第8章
通过流体传播的运动

命题41　定理32

只有当流体中各粒子沿直线排列时，其内传播的阻力才会沿直线方向。（如图8-1）

已知粒子a、b、c、d、e位于同一直线上，而压力确实可以从a到e直线传播。但此后粒子e斜向作用于倾斜放置的粒子f、g，且只有f和g受到位于其后的粒子h、k的支撑作用时，它们才能承受此压力，而同样地支撑f、g的粒子也受到它们的压迫，所以h、k也只有在受到更远粒子l和m的支撑作用后，才能承受此压力。依此类推到无限远的粒子。因此若压力不沿直线传播，则传播方向立即会偏离到两侧，然后斜向传播到无限远。而当力开始斜向传播后，若在较远处又遇到不按直线排列的粒子，那么传播方向将会又一次向两侧偏离。所以在传播过程中，若遇到的粒子不是精确地沿直线排列，其传播方向就会偏离。

证明完毕。

推论　如果压力的任意部分自一定点在流体中传播时，被任意障碍物阻碍，而余下未被阻碍的部分则会绕过障碍物进入其后的空间。此推论可以运用下列方法证明。（如图8-2）假设压力自点A朝任意方向沿直线传播。而在障碍物NBCK上开一个小孔BC。在压力传播过程中，只有圆锥区域APQ内的压力通过小孔BC，余下部分压力都被阻碍。圆锥形APQ被横切面de、fg、hi分为若干个平截头。于是当传播压力的平截头圆锥体通过表面de推动平截体degf时，degf也会通过表面fg推动后一平截体fgih，而这一平截体fgih则会推动第三个平截体，以此类推至无限。根据第三定律，上述结论可证明：当第一个平截体defg压迫并推动表面fg时，由于第二个平截体fghi的反作用力，故fg面受到的压迫和推动作用是相等的。因此平截体defg的两侧都会受到压迫力，即是圆锥体Ade和平截头fhig都会对它施加作用力。由命题19情形6可推知，只有当degf各边受到的压迫力相等时，其形状才会保持不变。所以，它向df、eg两侧扩展的力等于它在力de、fg面上所受到的压力。若周围的流体不阻碍这种扩展，那么这两边（它们没有丝毫黏性或硬度，而是具有完全流体性）将会向外膨胀。因此当这两侧df、eg向外扩展时，它们会压迫周围的流体，且压力就等于压迫平截体fghi的力。所以压力从边df、eg从两侧传播入空间NO、KL，其大小等于从表面fg传递给PQ的力。

命题42　定理33

通过流体传播的所有运动沿直线方向扩散进入静止空间。（如图8-3）

情形1　假设运动自点A开始传播通过小孔BC（如图8-3）。若有可能，使运动在圆锥平面BCQP中自点A沿直线路径扩散。首先假设此处的运动是静止水面上的水波，而de、fg、hi、kl等是各水波的顶点，相互间的波谷或凹处相等。由于波脊的水比流体的静止部分KL、NO高，故水会从波脊的顶点e、g、i、l等以及d、f、h、k等从两侧流向KL、NO。因为波谷的水又低于流体的静止部分KL、NO，故水又会从静止部分流向波谷。在第一种情况中，水脊将向两侧扩张，且向KL、NO传播。由于从A到PQ的水波运动是从波脊流向临近波谷的连续水流运动，故速度不会比下落运动的速度快，且两侧向KL和NO的水的下落速度是相等的。水波向KL和NO两侧的传播速度等于直接从A传播到PQ的速度。所以朝向KL、NO的两侧空间将充满膨胀水波rfgr、shis、tklt、vmnv等等。

证明完毕。

上述结论皆可由静止水中的实验证明。

情形2　假设de、fg、hi、kl、mn代表从点A连续在弹性介质中传播的脉冲。而且脉冲通过介质的压缩与舒张相继发生而传播，这使得每个脉冲中密度最大的部分形成一个以A为球心的球面，且连续脉冲间，球面间距相等。直线de、fg、hi、ki等表示脉冲中通过小孔BC传播的最大密度部分。由于介质密度大于朝向KL和NO两侧空间的密度，故介质自身膨胀的同时，也会朝向空间KL、NO膨胀，就如同朝向脉冲间的稀薄间距膨胀一样。因此在脉冲附近的介质总是比间隔附近的介质密集，这样介质就参与进了运动。而由于脉冲运动是产生于介质中密集部分朝向附近的稀薄间距的舒张运动，且脉冲从两侧向介质中静止部分KL、NO舒张的速度几乎相等。因此脉冲自身向各个方向膨胀进入静止部分KL、NO，速度约等于直接从中心A传播的速度，故脉冲会充满整个空间KLON。

