第7章
流体的运动；流体施加于抛体的阻力

命题32　定理26

假设两组数目相等的粒子构成了两个相似的物体系统。在这两个物体系统中，对应的粒子所在处的密度之比为一个定值，并且对应粒子位置相似，单个对应粒子相似，且互成正比。如果当粒子开始分别在所在系统中运动时，在两个互成正比的时间段内，粒子的运动相似。而且除非离子发生反射，否则在同一系统中的粒子互不接触。同样，粒子间既不相互吸引，也不会相互排斥，而是只受到一个加速力的作用，此力与速度的平方成正比，与对应粒子的直径成反比。那么在两个成正比的时间段内，这两个系统中的粒子将继续在各自的系统中运动，并且它们的运动仍然相似。

在此命题中所说的相似的物体处于相似的位置，是指将两个系统中相对应的粒子相比较，当它们各自在两个成正比的时间段内做相似运动时，在这两个时间段段末粒子停留的位置仍然相似。又因为这两个时间段成正比，故在此时间内，两个系统中相对应的粒子经过的轨迹部分相似，且互成正比。因此如果假设现在有两个这样的系统，由于这两个系统中相对应的粒子开始运动时，它们的运动是相似的，故粒子接下来也会维持这种相似的运动，直至遇到另一个粒子。因为如果粒子没有受到任何力的作用，那么根据运动定律1，粒子将做匀速运动。但若相应粒子间确实存在某种力的作用，且此力与速度的平方成正比，与相应粒子的直径成反比；又因为粒子所在的位置相似，并且所受的力成正比，那么相应粒子受到的力都对粒子有推动作用，而且根据运动定律2，粒子受到的所有力复合而成的一个合力方向相似，产生的作用相同（其作用效果就如同此力是由各粒子的中心位置发出的力一样）且这些合力相互间的比值等于复合成这些合力的若干力相互间的比值，即合力与速度的平方成正比，与对应粒子的直径成反比，故这些合力将使对应粒子在继续运动后所划过的轨迹相似。根据第1编命题4、推论1和推论8，如果这些粒子的中心是静止的，那么上述结论成立。但是若中心是移动的，那么由于物体的运动是相似的，且粒子系统中的位置也会保持相似，故粒子的运动轨迹所发生的变化也是相似的。所以处于相应位置的相似粒子在移动过程中，其运动将继续保持相似，直到粒子间第一次相遇，之后粒子间会发生相似的碰撞，然后反弹回来，那么在反弹后粒子又会做上文论述的相似运动，直到它们再一次相撞。粒子会重复这样的运动直至无限。

证明完毕。

推论1　如果任意两个物体与系统的对应粒子相似，且所处位置也相似。当物体在两个成正比的时间段内，以类似的方式在系统中开始运动时，它们相互间的密度之比和体积之比等于相应粒子的密度和体积之比。那么这两个物体在成正比的时间段内，会继续做相似的运动，因为这两个系统中多数情况是相同的，同样系统中粒子的多数情况也是相同的。

推论2　如果两个系统中，所有的相似部分也处于相似位置，且这些部分相互间保持静止，这些部分中最大的两个分处于两个系统的相应位置。当它们分别沿着两条位置相似的直线以任意相似的方式开始运动时，这两个部分的运动将刺激系统中剩余部分的运动，并且在两个互成正比的时间段内，系统中的这两个部分也会在系统的剩余部分中以相似的方式运动，因此其运动的距离和直径都互成正比。

命题33　定理27

条件与上述命题相同，系统中较大部分受到的阻力与此系统部分的密度、速度的平方、直径的平方三者间的乘积成正比。

因为系统中的粒子受到的阻力部分产生于粒子间相互作用的向心力或离心力，而部分则产生自粒子与较大部分间的碰撞以及反弹。上述第一类阻力相互间的比值与产生这一部分阻力的总驱动力成正比，即是与总加速力和对应部分物质的量的乘积成正比。根据假设条件可知，这部分阻力与速度的平方成正比，与相应粒子间的距离成反比，与物质的量成正比；且因为一个系统中粒子间的距离与另一个系统中相应粒子间的距离之比等于前一系统中粒子或部分的直径与另一个系统中相应粒子或部分的直径之比；而且也因为物质的量与系统中该部分的密度成正比，且与该部分的直径的立方成正比，故系统中一部分受到的阻力相互间的比值与该部分速度的平方以及直径的平方成正比，而且也与该部分的密度成正比。

而上文中的后一类阻力则与对应粒子或部分的反弹次数和这些反弹力的乘积成正比，其中反弹次数间的比值与系统中对应部分的速度成正比，与反弹间距成反比。而反弹力则与对应部分的速度、体积以及密度这三者间的乘积成正比，因为体积与直径的立方成正比，故反弹力与对应部分的速度、密度以及直径的立方这三者的乘积成正比。将上述所有的比值综合起来，即得到对应部分受到的阻力间的比值与其速度的平方、直径的平方以及密度这三者间的乘积成正比。

证明完毕。

推论1　如果两个系统如同空气一样是弹性流体，处于其中的各部分间相互保持静止。在流体的相似位置放置两个相似物体，并且这两个物体的体积和密度与其所在的流体部分成正比，将这两个物体朝相似的方向抛出，流体间各粒子相互作用的加速力与物体速度的平方成正比，与其直径成反比。那么当这两个物体在相应流体中运动时，在互成正比的两个时间段内，它们在流体中激起的运动相似，并且两个物体通过的距离相似，分别与其直径成正比。

推论2　在相同的流体中，当抛体快速运动时，其受到的阻力近似地与速度的平方成正比。因为如果相隔较远的粒子相互作用的力与速度的平方成正比（即随速度的平方增大），那么抛体受到的阻力也精确地与该速度的平方成正比。因此如果一个介质中互不接触的部分相互间无任何力的作用，那么物体在此介质中运动时，受到的阻力精确地与其速度的平方成正比。由此假设有三个由相似粒子构成的介质A、B、C，且介质中各部分均匀分布，间距相等。介质A、B中各部分相互作用的力使这些部分相互远离，分别用T和V表示这些力，而介质C中则无任何力的作用。如果四个运动的物体D、E、F、G分别进入这三个介质，其中物体D和E分别在介质A和B中运动，物体F、G则在介质C中运动。如果物体D的速度与物体E的速度之比等于物体F的速度与物体G的速度之比，且此相等的比值等于力T与V的比值的平方根；则物体D受到的阻力与物体E受到的阻力之比也等于物体F受到的阻力与物体G受到的阻力之比，且这两个相等的比值等于其速度平方间的比值。所以物体D受到的阻力与物体F受到的阻力之比等于物体E受到的阻力与物体G受到的阻力之比。假设物体D的速度与物体F的速度相等，物体E的速度也等于物体G的速度，且物体D和F的速度按任意比值增加，而介质B中各部分间的力则按上述相等比值的平方减小，由此介质B将逐渐任意趋近于介质C的形状和条件。于是当速度相等的相同物体F和G分别在这两个介质中运动时，它们受到的阻力将趋于相等，直至最终这两个阻力的差小于任意给定值。因为物体D和F受到的阻力之比等于物体E和G所受阻力之比，故物体D和F受到的阻力也会按相似的方式变化，最终趋于相等。所以当物体D和F的速度非常大时，其受到的阻力极其近似。又因为物体F受到的阻力与速度的平方成正比，故物体D受到的阻力也近似地与速度的平方成正比。

