF为观测到的彗星消失前的最后一次黄纬。作直线ABC，其中AB和BC为直线QA和QB，QB和QC分别切割出的部分，且AB和BC相互间的比值等于前三次观测中的两段时间间隔的比值。延长AC到G，因此AG比AB等于第一次和最后一次观测之间的时间比上第一次和第二次之间的时间；连接QG。现在如果彗星做匀速直线运动，而地球要么是静止的，要么类似地匀速直线前移，则角rQG为最后观测到的彗星黄纬。所以角FQG就为彗星和地球运动的不相等性所产生的黄纬差；如果地球和彗星的运动方向相反，则角rQG就要加入到角FQG中，使彗星的视在运动增速；但如果彗星与地球同方向运动，就要把角rQG从中减去，使彗星的运动要么减速，要么逆行，就像我在前面解释的那样。所以主要由地球运动而产生的该角，如果忽略掉一些彗星轨道上的不相等运动所引起的增量或减量，恰好可以被看做是彗星的视差；且从这一视差我们可以得到彗星的距离。令S表示太阳（如图19），acT为大轨道，a是第一次观测中地球的位置，C是第三次观测中地球的位置，T为最后一次观测中地球的位置，Tr为到白羊座首星的直线。设角rTV等于角rQF，即等于当地球在T处的彗星黄纬；连接ac，并延长至g点，以至ag比ac等于AG比AC；则如果地球持续沿直线ac匀速运动，g就会为地球在最后一次观测的时间里所到达的地方。如果我们作gR平行于Tr，使得角RgV等于角rQG，则角RgV就会等于在g点所看到的彗星黄纬，而角TVg就会为由于地球从g点运动到T点所造成的视差；所以V点就是彗星在黄道平面上的位置。而位置V通常都比木星轨道要低。

同样的也可以由彗星路径的弯曲度求出上述结果，因为这些天体速度很大，它们几乎都是绕巨大的圆做运动。但在当由视差所引起的视在运动部分在总视在运动中占了较大比重时，它们的路径的末尾部分通常都会偏离轨道。当地球偏向一侧时，它们就偏向另一侧，而由于该偏斜是与地球运动相对应的，所以其必定是主要由视差所引起的；而该偏斜很大，按我计算的结果，彗星消失的位置要低于木星很多。据此，当它们在近日点和远日点处接近于地球时，它们通常移到火星轨道和内层行星轨道之下。

彗星的接近也可以进一步由彗星头部的光亮证明。因为一个天体的光是由太阳光反射而成的，而且随着离开得越远，以正比于距离的四次幂减小。也就是说，由于到太阳距离的增大使得正比于其的平方，又由于视在直径的减小而又正比于其的平方。如果彗星的亮度和视在直径都是已给定的，则其距离也就可以通过取彗星到一行星的距离正比于它们的直径，而反比于它们的亮度的平方根而求出来。因此弗莱姆斯蒂得先生在1682年用16英寸长的配有千分尺的望远镜观测到的彗星的头部最少有2′；但其头部中间的彗核或星体几乎还不到该数值的十分之一，所以它的实际直径只有11″或12″，不过它头部的光亮却超过其1680年时的亮度，可能还会和第一或第二恒星等的亮度差不多。设土星带环的亮度为彗星的四倍，因为环的亮度几乎等于它里面星体的亮度，又因为星体的视在直径约为21″，所以环和球的总亮度就会等于一个直径为30″的星体的亮度；从而得出彗星与土星的距离之比正比于12″比30″，反比于1比，即，等于24比30，或4比5。然后，海克威尔公布了在1665年4月，彗星的亮度超过了所有恒星的亮度。它有着生动的鲜艳颜色，甚至比土星的色彩还鲜艳，因为该彗星要比其在前年年末时出现另一颗彗星要亮，且已和第一星等的恒星亮度差不多，其头部直径约为6′。但通过望远镜观测得知，该彗核的亮度和行星的差不多，但比木星要小；与土星环内的球体相比，有时较小，有时相等，因此彗星头部的直径几乎不会超过8′或12′，而彗核或中心星的直径仅为头部直径的十分之一或十五分之一。这样通常这些恒星看起来就与行星有着相同的视在大小，它们的亮度通常可能与土星的差不多，有时还会超过土星的。这就证明了所有的彗星在其近日点时必定要么位于土星的下面，要么位于其上方不远处。那些认为它们几乎和恒星一样远的人实在是荒谬之极，因为如果是这样，那么彗星就不可能从太阳处吸收比行星从恒星处吸收的光亮多。

由于其头部被大量浓烟包围，彗星显得很暗淡，到现在为止，我们还没有把这一因素考虑在内。而星体的头部越是被烟尘所包围，因为其反射的亮度与行星的差不多，所以其必定要更靠近太阳一些。因此彗星轨道就很可能远远低于土星轨道，正如我们在前面通过视差所证明的那样。最重要的是，这可以由它们的彗尾来证明，因为彗尾要么是由其所产生的烟尘扩散到太空中所反射的太阳光所形成的，要么是由其头部的光亮所形成的。在前一种情况中，彗星的距离必须要缩短才行，否则要让它头部的烟尘能在如此广阔的空间里，以极大的速度传播，是不可能的；而在后一种情况中，彗星的头尾部的总光亮都要归因于彗核的光亮。如果我们设所有的光亮都浓缩在彗核中，毫无疑问，核本身的亮度就会远大于木星球体的亮度，特别是当它发射出又大又亮的彗尾时。所以，如果它能在一个视在直径更短的星体上反射出比木星更多的光，则其必定接受的太阳光的反射更多，所以其必定更接近太阳；由同样的论点可以得知，当彗头被太阳光所掩盖时，彗头有时会位于金星的轨道之内，它们会放射出那种又大又亮的彗尾，就像它们有时那样放射出像火束一样的彗尾；因为，如果所有的光都聚集到一个星球上，其亮度有时不仅超过一个金星的亮度，而且会超过一个相当于很多个金星的星体的亮度。

最后，同样的结论也可以由彗头的光亮得出，其亮度随着彗星远离地球趋向太阳而增加，又随着远离太阳返回地球而减少；因为自从1665年的彗星（由海克威尔）第一次被观测到后，其就经常失去其视在运动，所以其已经过了其近地点；但是其头部的亮度却每日增加，直至隐藏在太阳光之下，所以彗星就消失了。在1683年7月底首次出现的彗星（同样是海克威尔观测），以很慢的速度运动，每天只在其轨道上前进约40′或45′；但是从那时起它的周日运动就不断增快，直到9月4日达到了约5°。时才停止增快；所以，在所有这些时间段里，彗星一直是趋向地球的。这也可以用千分仪测量出其头部直径来证明，因为在8月6日，海克威尔发现，加上彗发它也只有6′05″，而在九月二日，他的观测结果为9′07″，所以其头部在开始时看起来远远大于运动结束时，由于接近太阳，就算是才开始时，也要比结束时亮很多，正如海克威尔所表明的那样。所以，由于彗星是渐渐远离太阳的，尽管其是趋于地球，在所有的时间段里，其亮度还是逐渐减小。1618年的彗星，在该年的12月中旬以及在1680年12月末，它都以其最大速度运动，所以那时是位于近地点的。但是它头部的亮度却是在两周前达到最大值的，当时它才刚走出太阳光，而彗尾的最大亮度还要提前一点到来，那时它更接近太阳。前一个彗星的头部（根据赛萨特的观测），在12月1日比第一星等的恒星还要亮；而在12月16日（在近地点），它的大小没有减小，而亮度却极大地减少了。在1月7日开普勒对彗头的一些情况不确定，就放弃了观测。在12月12日，后一个彗星的彗头被弗莱姆斯蒂得先生观测到，那时它到太阳的距离为9°，亮度仅及第三星等的恒星。到12月15、17日，由于被接近落日的云层的光辉所挡住了，它的亮度减少了，就与第三星等恒星的亮度相等了。在12月26日，当它位于近地点时，以最大速度前进，它的亮度稍微小于第三星等的天马座口的亮度。到1月3日，它就为第四星等的亮度。1月9日，就只有第五星等的亮度了。然后在1月13日，它被月球的光辉掩盖了，那时月亮光辉正在增加。而到了1月25日，它的光辉就只是接近于第七星等的亮度了。如果我们把近地点两侧的相等时间间隔来作比较，就会发现在这两个间隔很大的时间段里，彗头离地球距离却相等，所以它们的亮度本应该相等的，但在近地点到太阳的那一侧呈现出的是最大亮度，而在另一侧却消失了。所以从亮度在两侧的不同，我们可以推出在太阳的大范围里的彗星都属于前一种情况；因为彗星的亮度一直是有规律地变化，当它们头部运动最快时亮度最大，所以是在近地点上；除了在它们接近太阳时亮度随之增大。

推论1　彗星受太阳光的反射而发亮。

推论2　从以上我们所讨论的，我们知道了为什么彗星通常出现在受太阳光照射的那一半球，而在另一半球却很少出现。如果它们出现在远高于土星的区域上，则它们会更频繁地出现在背对太阳的那一侧；因为在靠近地球的地方，太阳光必定会隐藏那些出现在正对太阳光的那一侧的光亮。另外我通过查阅彗星出现的历史得知，彗星出现在面向太阳的那一侧的次数是背向太阳那一侧的四倍、五倍，并且，毫无疑问被太阳光遮盖的也不少。因为彗星落入我们天区时既没有放射出彗尾，又没有受到太阳照射，所以我们用肉眼是无法看到它们的，直到它们进入到离地球的距离比木星到地球的距离小的区域里时，才能被我们发现。绕太阳以极小的半径作的球形天区中，地球对着太阳的那部分区域占了其中的绝大部分，而彗星在那大部分区域里通常受到更强烈的照射，因为它们大多数时候都接近太阳。