证明完毕。

同样，通过实验也可证明，隔着山峰也能听到声音的现象。如果声音通过窗户传入房间，然后扩散充满整间屋子，这样在每个角落都可以听到声音。但通过我们的感官可以判定，这并不是因为对面墙的反射作用，而是直接从窗户传播进来的。

情形3　最后假设任意运动从A传播通过小孔BC。由于产生这种传播运动的原因是临近中心A的部分干扰并推动较远部分，且被推动的部分是流体，故运动会从各个方向扩散到受压力较小的空间，那么运动最终都会向静止流体的各部分扩散，在空间两侧KL、NO方向上的运动和光前指向直线PQ方向上的运动相同。这样一旦随运动穿过小孔BC后，它们会如同源头和中心一样自身膨胀，然后直接向各个方向传播。

证明完毕。

命题43　定理34

当物体颤动时，若它位于弹性介质中，则会沿直线向各个方向传播脉冲，而若位于非弹性介质中，则激发圆周运动。

情形1　颤动物体的各部分交替做往返运动。向前运动时，它会推动且驱使最临近它前面的介质部分，通过这种脉冲使上述部分压缩，密集；而它向后运动时，上述压缩部分会舒张，自我扩展。因此最靠近颤动物体的各部分介质会做交替的往返运动，运动的方式与颤动物体各部分的运动相似。同理，由于物体各部分推动介质的各部分，介质中受到类似颤动推动的这些部分将转而推动与之相邻的其他部分，而受到类似推动的这些部分又转而推动更远的部分，依此类推至无限。介质的第一部分向前时紧缩，向后时扩张，而其他部分的运动方式也与之相同，即向前时压缩，向后时膨胀。因此若介质中各部分同时向前或向后运动，那么介质各部分之间的距离会保持不变，这样介质将不会交替地发生凝结和稀释，故它们不会同时向前或向后运动。但是由于在压缩介质处，各部分相互靠近，而介质稀薄处，各部分远离，因此介质中一部分会向前运动，另一部分则在此时向后运动，因为这种向前的运动会冲击前进道路上的障碍物，那么这个向前运动就是脉冲。由此推出，颤动物体产生的连续脉冲将沿直线传播，并且由于物体的颤动产生脉冲的间隔时间相等，故脉冲间的距离极其近似相等。虽然颤动物体各部分沿若干固定方向往返运动，但是根据前一命题可知，颤动所激起的介质中的脉冲是向各个方向扩散的，并且这种扩散是以颤动物体为中心，沿围绕此中心的共心，近似球面向所有方向传播。与手指在水面颤动所激起水波的传播相同，此水波不仅随着手指的颤动而前后运动，并且沿围绕手指的共心圆向四周传播，而水的重力在此过程中则充当了弹性力作用。

情形2　如果介质是非弹性的，由于在受到颤动物体产生的压力后，各部分不会随之压缩，故运动会立即向最易弯曲的介质部分传播，即朝向颤动物体留下的空洞传播。此情形与抛体在任意介质中运动的情形相同。因抛体而变形的介质并不会无限向远处移动，而是围绕抛体后部空洞做圆周运动。因此每当颤动物体趋向介质中任意部分时，因此而变形的介质则会围绕物体留下的空洞部分做圆周运动。而每当物体返回原位置时，介质又被驱回了原位置。虽然颤动物体并不是牢固而坚硬的，而是易弯曲的，但是由于物体不能通过颤动推动不易变形的介质，故如果物体保持其大小不变，那么逐渐远离物体受压部分的介质将始终绕弯曲部分做圆运动。