推论3　当物体以极快速度在一弹性流体中运动时，其受到的阻力几乎就如同这个物体的各粒子间无离心力的作用，故各部分不会发生相互远离的情况。但是上述情况中的流体的弹性应由各粒子间的离心力产生，并且物体的速度非常大，使各粒子间没有足够的时间相互作用。

推论4　因为当相似物体在介质中（此介质中各距离较远的部分之间并没有相互的远离运动）以相等速度运动时，其受到的阻力与物体直径的平方成正比，故当物体以相等的极大速度在一个弹性流体中运动时，其受到的阻力近似地与物体直径的平方成正比。

推论5　因为当相似且相等的物体以相同的速度在密度相等的介质中运动时（介质中的这些粒子相互间无远离运动），无论构成介质的粒子的大小及重量是多少，在同一时间内物体撞击的物质是等量的。所以物体对这些物质施加的运动量相等。而根据第三运动定律，反过来物体也会受到这些物质等量的反作用，即是受到的阻力相等。由此可证明，当物体以极大速度在密度相等的弹性流体中运动时，无论此流体是由较大部分或极其微细的部分构成，物体受到的阻力都几乎相等。因为当抛体的速度极大时，其受到的阻力并不会因为构成流体的部分极其微细而明显减小。

推论6　当流体的弹性力产生于粒子间的离心力时，上述结论皆成立。但是如果弹性力是由其他原因产生的，比如说弹性力产生自像羊毛球和树枝那样的膨胀，或是其他任意原因，只要该力阻碍了流体间粒子的相互自由运动，那么由于介质的流体性会因此变小，故此时物体受到的阻力比上述推论中的阻力大。

命题34　定理28

如果一个稀薄介质由相等的粒子构成，粒子在其中自由分布且距离相等。当直径相等的球体和圆柱体速度相等，沿圆柱体的轴在此介质中运动时，球体受到的阻力只有圆柱体受到的阻力的一半。（如图7-1）

根据运动定律推论5，无论物体是在静止介质中运动，还是介质中各粒子以相同速度撞击静止物体，介质对物体的作用都是相同的，故可假设物体是静止的，来观察运动的介质会对该物体施加何种推力。假设以C为球心，CA为半径，作一个球体ABKI。介质中各粒子沿平行于直线AC的方向，以某一已知速度作用于球体，FB则为这些平行直线中的一条。在直线FB上取线段LB，使LB等于半径CB，并以点B为切点作球体的切线BD。再作直线BE、LD分别垂直于直线KC、BD。以球体直径ACI为轴，作一个圆柱体ONGQ。那么当介质中的一个粒子沿直线FB的方向斜向撞击球体时，其撞击点为点B，而同一粒子撞击圆柱体的点则为点b。此粒子撞击球体的力与撞击圆柱体的力之比等于LD∶LB或BE∶BC。而当粒子对球体的作用是沿其入射方向FB或AC推动球体时，此力的效率与相同力沿粒子撞击球体的方向BC推动球体的效率，这二者间的比值等于BE∶BC。综合以上所述的比值，可得，当一个粒子沿直线FB方向倾斜地作用于球体，使其沿粒子的入射方向FB运动时，该力的效率与当相同粒子沿直线FB方向垂直作用于圆柱体，使其同样沿粒子的入射方向运动时，这个力的效率，这二者间的比值等于BE2∶BC2。如图7-1所示，可知bE垂直于圆柱体NAO的圆底面，且与半径AC相等。因此如果在bE上取一点H，使bH等于，那么bH比bE等于粒子作用于球体的效力与其作用于圆柱体的效力之比。故当所有的线段bH组合起来构成一个立方体，且所有的线段bE也组合起来构成一个立方体时，这两个立方体的比值等于所有的粒子作用于球体的效力以及所有粒子作用于圆柱体的效力之比。但是因为前一个立方体是一个抛物面的，其顶点为C，轴为CA，通径为CA，而后一个立方体是抛物面的外接圆柱体，已知抛物圆是其外接圆柱体的一半，故可推出，介质作用于球体的总力等于介质作用于圆柱体的总力的一半。所以如果介质中的粒子处于静止状态，而圆柱体和球体以相等速度在介质中运动时，球体受到的阻力是圆柱体受到的阻力的一半。

证明完毕。

附注

运用与上述相同的方法，也可以比较其他形状的物体受到的阻力，并由此可得到何种形状的物体最适合在阻碍介质中维持其运动。（如图7-2）若以O为中心，OC为半径作一圆底面CEBH，再以OD为高度，作一个平截头圆锥体CBGF。那么当CBGF沿轴OD向点D运动时，与其他任何底面和高度与之相同的平截头圆锥体比较，其受到的阻力最小。取OD的平分点Q，再延长OD，在此直线上取QS等于QC，那么点S则是已求出的平截头圆锥体的顶点。

顺便指出，因为角CSB始终是锐角，（如图7-3）如果固体ADBE是由椭圆形或者卵形绕轴AB旋转形成的，并且三条线段FG、GH、HI分别与形成的图形ADBE相切于点F、B、I，使线段GH与轴相垂直，切点为B，而FG、HI以及GH的夹角角FGB与角BHI都是135˚。当这两个立方体都沿共轴AB由A到B方向运动时，绕同一条轴AB旋转形成的立方体ADFGHIE受到的阻力要小于前一个立方体受到的阻力。而且我认为本命题运用到船只制造中时是非常有意义的。

如果图形DNFG是这样一条曲线：过任意点N作直线NM，垂直于轴AB。又过定点G作直线GR，平行于一条与图形相切的切线。且GR与轴的延长线交于点R。那么MN∶GR＝GR3∶（4BR×GB2），而且当图形DNFG绕轴AB旋转产生的立方体在上述稀薄介质中从A到B运动时，其受到的阻力小于其他任意长度与宽度与之相等的圆形立方体。

命题35　问题7

已知一个稀薄介质由体积相等的极小粒子构成，这些粒子静止地自由分布在距离相等处。若球体在此介质中做匀速运动，求球体受到的阻力。

情形1　已知圆柱体的直径和高度相等，它沿其轴的方向以相等的速度在相同介质中运动。假设落在球体或圆柱体上的介质粒子反弹回来的力尽可能大。根据命题34可知，球体受到的阻力是圆柱体受到的阻力的一半。又因为球体与圆柱体之比等于2∶3，且垂直落在圆柱体上的粒子被圆柱体以最大的力反弹回来，并传递给这些粒子的速度是圆柱体速度的两倍。由此可推出，当圆柱体在此介质中做匀速运动，通过的距离为轴长的一半时，圆柱体传递给粒子的运动与圆柱体的总运动之比等于介质与圆柱体的密度之比。而当球体在此介质中做匀速运动，通过的距离为其直径的长度时，其传递给粒子的运动等于此球体的运动；当球体运动的距离为直径的时，其传递给粒子的运动与球体的总运动之比等于介质与球体的密度之比。因此在球体做匀速运动通过其直径的所用时间内，存在一个力使球体的总运动全部抵消或产生，而球体受到的阻力与此力之比等于介质与球体的密度之比。