推论3　很明显，宇宙中没有任何阻力；因为尽管彗星沿倾斜轨道运动，有时还会与行星运行方向相反，但是它们还是以极大的自由运动，并在很长时间里保持它们的运动，甚至是与行星的运动方向相反的运动。如果它们不是那种永远沿自己的轨道做环形运动的行星，那我敢说我的推论是正确的；像某些学者认为彗星不过就是流星，因为它们认为彗头会不断地变化，这是很没有根据的；因为彗头是由很重的大气所包围的，而该大气层的最里面必定是最密的；所以我们所看到的这些变化只是发生在彗星大气层中，而不是发生在彗星本身。同样，如果从行星上看地球，也只是大气层发光，而地球球体很少能透过包裹的云层显现出来。由此，也可以得出木星的小行星带也是由于木星的云层而形成的，因为这些小行星之间不断相互改变位置，所以我们很难透过它们看到木星球体；因此彗星实体必定也是掩盖在更浓厚的大气层下的。

命题42　定理20

彗星在以太阳为焦点的圆锥截面上运动；其伸向太阳的半径所掠过的面积正比于掠过时间。

该命题可以对照第1编命题13推论1和第3编命题8、12、13来证明。

推论1　如果彗星是沿环形轨道运行，则该轨道必定是椭圆；而它们的周期时间与行星的周期时间之比等于它们主轴的次幂。由于彗星的轨道大部分都远于行星轨道，所以彗星轨道的轴更长，也就要用更多的时间才能完成一次环绕。因此，如果彗星轨道的轴长为土星轴长的四倍，则彗星的环绕周期时间比土星的环绕周期（即30年），等于（或8）比1，所以彗星环绕周期为240年。

推论2　它们的轨道如此接近于抛物线，以至于把抛物线作为它们的轨道也不会有明显误差。

推论3　根据第1编命题16推论7，每颗彗星的速度，比在相同距离处沿圆形轨道绕太阳旋转的行星的速度，近似于行星到太阳中心的距离的两倍与彗星到太阳中心距离之比的平方根。设大轨道的半径或地球掠过的椭圆轨道的最大半径，是由100000000部分构成；则地球的平均日运动就会掠过1720212个部分，小时运动为个该部分。所以在地球到太阳的相同平均距离处，彗星以比地球速度等于比1的速度，日运动掠过2432747个部分，而小时运动掠过个部分。不管距离是大还是小，日运动和小时运动比上这个日运动和小时运动都会反比于距离的平方根，所以速度都是给定的。

推论4　如果抛物线的通径是大轨道半径的四倍，设该半径的平方包括100000000个部分，则彗星伸向太阳的半径每日所掠过的面积就会有个部分，而小时运动的面积为个部分。如果其通径以任意比例增大或减小，每日运动和小时运动所掠过的面积就会以反比于该比例的平方根而减小或增大。

引理5

求通过任意给定点的类似抛物线的曲线。（如图21）

令这些点为A、B、C、D、E、F等，这些点到任意直线HN的位置是给定的，过这些点作同样多的垂线AH、BI、CK、DL、EM、FN等。

情形1　如果点H、I、K、L、M、N等之间的间距HI、IK、KL等是相等的，取b、2b、3b、4b、5b等为垂线AH、BI、CK等的第一次差；它们的第二次差为c、2c、3c、4c等；第三次差为d、2d、3d等，也就是，AH-BI＝b，BI-CK＝2b，CK-DL＝3b，DL＋EM＝4b，-EM＋FN＝5b等；然后b-2b＝c等，依此类推，直到最后一个差f。作任意垂线RS，该垂线可以被看做所求曲线的纵坐标。为了求该纵坐标的长度，设间隔HI、IK、KL、LM等为长度单位，令AH＝a，-HS＝p，乘以-IS＝q，乘以＋SK＝r，乘以＋SL＝s，乘以＋SM＝t；这样一直进行下去直到倒数第二根垂线ME，在从S到A的各项HS、IS等的前面加上负号；而在S的另一边的各项SK、SL等的前面加上正号；统计好这些符号后，RS＝a＋bp＋cq＋dr＋es＋ft＋…

情形2　如果点H、I、K、L等的间隔HI、IK等是不相等的，就取垂线AH、BI、CK等的第一次差b、2b、3b、4b、5b等，除以这些垂线之间的间隔；又取它们的第二次差c、2c、3c、4c等，除以每两个垂线之间的间隔；再取它们的第三次差d、2d、3d等，除以每三个之间的间隔；然后取它们的第四次差e、2e等，除以每四个之间的间隔等等，这样下去，即可以得出：b＝，，等，又，，等，然后，等。这样就求出了这些差，令AH＝a，-HS＝p，p乘以-IS＝q，q乘以＋SK＝r，r乘以＋SL＝s，s乘以＋SM＝t；这样一直进行下去直到倒数第二条垂线ME；纵坐标RS＝a＋bp＋cq＋dr＋es＋ft＋…

推论　所有曲线的面积都可以由上述方法求出近似值；因为如果求出要求曲线上的一些点，并设一条抛物线通过了这些点，则该抛物线的面积就会几乎与所求曲线的面积相等，而抛物线的面积一般可以通过常规几何方法求出。

引理6

已知彗星的某些观测点，求在这些点间的任意时刻彗星的位置。

令HI、IK、KL、LM（见图21），表示观测时间的间隔；HA、IB、KC、LD、ME为彗星的五个观测到的经度；而HS为第一次观测到所求经度之间的给定时间。如果设曲线ABCDE通过点A、B、C、D、E，纵坐标RS可从前一个引理求出，而RS就是所求的经度。

由同样的方法，从这五个观测到的经度，我们可以求出任意给定时间的经度。

如果观测到的这些经度差很小，设为4˚或5˚，则三四次观测就能求出新的经度和纬度；但如果该差很大，就像有10˚或20˚，则就需要五次观测才能求出。

引理7

过一给定点P作直线BC，其PB和PC两部分分别与给定直线AB和AC相交，使得PB和PC相互之间的比是给定的。（如图22）

设任意直线PD是过P点的直线，它既要与给定的一条直线相交（如AB），又要延长至E与另一条给定直线相交AC，以至PE与PD之比为一给定比值。令EC平行于AD。作直线CPB，则PC比PB等于PE比PD。

证明完毕。

引理8

令ABC为焦点在S的抛物线。在I点被二等分的弦AC所截取的弓形ABCA，其直径为Iμ，顶点为μ。延长Iμ使μO等于Iμ的一半。连接OS并延长至ξ，以至Sξ等于2SO。现设一彗星沿弧CBA运行，作ξB与AC相交于E；那么点E就会在弦AC上截线段AE近似正比于时间。（如图23）

如果我们连接EO，与抛物线弧ABC相交于Y，并作μX与同一个弧相切于顶点μ，且与EO相交于X，则曲线面积AEXμA比曲线面积ACYμA等于AE比AC。由于三角形ASE与三角形ASC也成该比例，所以整个面积ASEXμA与ASCYμA之比等于AE比AC。但是因为ξO比SO等于3比1，而EO比XO也是这一比值，所以SX就会平行于EB；连接BX，三角形SEB就会等于三角形XEB。因此如果从面积ASEXμA加上三角形EXB的和中减去三角形SEB，就会剩下面积ASBXμA，等于面积ASEXμA，所以面积ASBXμA比面积ASCYμA等于AE比AC。但由于面积ASBYμA近似等于面积ASBXμA；所以面积ASBYμA比面积ASCYμA等于弧AB掠过的时间比弧AC掠过的时间；所以AE与AC的比值近似于时间之比。

证明完毕。

推论　当B点落在抛物线顶点μ的位置上时，AE与AC之比完全等于时间之比。

附注

如果我们连接μξ并与AC相交于s，在其上取ξn，使得ξn比μB等于27MI比16Mμ，作Bn与弦AC相交所截得的比例比以前更精确地正比于时间之比。但应根据点B比点μ到抛物线的主顶点的距离是大还是小，来决定是点n在点ξ的外侧还是内侧。

引理9

直线Iμ、μM和长度相互之间都相等。

因为4Sμ是抛物线顶点μ的通径。

引理10

延长Sμ到N和P，以至μN可以为μI的三分之一，而SP比SN等于SN比Sμ；在彗星掠过弧AμC的时间里，如果假设它总是以它在SP的高度上所具有的速度前进，则它掠过的长度等于弦AC的长度。（如图24）

如果彗星在前面所说的时间里，以其在μ点的速度，沿抛物线μ点上的切线，匀速前进，则它伸向点S的半径所掠过的面积就会等于抛物线面积ASCμA；所以掠过切线的长度线和长度Sμ所包含的面积与长度AC和SM所包含的面积之比等于面积ASCμA比三角形ASC，即等于SN比SM。因此AC比掠过切线的长度等于Sμ比SN。但由于彗星在SP的高度上的速度（由第1编命题16推论6）比上其在Sμ的高度上的速度反比于SP与Sμ之比的平方根，即等于Sμ比SN，所以以该速度掠过的长度比上在相同时间里在切线上掠过的长度等于Sμ比SN。因为AC，又因为以新的速度掠过的长度与在切线上掠过的长度之比也是该比值，所以它们之间必定是相等的。

证明完毕。

推论　彗星以在Sμ＋Iμ的高度所具有的速度，在相同时间里差不多等于掠过了弦AC。

引理11

如果一失去所有运动的彗星从SN或Sμ＋Iμ的高度上落向太阳，在掠过自己轨道上的弧AC的时间里，彗星还是会继续不变地受到其最初落向太阳的力的推动，且掠过的距离等于长度Iμ。

因为在与彗星掠过抛物线弧AC所需的相同时间里，彗星（由最后一个引理）以在SP的高度所具有的速度掠过弦AC；所以（由第1编命题16推论7），如果彗星在以仅靠自己的引力绕半径SP的圆做圆周运动的相同时间里，则它在该圆上掠过的弧的长度比抛物线弧AC所对应的弦长等于1比。因此，如果以在SP的高度上所具有的重量落向太阳，则它会在（由第1编命题16推论9）前面说的时间的一半时间里掠过的空间等于前面所说的弦的一半的平方除以四倍的高度，即，它会掠过的空间。由于彗星在SN的高度上受太阳吸引的重力比上其在SP的高度上受太阳吸引的重力等于SP比Sμ，所以彗星以其在SN的高度上所具有的重力，在该高度上落向太阳的时间里掠过空间，即，等于长度Iμ或μM。