证明完毕。

推论　火焰的推动作用是压力通过周围的介质沿直线传播的看法是错误的。此类压力不会仅仅产生自火焰的推动力，而是来自整体的膨胀作用。

命题44　定理35

如果水在管道或水管的竖直管子KL、MN中交替升降，而摆的悬挂中心到摆动中心间的长度等于管道中水的长度的一半，那么一次升降的时间与摆动时间相等。（如图8-4）

沿着管道以及其竖直管道的轴测量出了水的长度，并使其等于这些轴的和。在此命题中，水与管道壁摩擦产生的阻力忽略不计。因此，设AB、CD分别表示两条管子中水的平均高度，当KL中的水上升到高度EF时，MN中的水正好下降到高度GH。P为摆体，VP是细线，V是悬挂点，RPQS则为摆的运动轨迹，其中P为最低点，弧PQ等于高度AE。两根竖直管道中水的重量差即是促使水的运动交替加减速的力。因此，当水在KL中上升到高度EF时，另一根管子MN中的水正好下降到GH，此时力等于水EABF重量的两倍，故其与水的总重量之比等于AE（或PQ）∶VP（或PR）。而根据命题51推论可知，在摆线任意处Q，使物体P加减速的力与物体总重量之比等于其到最低点P的距离PQ比摆线长度PR。因而，当水和摆的运动距离AE、PQ相等时，此时的驱动力与运动物体的重量成正比。由此推出，如果水和摆开始时保持静止，那么这些力会使它们的运动等时，共同往返。

证明完毕。

推论1　无论水的往复升降运动是强烈还是微弱，其进行的时间总是相等的。

推论2　若管道中水的总长度为尺（法国单位），那么水上升和下降的时间皆为一秒，并一直做交替的升降运动。这是因为尺长的摆的摆动时间为1秒。

推论3　若水的长度增减，那么水的往复升降运动的时间将会随长度的平方根增减。

命题45　定理36

波速与其波长的平方根成正比。

此命题可以在下一命题的证明过程中得到证明。

命题46　问题10

求波速。（如图8-5）

取出一只摆，取其悬挂中心与摆动中心的距离等于波长，那么在此摆的单次摆动时间内，波前进的距离近似等于其波长。

波长即相邻波谷或波峰的间距。（如图8-5）已知ABCDEF表示静止水面上上下起伏的连续水波，其中A、C、E等表示波峰，而B、D、F等为相邻的波谷。由于水波的运动是通过水面的相继升降实现的，故A、C、E等波峰在下一时刻就变为波谷。又由于使最高部分下落，最低部分上升的作用力等于被抬起水的重量，故此时波的交替升降类似于管道中水的往复运动，其升降时间的规律相同。因此，根据命题44可知，若波峰A、C、E间的距离（或波谷B、D、F的间距）等于任意摆长的两倍，那么波峰A、C、E则在此摆的一次摆动中是最低点，而在下一次摆动时间又会上升到最高点。由此推出，通过一个波的时间，等于摆动两次的时间，即波通过一个波长的时间内，摆将会发生两次全摆动。但是若摆长等于该长度的四倍，即与波长相等，那么这样的摆只摆动一次。