情形2　假设介质中粒子与球体或圆柱体碰撞后，并不会反弹回来。当粒子垂直落在圆柱体上时，圆柱体只会将它的速度传递给粒子，故圆柱体受到的阻力只是情形1的一半。同样地，球体受到的阻力也只是情形1中的一半。

情形3　假设介质粒子与球体碰撞后，会反弹回来，但是其反弹力并不是最大值，也不是一点力都没有，而是为某个平均力。在这种情形下，球体受到的阻力是第一种情形中阻力与第二种情形中阻力的比例中项。

证明完毕。

推论1　如果球体和粒子都是无限坚硬的，且两者都完全没有弹性力，故它们间也完全没有反弹力。在此坚硬球体经过其直径的时间内，存在一个力使此球体的运动全部抵消或产生，那么球体受到的阻力与此力之比等于介质与球体的密度之比。

推论2　在推论1的条件下，球体受到的阻力与速度的平方成正比。

推论3　在推论1的条件下，球体受到的阻力与其直径的平方成正比。

推论4　在推论1的条件下，球体受到的阻力与介质密度成正比。

推论5　球体受到的阻力与速度的平方，直径的平方以及介质密度，这三者的乘积成正比。

推论6　因此球体的运动和其受到的阻力可以这样表示。（如图7-4）假设球体因均匀阻力的持续作用而失去全部运动所用的时间用线段AB表示，分别过点A、B作直线AD、BC垂直于AB。而球体的总运动用BC表示，以AD、AB为渐近线，作一条通过点C的双曲线CF。延长AB至任意点E，并过点E作垂线EF，与双曲线CF交于点F。过C、B、E三点作一个平行四边形CBEG，再连接AF，与BC交于点H。如果当球体以其初始运动在无阻力介质中运动时，在任意时间BE内，其均匀划过的距离用平行四边形面积CBEG表示，而在相同条件下，当球体在阻碍介质中运动时，其划过的距离用双曲线面积CBEF表示，那么在任意时间BE末，球体的运动用纵轴EF表示，而在阻碍介质中球体损失的运动为FG。在该时间段末，球体受到的阻力用长度BH表示，而失去的阻力部分则用CH表示。该推论中的所有表示都可运用第2编命题5的推论1和推论3来证明。

推论7　如果球体因受到均匀阻力R的持续作用，而在时间T内损失其全部运动，而当同一球体在阻碍介质中运动时，在时间t内，因介质中阻力R随球体速度的平方减小，故球体失去其总运动M的一部分，余下的部分为，且其通过的距离与当球体在同一时间t内以均匀运动M划过的距离之比等于的对数与2.302585092994的乘积和的比值，因为双曲线面积BCFE与矩形BCGE的比值也等于此比值。

附注

在此命题中，我已展现出了当抛射球体在不连续的介质中运动时，其受到的阻力以及运动减缓的情况。同时也可求出，在球体匀速运动通过自身直径的长度的时间内，存在一个力使球体的总运动全部被抵消或产生，且阻力与此力的比值等于介质与球体的密度之比。但只有当球体和介质粒子都有完全的弹性力，并在相撞时获得最大的反弹力时，上述结论才成立。而当球体和介质粒子都是无限坚硬，且无任何反弹力作用时，上述力就会减弱一半。然而当球体在连续介质中（如水、热油、水银）通过时，它并不与产生阻力的所有流体粒子立即碰撞，而是压迫周围临近的粒子，这些粒子又压迫较远处的粒子，远处的粒子又压迫其他的，以此过程扩散到整个流体中，在这种介质中的阻力减少一半。当球体在这些流体性强的流体中运动时，其受到的阻力与在它以匀速运动通过自身直径的长度的时间内，使球体总运动全部被抵消或产生的力之比等于介质与球体的密度之比。接下来我将证明这一结论。

命题36　问题8

已知水从一柱形容器的底面小洞中流出，求水的运动。（如图7-5）

已知ACDB是一个圆柱形容器，AB是容器上端开口，CD为与水平面平行的容器底面，而EF则是位于底面中心的圆形小孔，G为其中心，GH是圆柱的轴，与水平面相垂直。假设与容器内腔等宽且共轴的冰柱APQB匀速垂直下落，它的各部分一接触平面AB就立即融化，并因受到其本身的重量作用而流入容器。在此过程中，形成水柱ABNFEM，最终恰好完全充满小孔EF，然后就沿此孔流出容器。已知冰柱匀速下落的速度，以及在圆AB内连续水流的速度，这两者都等于下落的水通过距离IH获得的速度，且IH与HG位于同一条直线上。过点I作平行于水平面的线段KL，分别与冰块的两边交于点K、L。已知水从小孔EF流出时的速度等于水从点I下落通过距离IG后达到的速度。因此，通过伽利略的定理可推出，IG与IH之比等于水从小孔流出时的速度与水在圆AB处的速度的比值的平方。换言之，此比值等于圆AB与圆EF的比值的平方。此二圆与在相等时间内，恰好填满并通过相应圆的等量水流的速度成反比。到目前为止，上述谈论的速度都只是水流向地平面的速度，至于那些平行于水平面，使下落的各部分水相互聚拢的速度，因为它并非由重力产生，而且也不影响垂直于水平面，由重力产生的速度，故此部分速度并未考虑在内。在此过程中，的确需要假设水的各部分间存在某种凝聚力，使得下落的水的运动中有些微部分是与水平面平行的，这样就能防止水分散成几部分水流，而是相互靠拢形成一条水柱。但在本命题中，我们并不考虑由此内聚力产生的与水平面平行的运动。

情形1　假设在容器内，下落水流ABNFEM的周围都充满了冰，使水流过时，这些冰所起的作用就如同一个漏斗。如果水流并不与冰接触，而只是与冰非常接近，或者是另一种与之效果相同的情形，即因为冰的平面非常光滑，故虽然水与之相接触，但是水却能在上面自由流动，而不受到任何阻力的作用。那么当水从小孔EF流出时，速度仍然等于之前的速度，且水柱ABNFEM的重量依然是使水从小孔中流出的力，而容器底部则承担了所有该水柱周围的冰的重量。

若现在容器中的冰融化，那么流出的水仍保持不变，其速度也保持不变。而速度之所以不变小，是因为冰融化后也有下落倾向，同时也不变大是因为冰变成了水之后，因为相等的力在流动的水中始终只能产生相同的速度，故其下落速度与其他的水相等，所以不会阻碍其他水的下落。