证明完毕。

命题43　问题21

从三个给定的观测点求在抛物线上运行的彗星轨道。

这是一个很难的问题，我试过很多方法来解决它，有几个与此相关的问题，我在第1编里已经作了相关阐述。但后来我想到了以下解决方法，它们更简单。

选三个时间间隔几乎相等的观测点，但是令彗星在这些时间间隔里的速度不同。因此，也就是使时间差比时间之和等于时间之和比600天，或使点E可能落在M周围偏向I的地方而不是偏向A的地方。如果你手头上没有这些现成的观测点，那就要由引理6求出一个新的点。（如图25）

令S表示太阳；T、t、τ为地球在轨道上的位置；TA、tB、TC为彗星的三个观测经度；V是第一次和第二次观测之间的时间间隔；W为第二和第三次之间的间隔；X为在V＋W的整个时间里，彗星以在地球到太阳的平均距离上的速度所掠过的距离，该距离可以由第3编命题40推论3求出；tV为弦Tτ上的垂线。在平均观测经度tB上任意取点B为彗星在黄道平面上的位置；作直线BE连接该处和太阳S，并使其比上垂线tV等于SB和St2的乘积比上直角三角形斜边的立方，而该直角三角形的直角边分别为SB和彗星在第二次观测时的纬度相对于半径tB的正切。过点E（由引理7）作直线AEC，其被直线TA和τC所截得的两部分AE和EC相互之间的比等于时间V和W之比，如果B刚好在第二次观测的位置上的话，那么A和C就会近似位于彗星在黄道平面上第一和第三次观测的位置。（如图26）

在被I二等分的AC上作垂线Ii。过B点作直线Bi平行于AC。连接Si与AC相交于λ，就形成了平行四边形iIλμ。取Iσ等于3Iλ；又过太阳S作直线σξ等于3Sσ＋3iλ。删去点A、E、C、I，从点B向点ξ作一条新的直线BE，则该直线比上原先的直线BE等于距离BS与量Sμ＋iλ的比的平方。又过点E同样由前面的规则作直线AEC，即使得AE和EC之比等于观测时间间隔V和W之比。因此，A和C就会为更准确的彗星位置。

在被I二等分的AC上，作垂线AM、CN、IO，其中AM和CN为第一和第三次观测时的纬度比上半径TA和τC的正切。连接MN使其与IO相交于O。像前面一样作长方形iIλμ。延长IA，取ID等于Sμ＋iλ。又在MN上向着N一侧取MP，以至MP比前面求出的长度X等于地球到太阳的平均距离（或地球轨道的半径）与距离OD之比的平方根。如果点P落在点N上，则A、B和C就会为彗星的三个位置，通过这些点就可以在黄道平面上描出彗星的轨道。如果点P没有落在点N上，在直线AC上取CG等于NP，则点G和P就会都位于直线NC的相同侧。

用设定的点B求出点E、A、C、G的同种方法，从任意设定的另一些点b和β上，求出新的点e、a、c、g和ε、α、κ、γ。然后过G、g和γ，作圆Ggγ，交直线τC于Z：那么Z就会为彗星在黄道平面上的一个位置。又在AC、ac、αk上，分别取等于CG、cg、kγ的AF、af、αφ；而又过点F、f和Φ，作圆FfΦ，交直线AT于X；那么X就会为彗星在黄道平面上的另一个位置。而又在点X和Z上向半径TX和τZ作彗星纬度的切线，则就可以确定彗星在其自己轨道上的两个位置。最后，如果（由第1编命题19）以S为焦点作抛物线经过了这两个位置，则该抛物线就是彗星的轨道。

证明完毕。

本作图的证明是依照前一引理的，因为由引理7可知直线AC按时间比例在E点被截开，就像它在引理8中的一样；由引理11，BE是直线BS或Bξ在黄道平面上，介于弧ABC和弦AEC之间的部分；由引理10，MP是彗星在第一和第三次观测之间在轨道上掠过的弧所对应的弦长，所以如果B是彗星在黄道平面上的真实位置，那么MP等于MN。

如果设点B、b、β不是任意点，而是近似真正的位置，则计算就会更方便。如果黄道平面上的轨道与直线tB的交角AQt是大体知道的，则在该角沿Bt作直线AC，以至AC比等于SQ比St的平方根；作直线SEB使得EB等于长度Vt，则我们用于第一次观测的点B就可以求出，然后删除直线AC，且根据前面作图法重新作直线AC，进一步就可以求出长度MP。在tB上取点b，规则如下，如果TA和TC相交于Y，则距离Yb比距离YB等于MP与MN的比值乘以SB与Sb比值的平方根。如果你愿意把同样的步骤再重复一遍，那么由同样的方法你可以求出第三个点β；但一般按照这个方法做的话，两遍就够了。因为如果距离Bb碰巧很短，再求出点F、f和G、g之后，作直线Ff和Gg，则它们与TA和TC的交点就是所求的X和Z。

例

令1680年的彗星为我们所研究的彗星。下表显示了弗莱姆斯蒂得所观测并计算出的它的运动，哈雷博士也对这一结果作了校正。

这些结果都是用长7英尺配有千分仪的望远镜，并把准线调在望远镜的焦点上所得到的；我们用这些仪器确定了恒星相互之间的位置，以及彗星相对于它们的位置。令A表示英仙座左侧末端的一个第四亮星（拜尔ο星），B表示左尾部的第三亮星（拜尔ξ星），C表示同样在左侧末端的第六亮星（拜尔n星），以及D、E、F、G、H、I、J、K、L、M、N、O、Z、α、β、γ、δ，为左侧其他较小的星；而令p、P、Q、R、S、T、V、X表示前面观测得出的彗星的位置；设把距离AB分成份；AC占份；BC，；AD，；BD，；CD，；AE，；CE，；DE，；AI，；BI，；CI，；DI，；AK，；BK，43；CK，；FK，29；FB，23；FC，；AH，；DH，；BN，；CN，；BL，；NL，。由于HO比HI等于7比6，延长该线，会从D星和E星之间穿过，以至D星到直线的距离为。而LM比LN等于2比9，延长该线，会经过H星。因此恒星相互之间的位置就能确定。（如图27）

此后，庞德先生又作了一次恒星之间相互位置关系的观测，并收集得出了它们的经度和纬度，如下表。

观测得出的彗星相对于这些恒星的位置如下：

在旧历2月25日星期五，下午8∶30，彗星在p点，到E星的距离小于AE，而大于AE，所以几乎等于AE；因为角ApE近似为直角，但有一点偏向钝角。从A点向pE作垂线，则彗星到该垂线的距离等于pE。

而在那天晚上9:30时，彗星在P点，到E星的距离大于AE，而小于AE，所以几乎等于AE，或AE。但彗星到过A星作的垂直于直线PE的垂线的距离为PE。

在2月27日星期日，下午8∶15，彗星在Q点，到O星的距离等于O星和H星之间的距离；延长直线QO于K星和B星之间穿过。由于云层的干预，我不能更准确地确定恒星的位置。

在3月1日星期二，晚上11∶00，彗星在R点正好位于K星和C星之间的连线上，以至直线CRK的CR稍微长于CK，又稍微短于，所以等于，或CK。

在3月2日星期三，下午8∶00，彗星在S点，到C星的距离近似等于FC；F星到直线CS的延长线的距离为FC，B星比F星到该线的距离大4倍，NS的延长线过H星和I星之间，距离H星较I星更近5或6倍。

在3月5日星期六，晚上11∶30。当彗星位于T点，直线MT等于ML的一半，LT的延长线于B和F之间穿过，距离F较B近4或5倍，在BF上靠近F的一侧截取BF的或；MT的延长线过BF的外面，较F来说距离B近4倍。M是很小的星，几乎不能用望远镜观测到；但是L较暗，约为第八星等。

在3月7日星期一，晚上9∶30，彗星位于V，直线Vα的延长线过B和F之间，在BF上向F点方向截取BF，且与直线Vβ之比等于5比4。彗星到直线αβ的距离为Vβ。

在3月9日星期三，晚上8∶30，彗星位于X，直线γX等于γδ，过δ星在直线γX上作的垂线为γδ。

同样还是那天晚上12∶00，彗星位于Y，直线γY等于γδ，或稍微短点为γδ；从δ星到直线γY作垂线等于约γδ或γδ。但是由于彗星极其接近地平线，以至几乎不能辨别，所以它的位置不能像前面的观测那样精确得出。

根据这些观测，由作图和计算，我推导出彗星的经度和纬度；而庞德先生校正了恒星的位置，这些都已在前面所展示出来了的。我的千分仪虽然不是最好的，但在经度和纬度上的误差（由我的观测）很少超出一分。彗星（根据我的观测）在其运动的末期，从它在二月底掠过的平行线开始朝北方明显倾斜。

现为了从上述观测结果来确定彗星轨道，我选择了弗莱姆斯蒂得的三次观测结果，有12月21日的，1月5日的和1月25日的；如果地球轨道平均分成10000份，则St含有9842.1份，Vt为455份。然后在第一次观测中，设tB包含5657个这些部分，则求出SB为9747，BE在第一次观测中为412，Sμ为9503，iλ为413，BE在第二次观测中为421，OD为10186，X为8528.4，PM为8450，MN为8475，NP为25；由此，在第二次观测中我收集整理得出距离tb为5640；由本次观测我最后推算出距离TX为4775，TZ为11322。从这些数据求出的轨道，我发现其下降交点在，而上升交点在1˚53′；其轨道平面对黄道平面的倾角为；所以顶点（或彗星的近日点）距交会点8˚38′，在27˚34′，南纬7˚34′；其通径为236.8；如果设地球轨道半径的平方为100000000，则在日运动中由伸向太阳的半径掠过的面积为93585；彗星在这个轨道上完全按照星座顺序运动，在12月8日晚00时04分时运行到其轨道的顶点或近日点处；所有这些是我用标尺和罗盘（而角的弦都是在自然正弦表中求出的），在一张巨大的图中求得的，在图中地球轨道的半径（包含有10000个部分）有英寸长。