证明完毕。

推论1　若波长等于尺，那么一秒内前进的距离等于一个波长的长度，故一分钟内，通过的距离为尺，一小时内则约等于11000尺。

推论2　不论波长大小，其速度都随波长的平方根增减。

上述结论在如下假设条件下才成立：水的各部分沿直线升降。但是事实上，水的升降更倾向于圆形，故此命题中求出的时间也只是近似值。

命题47　定理37

若脉冲在流体中传播时，使流体中若干粒子做最短距离的往返运动，那么这些粒子将始终按摆动规律加减速。（如图8-6）

假设AB、BC、CD等表示距离相等的连续脉冲，ABC是连续脉冲中从A传播到B的直线方向。E、F、G则是静止介质中三个物理点，位于线段AC上，相互间的距离相等。Ee、Ff、Gg则是相等的极短距离，而颤动时物理点E、F、G则在其间做往返运动。ε、φ、γ是相同点的中间位置，EF、FG为物理短线段，或是这些点间的线形介质部分，它们随后相继移入εφ、φγ，以及ef、fg间。再作垂直于线段Ee的线段PS，其中点是O。（如图8-6）以O为圆心，OP为半径，作圆SIPi。假设该圆的周长，以及与之成正比的部分分别表示一次振动的总时间以及与其成正比的部分。于是若作PS的垂线HL或hl，并取Eε等于PL或者Pl，当任意时间PH或PHSh完成时，物理点E位于ε上。按此规律做往复运动的物理点E，在其从E点经过ε到e前进，在经过ε返回E的过程中，其加减速的程度相同，就像摆体完成一次摆动一样。现在我们来证明此运动会激起介质中若干物理粒子的运动。首先假设介质中存在一种由任意原因激起的此种运动，再来观察此后物体运动的情况。

在圆周PHSh上取几段相等的弧，HI、IK或hi、ik，其与周长之比等于线段EF，FG与总脉冲间隔BC之比。作PS的垂线IM、KN或im、kn。由于点E、F、G受到相继的推动作用而做相似运动，且在脉冲由B移动到C的期间，完成一次往返振动，故若PH或PHSh是从E点开始运动后的时间，那么PI或PHSi则为F点开始运动后的时间，而PK或PHSk是G点开始运动后的时间。所以，当上述点前进时，Eε、Fφ、Gγ分别等于PL、PM、PN，而点返回时，它们则分别等于Pl、Pm、Pn。因此当点前进时，εγ（或EG）＋Gγ-Ee＝EG-LN，而点返回时，εγ＋Gγ-Ee＝EG＋ln。但是εγ是处所εγ的介质宽度或EG部分的膨胀宽度，故该部分前移的膨胀宽度与平均膨胀宽度之比等于EF-LN比EG。而返回时宽度与平均宽度之比为EG＋ln（或EG＋LN）与EG的比值。因此，由于LN∶KH＝IM∶半径OP，且KH∶EG＝周长PHShP∶BC。于是如果周长与脉冲间距BC的圆的半径用V表示，那么KH∶EG＝OP∶V。对应项相乘，得LN∶EG＝IM∶V。F点前移时，EG或物理点F在εγ处的膨胀宽度与F点原位置EG处的平均膨胀宽度之比等于V-IM与V之比；返回时，则等于V＋im与V之比。所以在F点往返运动时，在F点的弹性力与在EG处的平均弹性力之比分别等于以及。同理，力的差与介质平均弹性力的比值等于，化简得，，即（HL-KN）∶V。由于物体的振动范围极小，故若假设HL和KN都无限小于量V，那么由于量V是定值，那么力的差与HL-KN成正比；而由于HL-KN与HK成正比，OM与OI（或OP）成正比，且HK和KN是定值，故又与OM成正比；若Ff的中点是Ω，则力的差与Ωφ成正比。由此类推，在物理线段εγ返回时，物理点ε和γ处弹性力之差与Ωφ成正比。但是因为ε点处的弹性力减去γ点处的弹性力得到的差，正是使这两点间的物理短线段εγ在前移时被加速和在返回时被减速的力，故εγ的加速力与其到振动中间位置Ω的距离成正比。根据第1编命题38，弧PI正好可表示时间，且由于介质的线形部分εγ按上述摆动规律运动，所以构成整个介质的所有线形部分都按此规律运动。

证明完毕。

推论　由此推出，传播的脉冲数等于物体的振动次数，在传播过程中并不会增加。这是由于物理短线段εγ一返回原位置，就会停止变成静止状态，而只有当接收到颤动物体的脉冲或物体传播出的脉冲后，它才会再次运动。因此若颤动物体不再传播出脉冲，短线段就会立即恢复静止，不再运动。

命题48　定理38

假设流体的弹性力与密度成正比，那么脉冲在弹性流体中传播时，速度与弹性力的平方根成正比，与密度的平方根成反比。

情形1　如果介质均匀，介质中的脉冲间距相等，但一个介质中的运动强于另一个介质中的运动，那么两介质中对应部分的伸缩与运动成正比，但此正比关系并不是十分精确的。然而，若伸缩幅度不大，那此误差是可以忽略的，故可认为这个正比关系是物理精确的。于是运动的弹性力与伸缩成正比，而此时产生的相等部分的运动则和此力成正比。因此相对应脉冲的相等对应部分在与其伸缩成正比的距离间将一起做往返运动，速度与这些距离成正比，故在一次往返时间内，脉冲前进的距离与宽度相等，且始终紧接着移入前一脉冲运动前的位置。而由于其距离相等，故两介质中脉冲的速度相等。