但是由于流水粒子也有斜向运动，故在容器底部小孔处的水流一定会略大于以前。因为现在并不是所有的水粒子都是垂直通过小孔的，而是从容器边的所有方向流向小孔，并且在其通过小孔时，它的运动是与水平面倾斜的。这些水汇聚而成的水流，在小孔下面的直径要略小于小孔处的直径，且如果我的测量结果是正确的，这两个直径之比等于5∶6，或者是约等于比。首先选取一块极薄的平板，在其正中凿一个直径为英寸的圆孔。为了使下落的水流不加速，而使水流更细，我并没有把平板固定在容器底部，而是固定在容器的旁边，使水流流出的方向与水平面相平行。当容器装满水后，打开小孔让水流出，然后在距小孔大约半英寸的地方，测出水流直径的极精确值是英寸。因此小孔直径与水流直径的比值约等于25∶21。所以水从各个方向汇集然后穿过小孔，而在此之后因为汇聚作用，水的直径会变小，且直径变小后，水流的速度也会相应加快，直至到达距小孔半英尺处。此处水流虽然变小，但其速度却更大，该速度与水流在小孔处的速度之比等于（25×25）∶（21×21），或近似等于17∶12，即约等于∶1。现在通过实验可以确认，当水从容器底部的小孔流出时，在给定时间内，流出的水量等于在相等时间内，以上述速度从另一个圆形小孔流出的水量（此圆形小孔的直径与容器底部小孔的直径之比为21∶25）。因此水流穿过小孔时的下落速度近似等于重物从容器中静止水高度的一半下落时获得的速度。但是，当水从小孔中流出后，因受到内聚力的作用，故水流仍会继续加速，直到其与小孔的距离约等于小孔的直径，且达到的速度与另一个速度之比约为∶1（此另一速度是重物从相当于容器中静止水高度处下落后，所达到的速度的极其近似值）。

接下来用EF较小孔代表水流的直径（如图7-6），并且假设另一平面VW位于小孔EF上方，平行于底面。而其与小孔EF的距离等于小孔的直径，且在平面VW上凿一个更大的小孔ST，使恰好充满小孔EF的水流在穿过ST时也恰好充满它，那么ST的直径与EF的直径之比约等于25∶21。运用这个方法，水流在流经小孔EF时与小孔垂直，而流出的水量则取决于小孔EF的大小，这和本问题的最终求解是非常相似的。平面VW与EF间的空间以及下落的水流可视为容器底。但是为了让求解过程更加简便、更数学化，则最好只取平面EF为容器底面，且假设水通过冰块时，就如同通过漏斗一样，顺着冰块从小孔EF流出容器，此过程中水保持连续运动，而冰则保持静止。因此接下来设ST是以Z为圆心作的圆孔，且当容器中装满水时，水全部从这个孔流出。EF则为另一个小孔的直径，且无论水是从容器中的上表面小孔ST流出，还是通过容器中的冰块就像穿过漏斗一样流出，水在流经小孔EF时恰好充满它。已知上表面的小孔直径ST与下表面小孔直径EF之比为25∶21，且两平面间的垂直距离等于较小洞EF的直径。那么此时水通过小孔ST的速度相当于物体从高度IZ的一半自由下落后获得的速度，而水下落时通过小孔EF的速度则相当于物体从高度IG自由下落获得的速度。

情形2　如果小孔EF不处于容器底面的中心，而是处于此底面上的其他位置，但此洞的大小不变，那么水仍以相等的速度通过此孔。因为虽然重物垂直自由下落的时间比其沿斜线下落时通过同一高度的时间要短，但是正如伽利略所证明的，物体在这两种情况下获得的速度是相等的。

情形3　如果水从容器一侧的小孔流出，那么速度也是相等的。因为若洞很小，而使表面AB与KI的间距可以忽略不计，而沿水平方向自容器侧流出的水流运动轨迹为抛物线。由此抛物线的通径可知，水的流动速度等于物体从静止水面IG或HG的高度处下落获得的速度。而通过实验，我发现如果静止水面距小孔的高度为20英寸，且小孔距一平行于水平面的表面的高度也是20英寸，从此小孔中流出的水在此平面上的落点，其到小孔所在平面的垂直距离约等于37英寸。但若水在下落时没有受到阻力作用，水流在平面上的落点距上述平面的距离应为40英寸，而抛物线的通径则为80英寸。

情形4　如果水流是朝上喷出的，那么其速度仍会保持不变。因为朝上喷出的细水流会一直做垂直运动，直到容器中静止水的高度GH或GI，而水上升的过程中受到的极小空气阻力则忽略不计。因此水朝上喷出的速度等于其从相同高度下落后获得的速度。由第2编命题19可推出，容器中静止水里的每个粒子在各方向都受到的压迫力相等，且无论从容器底的小孔流出还是从容器侧的小孔流出，或是沿上表面的管道向上喷出，水流都会屈服于这些压力，而倾向于受到相等的力而沿某处流出。此结论不但可通过推导得出，还可以通过上述著名的实验证明，水流出的速度等于本命题中推导出的速度。

情形5　无论小孔的形状是圆形、方形、三角形或是其他任意形状，只要其面积与圆孔的面积相等，水流出的速度也相等。因为水流的速度并不取决于小孔的形状，而只取决于平面KL到小孔的距离。

情形6　如果容器ABDC的下部分充满静止的水（如图7-7），且静止水在容器底上的高度为GR，那么容器内水从小孔EF流入静止水的速度等于水从高度IR下落获得的速度。因为位于静止水面下的容器内水的所有重量都由于有静止水的支撑作用而保持平衡，故容器内下落的水并不会因此加速。此情形同样也可通过测量水流出的时间得证。

推论1　如果增加水的深度CA至K，使AK与CK的比值等于位于容器底任意位置的小孔面积与圆AB的面积的比值的平方，那么水流的速度等于水从高度KC下落获得的速度。

推论2　产生水流的全部运动的力等于一个水柱的重量，此圆柱体以小孔EF为底面，高为2GI或2CK。因为当水流等于该水柱时，由于其自身重量而从高度GI落下的速度即等于水流速度。

推论3　容器ABDC中所有水的重量与其中使水流出的那部分水的重量之比等于圆AB与EF的和与圆EF的两倍之比。已知IO为IH和IG的比例中项，那么在水滴从高度IG下落的时间内，水从小孔EF流出的水相当于一个圆柱体，此圆柱体以圆EF为底面，高度为2IG，即也等于以圆AB为底，高度为2IO的圆柱体。因为圆EF与圆AB的比值等于高度IH与高度IG的比值的平方根，即等于比例中项IO与高度IG的比值。此外，在水滴从点I开始下落并通过高度IH的时间内，流出的水相当于一个圆柱体，此圆柱体以圆AB为底，高度为2IH。而在水滴从点I下落，经过点H到达点G（此过程中通过高度差HG）的时间内，立方体ABNFEM内装的水等于圆柱体的差，即等于以圆AB为底，高为2HO的圆柱体。因此容器ABDC内所有的水与在上述立方体ABNFEM内下落的水之比等于HG比2HO，即等于HO＋OG比2HO，或IH＋IO比2IH。但是立方体ABNFEM内所有水的重量都作用于水，使水得以流出，故容器内所有水与使水流出的那部分水之比等于IH＋IO比2IH，所以也等于圆EF与AB的和比圆EF的两倍。