最后，为了求证彗星是否真的在该轨道上运动，我用算术方法结合标尺和罗盘，求出了其在轨道上对应于观测时间的位置，结果见下表：

但之后哈雷博士确实用算术方法求出了比作图求出的更精确的轨道保持了交会点在和1˚53′的范围内摆动，轨道平面向黄道平面的倾角为，彗星在近日点的时间为12月8日00:04分，他发现近地点到彗星轨道上上升交会点为9˚20′，如果设太阳到地球的平均距离为100000个部分，则抛物线的通径就为2430个该部分。通过对这些数据的算术计算，他求出了彗星在各观测时间里的位置，如下表。

该彗星也在以前11月时出现过，哥特弗里德先生在萨克森的科堡于旧历的该月4、6、11日观测到过；考虑到科堡和伦敦的经度差11˚，以及庞德先生所观测的恒星位置，哈雷先生求出了彗星的位置如下：

11月3日17点2分，就是彗星出现在伦敦的时间，它位于29˚51′，北纬1˚17′45″。

11月5日15点58分，彗星位于τ3˚23′，北纬1˚6′。

11月10日16点31分，彗星距位于的两颗星距离相等，拜尔定义为σ和τ；但它又没有真的位于这两个星的连线上，而是距此有一点距离。在弗莱姆斯蒂得的星表中那时σ星在14˚15′，近似北纬1˚41′，而τ是在，南纬；所以这两个星之间的中间点为，北纬。令彗星到该直线的距离为10′或12′；因此彗星到该中间点的经度差为7′，纬度差约为；因此得出彗星位于15˚32′，约为北纬26′。

第一次观测到的彗星位置相对于某些小恒星来说，具有所要求的所有精确度；第二次观测也够精确。第三次观测是最不精确的，可能有六七分的误差，但也不会比这个还大了。就像在第一次也是最精确的一次观测中测出的那样，彗星的经度由上述抛物线轨道计算得出29˚30′22″，北纬为1˚25′7″，且到太阳的距离为115546。

此外，哈雷先生还注意到一颗显著的彗星曾以575年为间隔出现过四次（即在朱利叶斯·恺撒被杀后的9月；然后在公元531年，就是在兰帕迪乌斯和奥里斯特斯执政时；之后就是在公元1106年2月；最后就是在1680年末；并且它都拖着又长又明显的尾巴，除了在恺撒死的那次，在那时由于地球位置的原因，彗尾不易见），这让他求出了这样的一个椭圆轨道，如果地球到太阳的平均距离包含有10000部分，其最长轴应为1382957个该部分；在该轨道上彗星环绕一周的时间为575年；上升交会点位于2˚2′，该轨道平面相对于黄道平面的倾角为61˚6′48″，在该平面上彗星的近日点为22˚44′25″，到近日点的时间是12月7日23点9分，近日点到位于黄道平面上的上升交会点的距离是9˚17′35″，其共轭轴为18481.2，由此，他计算出了彗星在该椭圆轨道上的运动。而由观测的推算和该轨道的计算得出的彗星的位置（见此处表）。

对该彗星的观测从一开始到最后都完全与推算出的彗星在轨道上的运动相符，就像行星的运动与由原理推算出的它们的运动相符；由这种一致性可以清楚地证明所有出现的彗星是同一个彗星，就连它的轨道都已正确地给出了。

在前面的表中我省略了11月16、18、20和23日的观测数据，因为它们不是很精确，在这几次观测中很多人都对该彗星做过观测。旧历11月17日早上6∶00，庞修和他的同事在罗马（即在伦敦为5:10）将准线对准恒星，观测到彗星在8˚30′，南纬0˚41′。庞修的论文中有提及这次他们观测的结果。切里奥当时也在观测这一彗星，他在写给卡西尼的信中说道，彗星在那同一时刻位于8˚30′，南纬0˚30′。同样的伽列特也那一时刻在阿维尼翁（即，是伦敦早上5:42）观测到位于8˚，南纬0˚。但由彗星原理计算得出，那时它位于8˚16′45″，南纬0˚53′7″。

11月18日早上6∶30在罗马（即在伦敦的5:40），庞修观测到彗星位于13˚30′，南纬1˚20′；而切里奥的结果是13˚30′，南纬1˚00′。但在阿维尼翁的早上5∶30，伽列特发现在13˚00′，南纬1˚00′。在法国拉弗累舍大学的早上5∶00（即在伦敦的5:09），安果观测到它位于两个小星之间，其中一个是位于室女座南肢的连成一线的三个星中间的那个——拜尔ψ星；而另一个是该肢上最远的一个——拜尔θ星。所以那时彗星位于12˚46′，南纬50′。而哈雷博士告诉了我，也在那一天的早上5∶00，在位于北纬度的新英格兰的波士顿（即在早上9:44的伦敦）测得彗星位于14˚，南纬1˚30′附近。

11月19日4∶30在剑桥，彗星（由一个年轻人的观测）距角宿一约西北方向2˚。那时角宿一位于19˚23′47″，南纬2˚1′59″。在同一天，早上5∶00，新英格兰的波士顿，彗星距离角宿一1˚，纬度相差40′。也在同一天，在牙买加岛，彗星距离角宿一1˚。还是那一天，亚瑟·斯多尔在弗吉尼亚地区的马里兰那里，临近亨丁·克里克的帕图森河（北纬度），在早上5∶00（即，在伦敦10∶00），看到彗星在角宿一之上，几乎连在一起，它们之间的距离有度。通过对这些数据的比较，我得出在伦敦9∶44分，彗星位于18˚50′，南纬1˚25′。而由理论推算出当时彗星位于18˚52′15″，南纬1˚26′54″。

11月20日，帕多瓦的天文学家蒙特纳里在威尼斯的早上6∶00（即伦敦的5∶10），发现彗星位于23˚，南纬1˚30′。同一天在波士顿，彗星在角宿一偏东4˚的地方，因此就是在近似于23˚24′的地方。

11月21日，庞修和他的同事在早上7:15观察到彗星位于27˚50′，南纬1˚16′；而切里奥观察得出是在28˚；安果在早上5:00测出的27˚45′；蒙特纳里的为27˚51′。同一天里，在牙买加岛看到的彗星位于开始处附近，几乎与位于相同纬度，即2˚2′。同一天在东印度群岛的巴拉索尔的早上5∶00（即，伦敦的前一天的晚上11∶20），彗星位于角宿一向东7˚35′。就是在角宿一与天秤座的连线上，所以就是在26˚58′，南纬1˚11′；过了5∶40之后（即在伦敦早上5∶00），彗星就位于28˚12′，南纬1˚16′，而现在由理论推算出彗星那时在28˚10′36″，南纬1˚53′35″。

11月22日，蒙特纳里发现彗星在2˚33′；但新英格兰的波士顿，它被发现位于3˚，而几乎和以前一样的纬度1˚30′。同一天早上5∶00在巴拉索尔彗星位于1˚50′；所以在伦敦的早上5∶00彗星近似位于3˚5′。同一天在伦敦的早上6∶30，胡克博士在观察到它约在3˚30′，在角宿一和狮子座之间的连线上，但是也不是完全位于线上，而是有一点偏向北边。蒙特纳里同样也在那一天以及之后的几天里做了观察，他发现彗星到角宿一的连线经狮子座南侧的很近的地方通过。狮子座和角宿一的连线在3˚46′处与黄道平面所成的交角为2˚25′；而如果彗星在该直线上的3˚处，则其纬度就会为2˚26′；但由于胡克和蒙特纳里都认为彗星位于该直线偏北一点的地方，所以它的纬度必定还要小一点。在20日时，通过蒙特纳里的观测，其纬度几乎与角宿一的相同，即约为1˚30′。但由于胡克、蒙特纳里和安哥都认为纬度是不断增加的，所以在22日那天，就会比1˚30′大很多；取这些数据中的最大值和最小值（也就是2˚26′和1˚30′）的中间值，则纬度就约为1˚58′。胡克和蒙特纳里都认为彗星的彗尾是指向角宿一，但胡克认为其有一点倾向该星南侧，而蒙特纳里则认为是倾向该星北侧，所以该倾斜几乎是看不见的；而该彗尾应近似平行于赤道，相对于太阳位置要略偏北一点。

旧历11月23日早上5∶00，在纽伦堡（即在伦敦的4∶30），齐默尔曼先生以恒星位置推算出彗星位于8˚8′，南纬2˚31′。

11月24日日出之前，蒙特纳里看到彗星在狮子座和角宿一之间连线北侧的12˚52′，所以其纬度要小于2˚38′；而由于就像我前面说的蒙特纳里、安哥和胡克都观测出纬度是不断增加的，所以如果在24日就会大于1˚58′；所以取平均值，就会为2˚18′，没有任何明显误差。而庞修和切里奥则认为纬度是不断减小的，但伽列特，以及在新英格兰的观测者则认为其纬度保持不变，即约为1˚或。庞修和切里奥的观测很粗糙，特别是那些用地平经度和纬度推算出的很不准确；伽列特的观测也是。而蒙特纳里、胡克、安哥和那些在新英格兰的观测者们用的方法比较好，庞修和切里奥有时用的也是这一方法，他们用相对于恒星位置来求出彗星位置。同一天在早上5∶00在巴拉索尔，观测到彗星在11˚45′；所以在伦敦早上5∶00时近似位于13˚。而由理论推算出，彗星在那时位于13˚22′42″。

11月25日日出之前，蒙特纳里观测到彗星近似位于；而切里奥与此同时观测到的却位于室女座右侧上的亮星和天秤座南部亮星的连线之间；该直线与彗星轨道的交角为18˚36′。而由原理推算出约为位于。