情形2　若一介质中脉冲间距或脉冲长度大于另一介质中的脉冲间距或脉冲长度，那么假设在每次往返运动中，两介质中对应部分经过的距离与对应脉冲长度成正比，那么它们的伸缩程度也相等。因此，若介质是均匀的，则使介质部分做往返运动的弹性驱动力也相等。于是受该力推动的物质与脉冲宽度成正比，而每次往返运动中通过的距离也与此脉冲宽度成正比。此外，往返运动的时间与物质和距离的乘积的平方根成正比，故与距离成正比。但是在一次往返运动中，脉冲前进的距离等于其宽度，即该距离与时间成正比，故速度相等。

情形3　如果两介质的密度与弹性力皆相等，那么在其内传播的脉冲速度都相等。若介质的密度和弹性力增大，这导致驱动力随弹性力增大的比例增大，物质的运动也随密度的比例增大，那么产生上述相等运动所需的时间将按宽度的平方根增大，按弹性力的平方根减小。因此脉冲速度与弹性力的平方根成正比，与介质密度的平方根成反比。

证明完毕。

在下列命题的求解过程中，本命题将得到更为清晰的证明。

命题49　问题11

已知介质密度和弹性力，求脉冲速度。（如图8-7）

假设介质如同空气一样，受到其上重量的压迫。用A表示均匀介质的高度，此介质的重量等于上部重量，密度等于脉冲在内传播的压缩介质的密度。一个摆的悬挂中心到摆动中心的距离为A，那么在摆的一次往返全摆动的时间内，脉冲传播的距离恰好等于半径为A的圆的周长。

本命题的图与命题47的作图相同（如图8-7）。如果任意物理线段EF在每次振动间通过的距离为PS，且在每次往返的端点P、S的弹性力等于其重量，那么振动时间等于沿与PS相等的摆线运动的摆的摆动时间，这是因为相等时间内，受相同力推动的小球通过的距离相同。所以，由于摆动时间与摆长的平方根成正比，且摆长等于总摆线弧的一半，故一次振动时间与摆长为A的摆的摆动时间之比等于PS（或PO）与长度A的比值的平方根。此前在命题47的证明过程中曾推出，在两个端点P、S处，推动物理线段EG的弹性力与总弹性力之比等于HL-KN比V，而由于此时K点与P点重合，故上述比值也等于HK比V。物体受到的所有力（即为压迫在线段EG上的上部重量）与短线段重量之比等于上部重量的高度与短线段长度EG的比值。上两式对应项相乘，得短线段EG在P和S点受到的作用力与其重量之比等于HK×A比V×EG，由于2HK∶EG＝PO∶V，故上述比值等于PO×A比VV。所以，由于相同物体受到推动作用后，它通过相等距离的时间与力的平方根成反比，故由弹性力产生的振动的时间与由重量冲击产生的振动时间之比等于VV与PO×A的比值的平方根，而其与摆长为A的摆的摆动时间之比等于VV比PO×A与PO比A的乘积的平方根；化简得V比A。不过在摆往返摆动一次的时间内，脉冲前进的距离等于宽度BC。因此脉冲通过距离BC的时间与摆做一次往返摆动的时间之比等于V比A，即等于BC与半径为A的圆的周长之比。而同样地，脉冲通过距离BC的时间与其通过相当于周长的距离的时间也等于该比值。因此，在上述摆动时间内，脉冲通过的距离等于上述圆周长。

证明完毕。

推论1　重物体以与脉冲相同的加速下落，其下落高度为高度A的一半时达到的速度等于脉冲速度。

假设脉冲以该下落速度前进，由于在此下落时间内，脉冲通过的距离等于高度A，故在一次往返摆动时间内，脉冲通过的距离等于半径为A的圆的周长，而下落时间与摆动时间之比等于圆的半径与周长之比。