推论4　因为容器ABDC内所有水的重量与容器底支撑的另一部分重量之比等于圆AB与EF的和比AB与EF的差。

推论5　容器底支撑的那部分重量与使水流出的另一部分重量之比等于圆AB与EF的差比较小圆EF的两倍，或是等于底面的面积比小孔的两倍。

推论6　压迫底面的那部分重量与水垂直压迫底面的总重量之比等于圆AB比圆AB与EF的和，或者等于圆AB与AB的两倍减去底面积所得的差之比。因为根据推论4，压迫底面的那部分重量与容器内水的总重量之比等于圆AB和EF的差比圆AB和EF的和，而容器内所有水的重量与垂直压迫底面的那部分重量之比等于圆AB比圆AB和EF的差。上两个比例式的对应项相乘，得压迫底面的那部分水的重量与垂直压迫底面的所有水的重量之比等于圆AB比圆AB和EF的和，或等于圆AB比它的两倍减去底面的差。

推论7　如果在小孔EF的正中放置一个小圆PQ（如图7-8），它以G为圆心，平行于水平面，那该圆承担的水的重量大于以该小圆为底，高为GH的水柱重量的。如上所设，ABNFEM仍是以GH为轴的水柱，而所有不影响水柱顺利而迅速下落的水都被冷冻，这其中也包括水柱周围以及小圆上的水柱。PHQ是位于小圆上被冻结的水柱，其顶点为H，高度为GH。假设此水柱因受到其自身重量而下落，而除了在水柱刚开始下落时其顶点或许会变成凹形，其余时候它既不依靠在PHQ上也不压迫它，而是不受到任何摩擦力地自由下滑。由于围绕水柱的冷冻部分AMCE和BNFD内表面AME和BNF朝向水柱凸起，故它会大于以小圆PQ为底，高为GH的圆锥体，即大于同底同高圆柱体的。于是小圆承受了水柱的重量，此重量大于圆锥体的重量，或大于圆柱体重量的。

推论8　当圆PQ非常小时，其承受的水的重量似乎小于一个圆柱体重量的，此圆柱体以小圆PQ为底，高度为HG。因为如上假设条件，假设以小圆PQ为底的半椭球的半轴或高度为HG，且此图形等于圆柱体的，包含在凝结水柱PHQ内，其重量由小圆承受。虽然水的运动方向是垂直向下的，但由于在水下落过程中连续加速时，水流会因此变细，故水柱的外表面与底面PQ相交的角必定是一个锐角。因此由于此角度比直角小，故该水柱的下面部分将位于半椭球内。而水柱的上半部分则仍然是锐角或聚集在一点，因为水是由上向下运动的，故顶点处水的水平运动速度必定大于水平面处的水平运动速度。并且圆PQ越小，水柱顶点处的锐角就越小。那么当圆PQ无限减小时，角PHQ也无限缩小，故水柱小于半椭球，或小于以小圆PQ为底，高为GH的圆柱体的。于是小圆承受的水的力等于该水柱的重量，而其周围的水则使水从小孔流出。

推论9　当圆PQ非常小时，其承受的重量约等于一个水柱的重量，此水柱以PQ为底，高度为GH。这是因为此重量是上述圆锥体的重量和半椭球重量的算术平均值。但是如果此小圆并不是非常小，相反它会一直变大，直至与小孔EF相等，那么此时PQ承受的重量是垂直落在其上的所有水的重量，即为以该小圆为底，高为GH的圆柱体的重量。

推论10　就目前我所推出的所有结论，小圆承受的压力与该小圆为底，高为GH的圆柱体的重量之比等于EF2与EF2-PQ2之比，或者近似圆EF与其减去小圆PQ的一半所得的差之比。

引理4

如果圆柱体沿着其长度方向做匀速运动，且它受到的阻力完全不会因为长度的增减而有所改变，那么此阻力与直径相同的圆受到的阻力相等，其中此圆以相同速度沿垂直于圆面的方向做匀速运动。

由于圆柱体的各边不对抗其运动，故当其长度无限减小时，圆柱体变为一个圆面。

命题37　定理29

如果圆柱体在无限压缩的无弹性流体中，沿着其长度方向做匀速运动，那么在圆柱体通过的长度为其自身长度四倍的时间。（如图7-9）

已知容器ABDC通过底面CD与静止水面接触，且水通过垂直于水平面的柱形通道EFTS流入静止水中，而小圆PQ位于通道内与水平面平行的任意位置。延长CA至K，使AK与CK之比等于通道内小孔减去小圆PQ的差与圆AB的平方之比。根据命题36的情形5、6以及推论1可推知，水通过小圆和容器边间的环状空间时的速度等于水从高度KC或IG下落时获得的速度。

而根据命题36推论10，如果容器无限宽，使得短线段HI消失，高度IG等于HG。而水流下时对小圆的压迫力与以该小圆为底，高度为IG的圆柱体的重量之比近似等于EF2比EF2-PQ2。因为无论小圆PQ位于通道内的任何地方，水向下匀速运动通过整个通道时，对小圆PQ的压迫力都是相等的。

现在假设通道口EF、ST关闭，小圆上升过程中，各个方向都受到流体的阻力，且它迫使其上方的水通过小圆与容器边的环形空间下落，那么小圆上升的速度与水下落的速度之比等于圆EF减去PQ的差与圆PQ之比。而圆上升的速度与这两个速度的和（即下落的水经过上升的小圆时的相对速度）之比等于圆EF与PQ的差和圆EF之比，或者等于（EF2-PQ2）∶EF2。已知相对速度等于小圆静止时，水经过环状空间的速度，即等于水从I点下落经过高度IG所达到的速度。根据运动定律推论5可知，水对上升小圆的压迫力仍然与以前相同，即小圆上升时受到的阻力与以小圆为底，高为IG的水柱的重量之比近似等于EF2∶（EF2-PQ2）。但是小圆的速度与水从高度IG下落获得的速度之比等于（EF2-PQ2）∶EF2。

已知通道的宽度无限增大，那么（EF2-PQ2）∶EF2最终等于EF2∶（EF2-PQ2）。因此此时小圆的速度等于水从点I下落经过高度IG获得的速度，且其受到的阻力等于一个圆柱体的重量，此圆柱体以小圆为底，高度为IG。而圆柱体从高度IG下落所获得的速度等于小圆上升的速度，在圆柱体下落的时间内，若它以此速度运动，那么其通过的距离为其长度的四倍。但是根据引理4，当圆柱体以此速度沿其长度方向运动时，其受到的阻力等于小圆受到的阻力，此阻力近似等于圆柱体经过其长度的四倍时，产生它的运动的力。

如果柱体的长度增减时，它的运动以及其经过其四倍长度的时间也会按相同比例增减，故使如此增减的运动产生或抵消的力保持不变。而又因为时间按此比例增减，并且根据引理4，阻力也保持不变，故该力始终等于圆柱体受到的阻力。