从以上这些可以明显看出，这些观测结果是与原理相符的；由这种相符性可以证明从11月4日到3月9日一直出现的都是一个而且是同一个彗星。由于该彗星的路径两次与黄道平面相交，所以它不是沿直线运动的。它在室女座的末端和摩羯座的开端与黄道平面相交，这两个之间的弧度为98˚，因此说它不是在天空中相对的位置上与黄道平面相交；所以彗星的路径偏离大圆很多；因为在11月它至少向南偏离黄道平面3˚；而后在接下来的12月它向北偏离了29˚；在该轨道上有两个部分，在这儿，彗星落向太阳又从太阳处上升，根据蒙特纳里的观测，彗星的这种下落上升的视在倾角大于30˚。该彗星经过九个星座，也就是从的末尾到的开始，彗星经过之后才开始被发现的；我们还没有一个原理可以解释为什么彗星能用规则运动掠过天空中这么大的部分。但是该彗星的运动是不相等的；因为在11月20日左右，它每天掠过约5˚。然后它的运动在11月26日到12月之间的时间里是减速的，即在15天半的时间里它只掠过了40˚。但之后的运动就是增速的了，它那时接近每天运动5˚，直到它的运动又一次减速。这种与不相等的能穿越如此巨大天空的运动完全相符的理论，又与完全符合精确天文观测的行星运动理论具有相同原理，那么这种理论只能是真理。

考虑到这没有什么不妥，我就附上一幅图，上面我详细绘制了彗星轨道，以及它喷出的彗尾的位置。在该图中ABC表示彗星的轨道，D为太阳，DE表示轨道的轴，DF为交会点连线，GH为地球轨道与彗星轨道平面的交线；I为彗星在1680年11月4日所处的位置，N为12月21日的位置，K为那一年里11月11日的位置，L为那一年11月19日的位置，M为那一年12月12日的位置，O为12月29日的，P为次年1月5日的，Q为1月25日的，R为2月5日的，S为2月25日的，T为3月5日的，V为3月9日的。为了求出彗尾的长度，我做了如下观测。（如图28）

11月4日和6日，彗尾没有出现；11月11日，彗尾才刚出现，但其长度在10英尺长的望远镜中不会超过。11月17日，庞修观测得出为长于15˚；11月18日，在新英格兰测出为30˚长，且直指太阳，并延伸至位于9˚54′处的火星处；11月19日，在马里兰岛发现彗尾有15˚或20˚长；12月10日（根据弗莱姆斯蒂得先生的观测）彗尾从蛇夫座的蛇尾和天鹰座南翼的δ星之间穿过，停在拜尔A、ω、b星附近。所以彗尾位于，北纬约；12月11日，它上升到天箭星座顶部（拜尔α、β），停在26˚43′，北纬38˚34′；12月12日，它从天箭星座中间穿过，但它也没有运动到很远；停在约4˚，北纬。但是我们必须要知道，我们所说的彗尾长度是最亮部分的长度；因为在晴朗的夜空中可能比较微弱的亮光也可以看到，在12月12日5∶40在罗马，庞修观测到其彗尾上升到了天鹅座尾星以上10˚的位置，彗尾的侧部指向西北，距该星有45′。但在那时彗尾上端的宽度有3˚；所以彗星中间在该星偏南2˚15′，而上端尾部位于22˚，北纬61˚；所以彗尾约有70˚长；12月21日，它几乎延伸到了仙后座那里，它的距离与β星到王良四的距离相等，这两个星分别到它的距离也与这两个星之间的距离相等，所以彗尾停在24˚，纬度；12月29日它到达了室宿二，与其左侧相接触，并恰好填满了在仙女星座北部足间的有54˚长的所有空间；所以该彗尾停在19˚，纬度为35˚；1月5日，彗尾接触到仙女座胸部右侧的π星和其腰部左侧的μ星；根据我们的观测得出彗尾有40˚长；但是是呈曲线的，且凸起的那一侧指向南部；在彗星头部附近与过太阳和彗头的圆成4˚角；但彗尾却与该圆成约10˚或11˚角；彗尾的弦和该圆成8˚角。1月13日彗尾停在Alamech和大陵五之间，其亮度还可见；最后以微弱光亮消失在背对κ星靠英仙座的那一侧。彗尾到过太阳和彗星的圆的距离为3˚50′；而彗尾的弦对该圆的倾角为。1月25日和26日，彗尾亮度微弱长约6˚或7˚；经过一两个夜晚后，当在晴朗天空下时，就算它的亮光很微弱几乎不能看见，它也能延伸至12˚或更多；但是它的轴恰好指向御夫座东肩上的亮星，所以向北偏离与太阳反向的位置10˚。最后，2月10日我用望远镜观测到彗尾长2˚；因为太微弱的光无法通过玻璃所以看不见。但庞修曾写到在2月7日看到彗尾有12˚长。2月25日彗星失去彗尾消失了。

现在，如果我们回顾所阐述过的轨道，并适时考虑到彗星的其他状态，则我们会清楚地了解彗星是固体的、紧密的、固定的和耐久的，就像行星的星体；因为如果它们就只是地球、太阳和其他行星的所形成的气体，则该彗星在经过太阳附近时就会瞬时消散掉；因为太阳的热度正比于它光线的密度，即反比于它所处的位置到太阳的距离的平方。所以在12月8日当彗星位于近日点时，从彗星位置到太阳中心的距离比地球到太阳的距离约为6比1000，而那时太阳作用在彗星上的热量比夏日里的太阳光作用在我们身上的热量等于1000000比36，或等于28000比1。我曾试验过把水煮沸的热量是把地球土壤晒干的太阳热量的3倍；而烧红的铁的热量（如果我设想的没错）约为沸水热量的3到4倍。所以当彗星位于近日点时，彗星上的泥土受到太阳光线照射而晒干的热量约为烧红的铁的热量的2000倍。而在这样高的热量中，蒸汽和雾气，以及任何挥发性物质，都会瞬时挥发消失掉。

所以，该彗星必定从太阳那里吸收了大量的热量，并在相当长的时间里保持该热量，因为直径长1英寸的烧红铁球暴露在空气中，在一个小时的时间里几乎也不会失去所有的热量；而体积更大的球体会以正比于其较大的直径而保持热量更持久，因为该表面（正比于受使其冷却的周围流动的空气的多少）比内部所含的热量要小。所以一大小等于地球的烧红铁球，即直径约40000000英尺的球体，在与地球冷却天数一样多的日子里，或是在50000多年里是不会冷却的。但我怀疑有一些潜在原因，使得热量持续时间的增加比例要小于体积增大的比例。我是很期望看到能用实验测出真实比例。

我还注意到，在12月就在彗星刚刚受到太阳光热，它就会放射出比在11月当它还未到达近日点时更亮的彗尾。一般来说，最长又最亮的彗尾是马上紧接着出现在它们经过紧邻的太阳之后。所以彗星接受的太阳光热最多，才放射出最长的彗尾。由此我可以推出彗尾就只是彗头或彗核受热所放射的微细的蒸气。

关于彗尾还有三种其他说法：一是有些人认为它们不是别的，就是太阳透过彗头（人们认为它是透明的）的光束；再者是有些人认为是彗头向地球放射的光反射而成的；最后还有些人认为是它们是不断从彗头冒出的云雾或蒸气之类的，且背向太阳方向运动。这第一种是与光学不相符的，因为在暗屋里能看见太阳光束只是因为光束反射在空气中飘浮的尘埃和烟尘的微粒的结果。由此可知，如果空气中布满浓烟，则这些光束发出的光亮就会更强，使眼睛受到更强的刺激；而在更纯净的空气中，它们的光亮就不容易被察觉。但是在宇宙是真空的，没有物质来反射光亮，所以我们是不可能看到光束的。光不是因为成为一束光而被我们看见，而是光反射到我们的眼睛而被看见，因为景象只有在落入我们眼睛才能被我们看见，所以在我们看见彗尾的地方必定有一些能反射的物质，而且由于天空中太阳光是平均分布的，所以不存在有些地方的亮度要大于另一些地方。第二种说法会面临很多问题。彗尾从来没有出现过一般反射会造成的多种色彩，而恒星或行星射向我们的唯一的光就证明了天空不能产生折射，因为就正如人们提出埃及人有时看到彗发包裹在恒星周围，因为这并不常见，我们最好把它归结为平常的云层的折射。恒星的发光和闪烁也是由于我们眼睛和空气折射的作用，因为把望远镜放到我们眼睛前这种闪烁便即刻消失了。由于空气的震颤和水汽的上升，这就造成了光线在我们狭长的瞳孔里交替摆动；但是在有着宽孔径的望远镜下就不会发生这种情况，因此闪烁只会发生在前一种情况中，而后一种情况是不可能发生的。而在后一种情况中的闪烁不存在就证明了光在天空中是均匀传播的，没有任何明显的折射。人们有时看见有的彗星的光太弱了，以至看不到彗尾，就好像次级光太弱，以至不能被我们看见一样。因此有的人认为这就是为什么恒星没有尾巴。为了消除这种异议，我们得这样想，在望远镜下恒星的光可以增加100倍，但仍然看不见尾巴。而行星的光则更亮但还是看不到任何尾巴，但是当彗头有时光很暗淡时，我们还是能看见彗星有着长长的尾巴。这种情况在1680年就发生过，当时，在12月时它的光亮还不到第二星等的星的亮度，但还是放射出明显的尾巴，并有40˚、50˚、60˚或70˚，甚至更长。此后，在1月27日、28日，当时彗头的亮度等于第七星等的亮度，但还是可以看见彗尾（就如我前面所说），尽管光亮很微弱，但仍有6˚至7˚长，如果加上更难以看到的渐微的亮光。它甚至还有12˚长以上，而到了2月9和10日，那时肉眼已经看不到彗头了，但透过望远镜我看到彗尾有2˚长。再说，如果彗尾是由于天体的折射而形成的，且是背离太阳的，则根据其在天空中的形状，它在相同位置的偏离应该一直指向同一个地方。但是1680年的彗星，在12月28日晚上8点半时，在伦敦被观察到位于8˚41′，北纬28˚6′；而当时太阳位于18˚26′。1577年的彗星，在12月29日位于8˚41′，北纬28˚40′，而太阳和前面一样位于18˚26′。在这两种情况中，地球的位置都相同，彗星在天空中的位置也相同；尽管在前一种情况中，彗尾（不管是我还是其他人的观测都是）向北偏离太阳反向度；而在后一种情况中，它（根据第谷的观测）向南偏离了21˚。所以不能证明是天体折射所引起的，究竟彗尾的现象是不是由物质折射而成的还尚待证明。