推论2　由于高度A与流体弹性力成正比，与密度成反比，所以脉冲速度与弹性力的平方根成正比，与密度的平方根成反比。

命题50　问题12

求脉冲距离。

求出在任意给定的时间里，引起脉冲的振动物体所产生的振动次数。该次数除在相同时间里脉冲通过的距离，得到的结果就是一个脉冲的宽度。

证明完毕。

附注

以上几个命题适用于光和声音的运动；因为光是直线传播的，当然它不能只适用于孤立的作用（由命题41和42）。就声音来说，由于它们是由物体颤动所引起的，它们无非就是空气中传送的空气脉冲（由命题43）；并且这可以通过响亮而低沉的声音引起附近物体震颤来证实；因为快速而短促的颤动不易被激发。众所周知，任何声音落在能产生响亮声音的同音弦上时，可以引起弦本身的振动。这也可以通过声音的速度来证实。因为雨水和水银比重之比约为为1∶，当气压计中的水银高度为30英寸时，空气与水的比重之比约为1∶870，这样空气与水银的比重之比就为1∶11890。所以，当水银高度为30英寸时，均匀空气的重量应足以能够把空气挤压到我们所见到的密度，其高度必须达到356700英寸，或者29725英尺；这就是我在解释前面命题时称之为A的那个高度。一个半径为29725英尺的圆，它的周长为186768英尺。由于一个长英寸的摆锤在完成一次来回摆动的时间在两秒钟内，大家都知道这就可以推导出，一个长29725英尺，或者356700英寸的摆锤完成一次来回摆要用秒钟。因此，在该时间里声音将前行186768英尺，因而在一秒钟里就能前行979英尺。

但是在此计算中，我没有考虑到空气粒子的大小，它们让声音能够即时传播。因为空气与水的比重之比为1∶870，而盐的密度几乎是水的两倍；假设如果空气粒子的密度与水或盐的密度几乎相同，而空气的稀薄情况就由粒子之间的间隔决定；那么一个空气粒子的直径和一个粒子中心到另一个粒子中心的间距之比为1比9或10，而和粒子之间间距之比为1比8或9。因此，根据刚才的计算，声音在一秒钟里传播的距离是979英尺再加上，或约109英尺，以补偿空气粒子大小的作用；这样声音在一秒钟里行进约1088英尺。

此外，空气中飘浮的水蒸气也是另一种情形的根源，如果要真正考虑声音在真实空气中的传播运动，它还是很少被计入其中的。如果这些水蒸气保持静止，则声音在真实空气中要传播得快一些，这正比于物质缺乏的平方根。这样，如果大气中含有十成的真实空气和一成的水蒸气，则在正比于11比10的平方根时，或在近似于21比20时，声音的传播速度比在十一成的真实空气中传播得要快，所以先前求出的声音的运动应加入该比值。这样的话，声音在一秒钟里可以行进1142英尺。

这些情形也可以在春季和秋季看到，那时由于气候温暖，空气相对稀薄，这就使得其弹性较强。而在冬季，气候寒冷使空气凝聚，其弹性就相对减弱，声音的运动在正比于密度的平方根时较慢；反之，在夏季时较快。

实验显示出声音确实在一秒钟内行进1142英尺，或者1070巴黎尺。

我们知道了声音的速度，也就可以知道其脉冲的间隔。M．索维尔在他的实验中发现，一根长约5巴黎尺的开口管子发出的声音，其音调与一根每秒振动100次的提琴弦的音调相同。因此，在一秒钟里声音行进的1070巴黎尺的空间里，有大约100个脉冲；因而一个脉冲就占了大约巴黎尺的空间，那就约为管子长的两倍。就此可以得出，所有在开口管子里发出的声音，其脉冲宽度很可能相当于管子长的两倍。

此外，命题47的推论解释了为什么发音物体一停止运动，声音就迅速消失了，以及为什么我们在离发音物体远的地方听到的声音，并不比在离其近的地方听到的更持久。还有，由先前的原理，我们也能清楚地理解声音在话筒里是怎样得到极大增强的；因为所有往复运动在每次返回时都被发声机制所增强。而在管子内部，声音的扩散受到阻碍，其运动衰减变慢，反射变强；因此在每次返回时都能受到新的运动来推动其增强。这些就是声音的主要现象。