若圆柱体的密度增减，那么其运动以及使它的运动在相同时间内产生或抵消的力也会按此相同比例增减。因此任意圆柱体受到的阻力与在其通过自身长度的四倍的时间内使总运动产生或抵消的力之比约等于介质密度与圆柱体密度之比。

证明完毕。

只有被压缩后的流体才是连续的，而只有当流体为连续和非弹性时，由它产生的所有压力才会立即得到传播，这样一来，作用于运动物体上各部分的相同力不会引起阻力的变化。物体的运动产生的阻力则用于产生流体各部分的运动，阻力则由此产生。但是只要压力是即时传播，不产生连续流体内各部分的任何运动，那么不论由流体的压缩而产生的压力有多大，都不会使其中的运动发生任何改变，故阻力既不会增加也不会减小。由此确定由压缩产生的流体作用不会使运动物体各部分的前半部分弱于后半部分，故本命题内的阻力不会减弱。若相较于受压迫物体的运动，压缩力的传播无限快，那么前部分的压缩力也不会强于后部分的压缩力。但是若流体是连续、非弹性的，那么其压缩作用会无限快，并且会立即得到传播。

推论1　当圆柱体在无限的连续介质中沿其长度方向做匀速运动时，它受到的阻力与速度的平方，直径的平方以及介质密度三者的乘积成正比。

推论2　如果通道的宽度不会无限增大，而圆柱体在通道的静止介质中沿其长度方向运动，且它的轴始终是与通道的轴重合的，那么其阻力与在它通过长度为本身四倍的时间内使其总运动产生或抵消的力之比等于EF2：（EF2-PQ2），EF2：（EF2-PQ2），以及介质密度与圆柱体密度的比值这三者的乘积。

推论3　（如图7-10）如上述条件，已知长度L与圆柱体长度的四倍之比等于（EF2-PQ2）：EF2与（EF2-PQ2）∶EF2的乘积，那么圆柱体受到的阻力与在其通过长度为L的时间内，产生或抵消总运动的力之比等于介质密度与圆柱体密度之比。

附注

在此命题中，我们只探讨了由圆截面产生的阻力，而斜向运动产生的阻力则忽略不计。因为就如同命题36情形1一样，容器内做倾斜运动的那部分水从各个方向朝小孔EF聚集，阻碍了水流出小孔。因此，在此命题中，水的各部分因受到水柱前端的压力而做斜向运动，向各个方向分散，使水从前端向水柱后端的运动延缓，从而流体被迫绕道远处流过，这样水受到的阻力就会增大，约等于它迫使流出的水的减少，即近似等于25比21的平方。而如同本命题的情形1，通过使容器内水柱周围的水都冻结，各部分水垂直穿过小孔EF，而做斜向运动以及无用运动的各部分水则保持静止，故在此命题中，水的斜向运动可忽略，而水的各部分则尽可能迅速地直接屈服于斜向运动。这样水的各部分可以自由地通过水柱，此时由于圆柱体前端不会变尖，那么除非圆柱体的直径减小，否则横截面产生的阻力会保持不变，不会减小。因此必须假设产生阻力的各部分流体的斜向运动和无运动在圆柱体两端相互保持静止，然后连续地与圆柱体连接在一起。（如图7-10）已知ABDC为矩形，AE、BE是以AB为轴的两条抛物线弧，柱体的速度为下落距离HG后获得的速度，抛物线的通径与HG的比值等于HG∶（AB）。CF、DF是以CD为轴的另两条抛物线，其通径是前一通径的四倍。该图形绕轴EF旋转得到一个立方体，此中间部分ABDC即是此处我们谈论的圆柱体，而它的两端ABE和CDF则包含了流体的静止部分，并凝结为两个坚硬的物体，与圆柱体黏结，就如同圆柱体的头尾一样。如果此立方体EACFDB沿轴FE方向朝点E运动，那么阻力近似等于我们在此命题中求出的阻力，即阻力与在柱体连续均匀运动通过长度AC的时间内使柱体的总运动产生或抵消的力之比近似等于流体密度与柱体密度之比。那么根据命题36推论7，阻力与此力比值的最小值为2∶3。

引理5

若先后在柱形通道中央放入宽度相等的圆柱体、球体以及椭球体，使这三个物体的轴都与通道的轴重合，那么这三个物体对穿过通道的流水的阻碍力相同。

由于通道壁与圆柱体、球体以及椭球体之间使水能通过的空间是相等的，并且相等的空间流过相等的水。

正如上述命题36推论7中的阐述，本引理的假设条件是如果流动性不能使水流尽快穿过通道，那么位于圆柱体、球体以及椭圆球体上方的水将被冻结。

引理6

如上述条件，流经通道的水流对上述物体施加的作用相等。

本引理可由引理5和第三定律证明。因为水和物体间的相互作用是相等的。

引理7

若水在通道中静止，而上述物体则以相同的速度沿相反方向在通道中运动，那么它们相互间受到的阻力都是相等的。

这可由前一引理证明，因为它们之间的相对运动保持不变。

附注

所有位于通道内凸起的圆形物体，若其轴与通道的轴重合，则情形与上述引理一致。在此过程中，或许会因为摩擦的大小而使情况有所不同。但是在这些引理中，我们假设物体非常光滑，且介质中无任何黏性和摩擦力。若水在通道中运动时，那些干扰、阻碍或延缓其流动的部分，以及做多余的斜向运动的部分都保持静止，就如同水结成冰一样固定起来，而且运用上一命题的附注中所阐释的方式将其前后部分黏结起来。接下来我们将探讨圆形物体的极大横截面可能受到的阻力的极小值。

当物体浮在流体面上做直线运动时，会使流体的前部做上升运动，而其后部下沉。若该物体是钝形，则现象会更明显，因为钝形物受到的阻力要略大于头尾都是锐形的物体。而如果在弹性流体中运动的物体其前后皆是钝形，那么此物体的前部的流体较为稠密，而后部流体较为稀薄。因此相较于首尾都是锐形的物体，此物体受到的阻力较大。但是在这些命题的引理中，我们所讨论的是非弹性流体，而不是弹性流体，且物体深浸入流体中，而非浮在流体表面上。一旦求出了物体在非弹性流体中受到的阻力，则在此阻力上略为增加一部分后，即是它在弹性流体中（如空气）受到的阻力，以及在静止流体（如湖和海）表面受到的阻力。

命题38　定理30

如果球体在无限的非弹性压缩流体中做匀速运动，且存在一个力使其在通过它的直径的长度的时间内使其总运动产生或抵消，那么其受到的阻力与此力之比近似等于流体密度与球体密度之比。

因为球体与其外接圆柱体之比为2∶3，故在此圆柱体通过距离为其自身长度四倍的时间内使圆柱体的全部运动被抵消的力等于在球体通过距离为其直径的时间内使球体的总运动被抵消的力，即是在其通过距离为其直径的时全部运动皆被抵消的力。根据命题37可知，圆柱体受到的阻力与此力之比约等于流体密度与圆柱体或球体密度之比，而由引理5、6、7可知，球体与圆柱体受到的阻力相等。