从对彗尾的进一步观测得出，彗尾确实是由彗头引起的，并指向太阳的反向。位于经过太阳的彗星轨道平面，它们不断地偏离太阳反向并朝向彗头在轨道上掠过了剩下的部分。对于位于那些平面里的旁观者而言，彗尾看起来是位于正对太阳的地方；但随着旁观者们远离该平面，彗尾的偏离就逐渐明显了起来，且日益增加。如果其他条件不变，在彗尾更向彗星轨道倾斜时，以及在彗头更接近太阳时，特别是当在彗头附近所测的偏离角度，该偏离会少一些。如果彗尾没有偏离，则它就呈现出直线，但当它有偏离时就会呈现出曲线。偏离越大曲率就越大。因为如果彗尾越短曲率越不容易看见，所以在其他条件不变的情况下，彗尾越长曲率也越大；而又由于彗尾凸起的那一侧是朝向引起偏离的那一侧，而且该侧是位于太阳到彗头的直线上的，所以偏离角在接近彗头部分较小，而在彗尾末端部分较大。那些又长又宽，光亮很强的彗尾中，其凸侧部分比凹侧部分更亮，轮廓更清晰。由此我们可以清楚地知道，彗尾的现象取决于彗头的运动，而不是我们在天空中看见的彗头的位置；所以彗尾并不是由天体的折射产生的，而是由它们自己的彗头提供的物质来形成彗尾的。就像在地球空气中，燃烧的物体所产生的烟，当在物体静止时垂直上升，而在物体运动倾斜运动时斜向上升，因此在天空中，所有的天体都受太阳吸引，则烟雾和蒸气都必定（正如我之前说的）会向太阳方向升起，当生烟物体静止时，烟尘就会垂直上升，而当物体在所有运动中都离开那些较高部分的烟尘最初升起的位置时，烟尘就斜向上升；而且当烟尘以最大速度上升时，倾斜度就会最小，也就是说在生烟物体接近太阳时，倾斜度最小。但是，由于倾斜度在变化，所以烟柱也是弯曲的；又由于在前部的烟尘升起较晚，即较晚从生烟物体中升起，则在那头的烟尘密度较大，因此也必定反射更多的光，轮廓也就更清晰。我并没有考虑进彗星的突发不确定摆动，以及它们的不规则形状，而很多学者都对此做过描述。可能是由于空气的流动和云层的运动，遮挡了这些彗尾；还有可能是由于当彗星经过银河系时，把其中的某一部分当作了彗尾的一部分。

但关于彗星的大气能够提供充足的水汽来填满如此大的空间，我们不难从地球空气的稀薄来得以理解。因为在地球表面的空气所具有的空间是相同重量的水的体积的850倍，所以一个高850英尺的空气柱体，和一个有相同幅宽而只有1英尺高的水的重量是相同的。而高度达到大气层顶端的空气柱体的重量，与一个高33英尺的水柱体的重量是相等的。所以，如果把这整个空气柱的较低部分的850英尺的空气全部拿走，则剩下的较高部分就会等于高32英尺的水柱体的重量。由此（由很多试验验证的假设得知，空气压力正比于周围包裹大气的重量，以及引力反比于到地球中心的距离的平方）从第2编命题22的推论引出一个计算，我得出从地球表面算起，在地球半径的高度的地方，空气要比地球表面的稀薄，这两个地方的稀薄比例要远远大于土星轨道以内的空间与直径一英寸的球体的体积之比。因为如果第七表面大气层的厚度只有一英寸，且其空气稀薄程度和在地球半径的高度上的空气稀薄程度相同，但它也能填满行星们到土星轨道的所有空间，甚至更远。由于越靠近大气层外层空气越稀薄，所以从彗星中心算起，彗发或是包裹彗星的大气层就会普遍比彗核表面的大气稀薄10倍，而彗尾离彗星中心更远，所以彗尾的大气还要稀薄；虽然，由于彗星表面的大气层密度较大，又受到太阳的强烈吸引力，而且它们的大气和烟尘的粒子又相互吸引，所以可能在天空中和彗尾中的大气不是那么稀薄，但是从这一计算来看，很小量的大气和烟尘就足够产生彗尾的所有状态；因为事实上由周围星星透过它们的闪耀就可以知道它们有多么稀薄。尽管地球大气层只有几英里的厚度，在太阳光的照射下，还是能遮住所有星星的光亮，甚至月球的光亮；然而同样在太阳光的照射下，哪怕是最小的星星也能透过彗尾厚厚的大气层而被我们看见，并且没有失去任何的亮度。大多数彗尾的亮度，通常都不会大于在一个暗室里太阳光束透过百叶窗的缝隙反射到1到2英寸厚的地球空气上的亮度。

我们也可以作彗尾末端到太阳的连线，并标出直线与彗星轨道的交点，这样可以求出蒸气从彗头升到彗尾末端的近似时间。因为现在位于彗尾末端的蒸气，如果它从太阳方向以直线上升，就必须要当彗头位于其交会点处蒸气就上升。但事实上，蒸气并没有从太阳方向以直线上升，而是保持了其在没有脱离彗星之前的运动，倾斜上升。所以，如果我们做与轨道相交的直线，平行于彗尾长度方向的直线，或是（由于彗星的曲线运动）该直线稍微有一点偏离彗尾长度方向直线，就可以更精确地求出这个问题的解。用这种方法我求出在1月25日位于彗尾末端的蒸气，在12月11日之前就要开始从彗头升起，所以它总共上升了45天时间。但是在12月10日出现的整个彗尾，在其到达近日点后的两天里就停止上升了。所以在开始上升时和在靠近太阳时会以最大速度上升，之后又会受引力阻碍继续以匀速上升。它上升得越高，就使彗尾长度又增加一点，我们持续看到的彗尾几乎全都是自彗星经过近日点以来所上升的蒸气，而且我们所看到的部分也不是最早上升的。因为位于彗尾末端的部分到离太阳距离太远时，由于从太阳反射到它们身上的太阳光不能再到达我们眼睛，使其看起来就像是消失了。因此其他那些较短的彗尾不是快速从彗头升起以后又迅速消失，而是形成一个持久的蒸气柱，里面的蒸气是经过很多天缓慢地从彗头升起，并保持了它们在以开始就有的彗头的运动，与彗头一同继续划过天际。由此我们又得出了一个论据来证明宇宙是真空的，没有任何阻力，因为在宇宙中不仅像行星和彗星之类的固体，而且像彗尾这种极稀薄的气团，都能以极大自由维持其高速运动，并持续很长一段时间。

开普勒把彗尾归因于彗头的大气，而把彗尾背向太阳归因于彗尾物质中所带的光线的作用。如果我们假设在如此巨大的空间里，像以太这种如此细微的物质会受到太阳光的作用也不是不合理的，尽管由于受到明显的阻力影响，在地球上这些阳光不能对物质有明显作用。还有一些学者认为可能有某种物质粒子具有轻浮性，就像其他物质具有引力一样，而可能彗尾的物质就属于前一种，所以其从太阳方向升起就是由于这种轻浮性。但是考虑到地球物质的引力正比于物体质量，所以相同物质量的物质重量也会一样，我倾向于相信这种上升是由于彗尾物质的稀薄造成的。烟囱中升起烟尘是受到其中空气的推动力。由于热气上升，空气的比重减小了，空气也就稀薄了，而在空气上升的同时它也把掺杂其中的烟尘一并带走。那为什么彗尾就不能同样地从太阳方向升起呢？因为太阳光并不会普遍作用在介质上，除非是通过折射和反射，然后那些反射阳光的粒子又会被这种作用加热，进而加热了其中的以太物质。而该物质在达到一定热度后就会变稀薄，又因为这种稀薄化，其以前落向太阳的比重就会减小，反而会上升，并且一并带上构成彗尾的反射光线的粒子。但上升的水汽会进一步由于它们绕太阳的旋转运动而带动上升，这就造成了它们更远离太阳，而太阳的大气层和天空中的其他物质都静止，或者是由太阳的转动所带动做的极慢的旋转运动。这些就是彗尾在太阳附近上升的原因。在那儿它们的轨道曲线的曲率增加，所以彗星本身就会挤进密度较大，因而重量较重的太阳大气层，因此它们就放射出长长的彗尾。因为它们上升的彗尾继续保持了它们本来适当的运动，与此同时又被吸引向太阳，所以必须像彗头一样在椭圆轨道上绕太阳运动，而该运动就使得彗尾必须永远跟随彗头，且以自由的方式跟在后面。因为太阳使彗尾脱离彗头，并升向太阳的引力并不会大于它吸引彗头脱离彗尾的力。所以它们必须是在共同引力的作用下一起落向太阳，或是在一起上升运动中受到阻滞。所以（不管是从已经阐述过的原因还是从其他什么原因），彗头和彗尾都能简单地被观测到，它们相互之间也能自由保持任意位置，而不被公共引力所干扰或阻滞。

所以，由彗星近日点升起的彗尾会随着其彗头运动到遥远的地方，并同彗头一起，在经过了长年的环绕之后再回来，或者就会变稀薄，逐渐消失掉。因为在这之后，在彗头又一次落向太阳时，新的短彗尾就会从彗头以极慢的运动放射出。而这些新的彗尾会逐渐增大，有些彗星的彗尾会增加更多，在它们近日点时离太阳大气层很近的那些彗星尤其如此。因为在自由空间里，所有水汽都会永远处在稀薄化和膨胀的状态中，因此所有的彗尾在它们的最顶端处都要宽于接近彗头处。它们会永久地处在这种稀薄化和膨胀的状态中，最后消散掉，分布在宇宙中，然后受行星的引力吸引落入行星的大气层，而成为大气层的一部分，这都不是不可能的。就像海洋对构建我们地球是必需的一样，太阳的热度使得海洋蒸发大量水汽，这些水汽聚集在一起形成云，然后又以雨的形式滋润泥土，使得作物得以生长；或是在山顶上遇冷凝结（正如一些哲学家有根据的设想），以泉水和河水的形式流下。彗星对海洋和行星上流体的保持也是必不可少的，通过彗星物质的蒸发和水汽凝结，行星上的流体因为作物生长和腐烂转而变成干泥土所损失的部分，会不断得以补充和生成。因为所有作物的生长都依赖流体，而之后，又在很大程度上由于腐烂而变成干土；通常在腐败的流体底部总能找到稀泥那之类的。因此地球固体部分的体积才会不断增大，而流体如果没有得到补充，就会不断减少，最后就消失了。此外，我还认为这种主要来自彗星的精气，正是我们空气中最小最细最有用的部分，也是维持地球上所有生命所必需的。

如果赫维留星图对它们形状的描述没错的话，彗星在落向太阳时，其大气蒸发成彗尾，消耗使得其越来越少，也就越来越窄，至少在对着太阳的这一面是如此；而在它们远离太阳时，它们会较少蒸发成彗尾，所以它们又一次增大了。但是它们在受到最强太阳光加热之后，由于会放射出最长最亮的彗尾，它们看起来是最小的。与此同时，包围彗核的大气层的最底部可能也是较厚较暗的，因为通常最强的热度产生的烟都是又厚又黑的。因此我们描述过的彗头，在到太阳和地球距离相等的地方，在其经过近日点时会比以前呈现出更暗的烟。因为在12月时它的亮度达到了第三星等，但是在11月它的亮度就达到第一、二星等，以至那些都看过这两种状态的人，会认为后者是另一个更亮的彗星。因为在11月19日，在剑桥的一个年轻人看到该彗星尽管发出暗淡的光，但其亮度还是等于室女座角宿一的亮度；在那时它的亮度比其以后的都要大。而在旧历11月20日，蒙特纳里观测到其比第一星等的还要大，其彗尾有2°长。斯多尔先生（在给我的信中）写道，在12月，当彗尾最大最亮时，其彗头远小于在11月日出之前看到的大小。而这一现象的原因，他推测是由于最初彗头有较大物质量，而之后逐渐消耗掉了。

同理，我发现其他彗星的头部，在放射出最大最亮的彗尾时，自己本身就看起来又暗又小。因为在公元1668年3月5日下午7∶00时，瓦伦丁·艾斯坦瑟尔在巴西发现彗星位于地平线上，朝向西南方，它的彗头太小了几乎不能看清楚，但是它的彗尾的亮度反射到海面上的倒影，可以让那些站在海岸上的人清楚地看到，它就像一个从西向东长23°的火束，该长度线几乎平行于地平线。但是这种超亮的光只持续了三天，之后亮度就迅速减少了。当亮度减少时，彗尾的体积却在增大。当它在葡萄牙时人们看到它占了的天空，即45°东西向，有着耀眼的光亮，还没有算在这些地方没看到的彗尾部分，因为彗头通常都隐藏在地平线之下。从彗尾体积的增大和亮度的减小，就表明了那时彗头是远离太阳的，而且很接近于近日点，正如1680年的彗星。我们在《撒克逊编年史》中可以读到，在1106年曾经出现过类似的彗星，该星又小又暗（就像1680年的），但其彗尾的光亮很明亮，就像一个自东向北延伸的巨大火束，赫维留也是在达勒姆的修道士西米昂那里得到的观测记录。该彗星出现在二月初的一个晚上，朝向天空中的西南方。由此，从它彗尾的位置我们就可以推断出其彗头在太阳附近。马太·帕里斯说道：“它在3∶00～9∶00之间，距离太阳约一腕尺，放射出一条长长的尾巴。”也就是亚里士多德在《气象学》中第6章第1节所描述过的那个彗星：“看不见它的头部，因为它在太阳前面，或至少是隐藏在太阳光下，但是第二天就有可能看到它了。事实也正如此，因为它稍微远离了太阳一点，然后又迅速落到太阳后面。而其头部散发的光芒被（尾部的）超强的光亮遮住了，我们无法看见。但这之后，（正如亚里士多德说的）当（彗尾的）光亮减退之后，（头部的）彗星恢复了其本来的亮度，而（彗尾的）亮度延伸到了天空的部分（即60˚）。这是在冬季里的状态，当上升到猎户座的腰带位置时，它就消失不见了。”1618年的彗星也是如此，它直接就从太阳光里显露出来，有着长长的彗尾，它的亮度如果没有超过第一星等，就是等于它。但是此后又出现了很多比它还亮的星，带着较短的彗尾，其中有一些说是和木星一样大，另一些就和金星一样大，或者甚至是月球。

我已经证明过了彗星是一种沿偏心率大的轨道绕太阳旋转的行星；正如那些没有尾巴的行星一样，通常较小的行星沿较小的轨道运动，且更接近于太阳，很可能彗星也是，在其近日点通常越接近太阳的彗星其亮度越小，它们的吸引力不会对太阳造成什么影响。但就像它们轨道的横向直径一样，我遗留了对它们环绕的周期时间的求解，等它们在经过漫长的环绕后沿相同的轨道回来之后，再把它们一起比较求出。与此同时，下一命题会对这个问题有帮助。

命题44　问题22

校正上面所求出的彗星轨道。

方法1　设轨道平面的位置是根据前一命题所得出的。根据非常精确的观测，选取彗星的三个位置，且它们相互之间的距离都很大。然后设A表示第一次观测和第二次观测之间的时间，而B是第二次和第三次之间的。但是如果在其中一段时间里，彗星是位于其近日点或是在近日点附近，则运算都会更方便。从那些视在位置，用三角法求出三个设在轨道平面上的点的真实的位置；然后从这些找到的位置，以太阳中心为焦点，根据第1编命题21，用算术法作一圆锥曲线。令从太阳伸向该位置的半径所掠过的曲线面积为D和E，即D为第一次和第二次观测之间的面积，而E为第二次和第三次之间的；令T表示以第1编命题16求出的彗星的速度，掠过D＋E的总面积所用的总时间。

方法2　维持轨道平面相对于黄道平面之间的夹角，令轨道平面的交会点的经度增加20或30分，新的夹角叫做P。然后从前面说的观测到的彗星的这三个位置，求出在这个新平面里彗星的三个实际位置（方法如上）；也求出通过这三个位置的轨道，两次观测之间由相同的半径分别掠过的面积令为d和e；又令t为掠过d＋e的总面积所需的总时间。

方法3　维持在方法1中交会点的经度不变，令轨道平面与黄道平面之间的夹角增加20或30分，新的夹角叫做Q。然后从前面所说的三个观测到的彗星视在位置，求出在新的平面里的三个实际位置，以及通过它们的轨道，令两次观测之间由相同的半径分别掠过的面积为δ、ε；令τ为掠过δ＋ε的总面积所需的总时间。

然后取C比1等于A比B，G比1等于D比E，g比1等于d比e，γ比1等于δ比ε，令S为第一和第三次观测之间的实际时间。完全遵守符号＋和-，求出m和n，使得2G-2C＝mG-mg＋nG-nγ，以及2T-2S＝mT-mt＋nT-nγ。如果在方法1中，I表示轨道平面与黄道平面的交角，K表示任意一个交会点的经度，那么I＋nQ就会为轨道平面与黄道平面的实际交角，而K＋mP就是交会点的实际经度。最后，如果在第一、二、三个方法中，量R、γ和ρ分别表示轨道的通径，量、、表示轨道的横向直径，则R＋mγ-mR＋np-nR就会为实际通径，而即为彗星掠过的轨道的横向直径，而后从求得的横向直径也能求出彗星的周期时间。

完毕。

但是彗星的环绕周期时间和它们轨道的横向直径，不能被准确地求出，只是把它们出现的不同时间放在一起作比较。如果，在几个相等时间间隔里，发现有几个彗星沿着相同的轨道运行，我们就可以得出它们全都是同一个彗星绕着相同轨道运行的结论；然后从它们的环绕时间可以求出它们轨道的横向直径，并且从这些直径也可以求出椭圆轨道本身。

因此，很多彗星的轨道必须要计算出来。设那些轨道是呈抛物线，因为这种轨道总是几乎与现象相吻合，不仅是1680年彗星的轨道（我通过比较发现与观测相符），而且赫维留在1664和1665年观测到的那颗著名彗星，他本人又计算出其经度和纬度，这都是相吻合的，只是精确度有点低。但是对同一个观测结果，哈雷博士又计算了一次它的位置，而从新得出的位置来求出其轨道，他发现其上升交会点位于21˚13′55″；轨道与黄道平面的交角为21˚18′40″，其近日点到交点的距离，在彗星轨道上的为49˚27′30″，其近日点在8˚40′30″，日心南纬为16˚01′45″。该彗星在伦敦旧历11月24日晚上11∶52，或是在但泽13∶08观测到位于其近日点。如果设太阳到地球的平均距离包含有100000个部分，则该抛物线的通径就包含有410286个这样的部分。而究竟计算出的彗星轨道与观测结果有多接近，见附表（哈雷博士所计算的）。