证明完毕。

推论1　当球体在无限压缩介质中运动时，其受到的阻力与速度的平方、直径的平方以及介质密度三者的乘积成正比。

推论2　球体以其相对重量在阻碍流体中下落时能达到的最大速度等于相同重量的物体在无阻力空间中下落时，能达到的最大速度，并且达到最大速度前通过的距离与其直径的之比等于球体密度与流体密度之比。因为在球体下落时间内，以其获得的速度运动时，通过的距离与其直径的之比等于球体与流体的密度之比。而产生这一运动的重力与在球体以相同速度通过其直径的的时间内产生相等运动的力等于流体与球体的密度之比，因此根据本命题可知，重力与阻力相等，故不能使球体加速。

推论3　若已知球体开始运动时的速度、球体密度以及球在其中运动的静止的压缩流体的密度，那么可运用命题35推论7求出任意时间球体的速度、受到的阻力以及通过的距离。

推论4　若球体在一静止的压缩流体中运动，其密度与流体密度相等，则由推论7也可推出在它通过其直径的两倍长度前，它已经失去其运动的一半。

命题39　定理31

正如压缩流体密封于管道内，当球体在其内运动，受到的阻力与在它通过直径的的时间内使其总运动全部产生或抵消的力之比等于以下三个比值的乘积，管道口面积与管道口面积减去球大圆一半的差的比，管道口面积与管道口面积减去球大圆的差的比，流体密度和球体密度的比。

这可由命题37推论2，以及与前一命题相同的方法得到证明。

附注

在前两个命题中，其假设条件就如同此前在引理5中的假设条件一样，所有位于球体上且其流动性增大了阻力的那部分水都被冻结。如果这些水变为流体，那么阻力或多或少会因此增加。但是在这些命题中，阻力的增加量非常小，故可忽略不计。这是因为球体的凸面产生的效果几乎与凝结的水产生的效果相同。

命题40　问题9

已知球体在理想的压缩流体中运动，通过实验求其受到的阻力。

假设A是球体在真空中的重量，B为其在阻碍介质中的重量，D是球体直径，F是一距离，其与的比值等于球体的密度与介质的密度之比，即F∶＝A∶（A-B），设球体因重量B在无阻力空间中下落，其通过距离F所用的时间为G，下落过程中达到的速度为H。那么根据命题38推论2可知，H即是当球体在阻碍介质因重量B下落时，所能达到的最大速度。而球体以其速度下落时受到的阻力等于重量B，那么由命题38推论1可推出，球体以任意其他速度运动时，受到的阻力与重量B之比等于上述速度与最大速度H的比值的平方。

此阻力正是由流体物质的惰性产生的。而由流体的弹性、黏性以及摩擦力作用产生的阻力，则可用下列方法求出。

设球体在流体中因其重量B下落，P为下落时间。若时间G按秒计算，则时间的单位为秒。求出与的对数对应的绝对数N，再设L是数的对数。那么球体下落速度为，下落高度为-1.3862943611F＋4.605170186LF。如果流体非常深，那么4.605170186LF这一项可忽略不计，-1.3862943611F即约等于下落高度。上述结论可运用第2编命题9以及其推论证明，其成立的前提条件为：除了物质的惰性产生的阻力，物体不受到任何其他的阻力。若球体确实受到任何其他的阻力，那么下落会延缓，并由此减缓的量可求出这个新阻力的大小。

为了易于求出物体在流体中下落的速度，我制作了如下表格。第一列表示下落时间；第二列为下落速度，其中最大速度等于100000000；第三列表示在相应时间内下落的距离，其中2F是在时间G内，球体以最大速度运动时通过的距离；第四列则表示物体以最大速度运动时，在相应时间内下落的距离，此列的值由获得，而这些值减去（1.3862944-4.6051702L）所得的差即为第三列的数。若要求出下落距离则要用这些数乘以距离F。第五列加上第四列，得到的值则为在相同时间内，物体在真空中以相对重量下落的距离。

附注

为了在实验中测出流体受到的阻力，我选取一个方形木桶，其内部长宽皆为9英寸，高为英尺，在里面装满雨水。再选取若干含铅蜡球，让它们从112英寸的高度垂直落下，记录下它们的下落时间。已知1立方英尺的雨水重76磅，而1立方英寸的雨水重盎司，或谷。在空气中，直径为1英寸的水球重132.645谷，而在真空中，重量则变为132.8谷。其他任意的球体在真空中的重量减去水中重量得到的差与球体重量成正比。

实验1　已知一球体在空气中重谷，而在水中重77谷。其在4秒内下落高度为112英寸，再多次重复这个实验，球体下落所用时间都是极为精确的4秒。

该球体在真空中的重量为谷，此重量减去其在水中的重量得谷。经测量，该球体的直径为0.84224英寸。由此推出，上述重量差与真空中球体重量之比等于水与球体的密度之比，同样此比值也等于球体直径的倍（即2.24597英寸）与距离2F（即4.4256英寸）的比值。在1秒内，在真空中以其总重量谷下落的球体通过距离为英寸；而在无阻力条件下，在水中以其重量77谷在相同时间内通过的距离为95.219英寸。已知时间G与1秒的比值等于距离F2.2128英寸与95.219英寸的比值的平方根。那么在时间G内，其在水中的下落距离为2.2128英寸，能达到的最大速度为H。因此时间G等于0.15244秒。而当球体以最大速度H运动时，在时间G内通过的距离为2F（即4.4256英寸），故球体在4秒内通过的距离为116.1245英寸。此距离减去距离1.3862944F（即3.0676英寸），余下距离为113.0569英寸，而这就是当球体在盛满水的极宽容器中运动时，其在4秒内通过的距离。但是由于上述木桶的宽度不大，故此距离应随一复合比值减小，而此比值等于以下两个量的乘积，桶口与它减去球体的最大圆的一半后得到的差之比的平方根以及桶口与其减去最大圆后得到的差之比，即等于1∶0.9914。由此求出该距离为112.08英寸，而这即是当球体在装满水的木桶中运动时，其在4秒内通过的距离的理论近似值，然而在实验中测得的该距离为112英寸。

实验2　取出三个相等的球体，它们在空气中的重量为谷，而在水中为谷，然后让它们相继下落，那么在15秒内，每个球在水中通过的距离都是112英寸。

通过运算，球体在真空中的重量为谷，此重量减去它在水中的重量，得到的差为谷。已知球体直径为0.81296英寸，其倍为2.16789英寸。距离2F等于2.3217英寸。在1秒内，重为谷的球体在无阻力条件下经过的距离为12.808英寸，由此求出时间G等于0.301056秒。因此球体以最大速度（此速度为重谷的球体在水中下落时能达到的最大速度运动），在0.301056秒内通过的距离为2.3217英寸，而在15秒内通过的距离为115.678英寸，从中减去距离1.3862944F，或1.609英寸，余下距离为114.069英寸，这就是在容器足够宽的情况下，球体在5秒内的下落距离。但是由于容器很窄，故应从此距离中减去0.895英寸。所以余下距离为113.174英寸，而这就是在此容器中下落物体在15秒内经过的距离的近似理论距离。在实验中测得的值为112英寸，差别并不大。