在1665年初2月时，白羊座的第一星，我以下称之为γ，位于28˚30′15″，北纬7˚8′58″；白羊座第二星位于29˚17′18″，北纬8˚28′16″；而另一颗我称之为A的第七星等的星位于28˚24′45″，北纬8˚28′33″。旧历2月7日7∶30在巴黎（即在但泽的2月7日8:37）观测到彗星与γ星和A星连成一个三角形，其中在γ星处是直角；彗星到γ的距离等于γ到A的距离，即等于大圆的1˚19′46″；所以它在平行于γ星的纬度上位于1˚20′26″。所以如果从γ星的经度中减去经度1˚20′26″，就剩下的就是彗星的经度27˚9′49″。M．奥佐观测到彗星几乎位于27˚0′；从胡克先生描绘的它的运动的图解中，我们可以看到它那时位于26˚59′24″。我取了这两个极大值和极小值的平均值，于是为27˚4′46″。

从同一个观测中，奥佐发现在那时彗星位于北纬7˚4′或7˚5′；但是如果他设彗星与γ星的纬度差等于γ星和A星的纬度差，即7˚3′29″，那么他会得到更精确的数据。

2月22日7:30在伦敦，即2月22日8∶46在但泽，根据胡克博士的观测所绘制的星图，也根据M．奥佐的观测，M．派蒂特也作了类似星图，表明彗星到A星的距离是A星到白羊座第一星之间距离的，或15′57″；而彗星到A星和白羊座第一星之间的连线的距离，等于那个距离的，即4′；所以彗星位于28˚29′46″，北纬8˚12′36″。

3月1日7点在伦敦，即3月1日8∶16在但泽，观测到彗星位于白羊座第二星附近，而它们之间的距离比白羊座第一和第二星之间的距离（即1˚33′），等于4比45（根据胡克博士的观测），或等于2比23（根据M．哥第希尼）。所以根据胡克博士彗星到白羊座第二星的距离为8′16″，或是根据M．哥第希尼的观测为8′5″；或是取平均值8′10″。但是，根据M．哥第希尼的观测，彗星越过白羊座第二星约一天行程的或的距离，即约为1′35″（这与M．奥佐的完全吻合）；或是根据胡克博士的观测没有这么多，只有1′。所以如果我们在白羊座第一星的经度中增加1′，以及在纬度上增加8′10″，然后我们就可以得到彗星位于29˚18′，北纬8˚36′26″。

附表：

3月7日7∶30在巴黎（即3月7日8:37在但泽），根据M．奥佐观测，彗星到白羊座第二星的距离等于该星到A星的距离，即52′29″；而彗星和白羊座第二星之间的经度差为45′或46′，或是取它们的平均值45′30″；所以彗星位于0˚2′48″。根据M．奥佐的观测，由M．派蒂特绘制的星图，赫维留测出彗星纬度为8˚54′。但是M．派蒂特并没有完全正确描绘出彗星运动轨迹末端的曲线；而赫维留根据M．奥佐自己绘制的星图，校正了这一不规则性后得出纬度为8˚55′30″。又经过进一步的校正得出纬度为8˚56′或8˚57′。

该彗星也曾在3月9日出现过，在那时它的位置近似为0˚18′，北纬。

该彗星一共出现了三个月，在这段时间里，彗星一共经过了几乎六个星座，因此在一天里就会掠过20˚。其轨道极其偏离大圆，朝北突出，而它在运动末期时从逆行变为顺行；尽管它的轨迹如此不平常，但是由上表所示，从头到尾彗星的理论与观测结果的吻合度，并不低于行星理论与它们的观测结果的吻合度；但是应在当彗星运动最快时减去约2′，从上升交会点和近日点之间的交角中减去12′，或是使该角为49˚27′18″。这些彗星（这个和前一个）的年视差很明显，而这一视差也证明了地球在地球轨道上的年运动。

彗星理论同样也可以由1683年的彗星的运动得到证明，它在轨道平面与黄道平面成直角的轨道上是呈逆行的，而且其上升交会点（由哈雷博士的计算）位于23˚23′；其轨道平面与黄道平面的交角为83˚11′，其近日点位于25˚29′30″；如果地球轨道的半径平均分成100000个部分，则其近日点到太阳的距离就包含有56020个这样的部分；而其位于近日点的时间为7月2日3∶50。哈雷博士计算得出的彗星在轨道上的位置，与弗莱姆斯蒂得先生所作的同样的观测的比较，见下表。

该理论还可以进一步由1682年的彗星的逆行运动得到证明。其上升交会点（由哈雷博士的计算）为21˚16′30″，其轨道平面向黄道平面的倾角为17˚56′00″，其近日点位于2˚52′50″。如果地球轨道半径平分成100000个相等部分，则其近日点到太阳的距离包含有58328个部分；彗星到达其近日点的时间为9月4日7∶39。而从弗来姆斯蒂德所收集的对其位置的观测数据，与我们通过理论计算得出的数据的比较，见下表。

该理论还可以继续由1723年出现的彗星的逆行运动得到证明。其上升交会点（根据牛津天文学萨维里讲座教授布拉德雷先生的计算）位于14˚16′。轨道平面与黄道平面的倾角为49˚59′。其近日点位于12˚15′20′′。如果地球轨道半径平均分成1000000个相等部分，则其近日点到太阳的距离包含有998651个部分；其到达近日点的时间为9月16日16∶10。布拉德雷先生计算的彗星在轨道上的位置，与他本人，他的叔父庞德先生，以及哈雷博士的观测位置并列于下表中。

这些例子充分证明了彗星的理论与观测结果的吻合度，并不低于行星理论与它们的观测结果的吻合度；所以通过该理论，我们可以计算出彗星轨道，并求出彗星在任何轨道上环绕的周期时间；因此，最后我们就能得到它们椭圆轨道的横向直径和远日点的距离。

在1607年出现的逆行彗星掠过的轨道的上升交会点（根据哈雷博士的计算）位于20˚21′，轨道平面与黄道平面的交角为17˚2′，其近日点位于2˚16′。如果地球轨道半径平均分成100000个相等部分，则其近日点到太阳的距离包含有58680个这样的部分。该彗星在10月16日3∶50时位于近日点，其轨道与1682年的彗星的轨道几乎完全吻合。如果它们不是两颗不同的彗星，而是同一彗星，那么彗星就要在75年时间里完成一次环绕，而其轨道的长轴比地球轨道的长轴就会为比1，或是近似等于1778比100。而彗星远日点到太阳的距离比地球到太阳的平均距离就会为35比1，根据这些数据可以很简单地求出该彗星的椭圆轨道。但是这些是在设彗星在75年时间里，又会沿同一个轨道回到原处的前提下得出的。而其他彗星似乎上升到更远的高度，也就需要更长的时间来完成环绕。

但是，由于彗星数量的众多，它们远日点到太阳的巨大距离，以及它们在远日点的极慢的运动，所以它们会受相互间吸引力的影响而互相干扰；受此影响，它们的偏心率和环绕时间就会有时增大，有时减小。所以我们不能指望同一个彗星在同样的周期时间里能回到相同的轨道：如果我们找到的变化不会大于所说的这些原因，那就足够了。

因此，为什么彗星不像其他行星一样分布在黄道带之内，而是不受限制地以各种运动散布在宇宙中就有了解释。那就是说，在它们位于远日点时运动极慢，相互间极大地远离彼此，这样它们受到相互间的吸引力的影响就会小很多，所以那些落到最低点的彗星，在它们远日点运动得最慢，也应上升到最高点。

出现在1680年的彗星，其近日点到太阳的距离要小于太阳直径的。由于它在接近太阳时会产生的最大速度，以及由于太阳大气的密集，它必定受到一些阻滞，所以在每次环绕中都受吸引而更接近于太阳，最终就会落在太阳球体上。而且当它位于远日点时，运动得最慢，它有时会受其他彗星的吸引而受到阻力，运动更慢，这就造成了它落向太阳的速度更慢。因此那些长时间以来放射出光和水汽，而逐渐受到消耗的恒星，就可以从落在它们身上的彗星处获得补充；那些老的恒星在受到这些新鲜燃料的补给后，呈现出新的亮度，并以新的身份出现。这种恒星往往都是突然出现，起初其亮度很大，之后就逐渐地减少了。曾经在仙女座出现的那颗星也就是这样的；在1572年11月8日，尽管考尔耐里斯·杰马也在那一晚观测天空中的那一部分，并且那晚的天空极其晴朗，但他还是没有看到这颗星。而在第二晚（11月9日）他看到它的亮度超过了任何恒星的亮度，也不逊于金星的亮度。第谷·布拉赫在11月11日，当它最亮时看到了它，而后他又观测到它的亮度逐渐减弱。然后在16个月的时间里它就完全消失了。在11月当它第一次出现时，它的亮度可以达到金星的亮度；在12月时其亮度有一点减弱，与木星相等。在1573年1月它的亮度要小于木星而大于天狼星，而大约在2月底3月初的时候亮度就与天狼星相等了。到了4、5月时，它就等于第二星等的亮度；在6、7、8月就为第三星等；9、10、11月时就是第四星等；而到了12月和1574年1月时就为第五星等；2月就为第六星等；最后在3月里就完全消失了。其最初是色泽亮丽，偏向白色；之后它就变得偏黄；到了1574年3月它就开始发红，就像火星或毕宿五那样；在5月它就变成灰白，就像我们看到的土星那样；它以后一直保持了那种颜色，只是变得越来越暗。巨蛇座右足的那颗星也是如此，最初是在旧历1604年9月30日由开普勒的学生观测到它的，尽管在前一晚还不能看见它，但是在那晚它的亮度就超过了木星亮度。从那时起它就一天比一天暗，到15到16个月里它就完全消失了。据说正是这种带着不同寻常亮度的新星，促使了希巴克斯去观测它们，并且制作了恒星的星表。至于那些交替出现又消失，并且其亮度逐渐缓慢增加，很难超过第三星等的恒星，似乎是另一种。它们绕自己的轴转动，交替出现亮的一面和暗的一面。太阳、恒星和彗尾产生的水汽，最终会聚在一起，受行星的吸引而落向它们的大气层，在那儿凝结成水和湿气，再由缓慢的受热而逐渐形成盐、硫黄、金属、泥浆、黏土、沙子、石头、珊瑚和其他地球上的物质。