实验3　取出三个相等的球体，其在空气中的重量为121谷，而在水中是1谷，然后让它们相继下落，三个球的下落时间分别为46秒、47秒、50秒，但是在水中下落的距离皆为112英寸。

根据理论推知，它们的下落时间约为40秒。实验中其下落却较慢，造成这一现象的原因我尚不能确定，或许是因为惰性力产生的阻力在由其他原因产生的阻力中所占比例较小，或是因为水中的小气泡碰巧附在了球体上，又也许因为天气较暖或将球体放下的手的温度使蜡稀释，还是因为在水中称小球重量时出现了不易察觉的误差。因此为了使实验结果精确可靠，水中球体的重量应有数谷。

实验4　在得出上几个命题的结论前，我就已开始做上述求出流体阻力的实验。然而为了检验得到的理论，我选取了一个木桶，其内部宽为英寸，深为英尺。再做四个相等的含铅蜡球，它们在空气和水中的重量分别为谷和谷。让它们在水中自由下落，然后用一个摆动周期为半秒的摆测定其下落时间。球体是冷却的，且在称量以及下落前就已冷却多时了。由于在温暖的情况下，蜡会稀释，从而其在水中的重量就会减小。而稀释的蜡球在冷却后不会立即回复到原先的密度。为避免小球的任意部分偶然露出水面，从而使小球在一开始就加速，故在放开小球前，先确认小球完全没入水中。把它们完全放入水中并保持完全静止后，极其小心地放手使小球下落，而不受到任何手的推动力。这四个小球通过高度15英尺2英寸的时间分别为、、50以及51次摆动周期。但是实验时的温度比称量球体时的温度略低，故我后来又重做了一次实验，在此实验中，球体的下落时间分别为49、、50和53次。第三次实验时则分别为、50、51和53次。重复做这个实验多次后，我发现出现得最多的下落时间是和50次。而实验中球体有时会下落得较慢，我猜测这是由于球体碰到了桶壁而延缓了下落。

而由理论计算，球体在真空中的重量为谷，从中减去小球的水中的重量得谷，球体直径为0.99868英寸，它的倍是2.66315英寸，距离2F为2.8066。在无阻力情况下，重谷的球体在1秒内的下落距离为9.88164英寸。时间G等于0.376843秒。因此当球体以最大速度（此速度为重谷的球体在水中下落获得的最大速度）运动时，在0.376843秒内通过的距离为2.8066英寸，1秒内通过的距离为7.44766英寸，而在25秒（或50次摆动）内通过的距离为186.1915英寸，从中减去距离1.386294F或1.9454英寸得到的余下距离184.2461英寸就是位于极宽容器内球体在25秒内通过的距离。然而由于实验中的容器很窄，该距离按以下两个数值的乘积减小，桶口比该桶口与球大圆一半的差的平方以及桶口比桶口超出球大圆，求得距离为181.86英寸，它近似等于球体在50次摆动中划过距离的理论值。但在实验中，在或50次摆动后，测得的距离为182英寸。

实验5　取四个相等的球体，其在空气中和水中的重量分别为谷和谷，让球体反复下落多次，得球体通过高度15英尺英寸所用时间分别为、29、以及30次摆动，而有几次则是31、32、33次摆动。

而根据理论计算，上述时间应近似等于29次摆动。

实验6　取五个相等的球体，其在空气中和水中的重量分别为谷和谷，让球体反复下落多次，得球体通过高度15英尺2英寸所用时间分别为15、、16、17以及18次摆动。

而根据理论计算，上述时间应近似等于15次摆动。

实验7　取四个相等的球体，其在空气中和水中的重量分别为谷和谷，让球体反复下落多次，得球体通过高度15英尺英寸所用时间分别为、30、、31、32以及33次摆动。

而根据理论计算，上述时间则近似等于28次摆动。

这些重量相等的球体下落的距离相同，然而速度却有快有慢，经研究我认为原因如下：当球体第一次被放开而下落时，较重的一侧会先下落，从而绕其中心摆动。相较于下落时完全不摆动的球体，摆动的球体会传递给水更大的运动，而由于这种传递作用，它会损失一部分的下落运动。因此随着这种摆动强弱不同，下落运动也会受到不同程度的延缓。此外，小球总是偏离摆动中下落的那部分，从而更接近桶壁，甚至有时会与之相碰。球体越重，这种摆动就越强烈，从而对水的推力也就越大。因此为了减少球体的摆动，我制作了新的含铅蜡球，此种球的铅固定在极靠近球表面的一侧，并在放开球体时，尽量让较重的一侧位于最低点。这样摆动就会比原来的弱，球体的下落时间差异也不再如此明显，如下列实验所示。

实验8　取四个相等的球体，其在空气中和水中的重量分别为139谷和谷，让球体反复下落多次，测得球体通过高度182英寸所用时间多数为51次摆动，最大不超过52次，最小也不小于50次。

而根据理论计算，其下落时间约等于52次摆动。

实验9　取四个相等的球体，其在空气中和水中的重量分别为谷和谷，让球体反复下落多次，测得球体通过高度182英寸的时间大于或等于12次摆动，小于或等于13次摆动。

而根据理论计算，其下落时间约等于次摆动。

实验10　取四个相等的球体，其在空气中和水中的重量分别为384谷和谷，让球体反复下落多次，测得球体通过高度英寸的时间分别为、18、、19次摆动。而当其下落时间为19次摆动时，我曾听到它们在到达桶底前与桶壁有几次碰撞。

而根据理论计算，其下落时间约等于次摆动。

实验11　取三个相等的球体，其在空气中和水中的重量分别为48谷和谷，让球体反复下落多次，测得球体通过高度英寸的时间分别为、44、、45以及46次摆动，其中大多数值为44和45次摆动。

而根据理论计算，其下落时间约等于次摆动。

实验12　取三个相等的球体，其在空气中和水中的重量分别为141谷和谷，让球体反复下落多次，测得球体通过高度182英寸的时间分别为61、62、63、64以及65次摆动。

而根据理论计算，其下落时间约等于次摆动。

根据这些实验可知，当球体下落较慢，如实验2、4、5、8、11、12，实验中测得的下落时间与理论时间极其相似，而当球体下落较快时，如实验6、9、10，球体受到的阻力略大于速度的平方。这是因为小球下落时会稍稍摆动，当球体较轻且下落较慢时，因为运动较弱故摆动会很快就停止。但是当球体较重而下落较快时，其运动会较强，因而摆动时间能持续较长，在几次摆动后才会被周围的水阻止。此外，球体下落越快，后部受到的阻力越小。而如果速度不断增加，那么除非流体的阻力也同时增加，否则最终球体后面会留下一真空空间。根据命题32、33，为了保持阻力与速度平方成正比，则流体压力的增加应与速度平方成正比。但是这种情况是不可能的，故运动较快的球体后部受到的压力不如其他部分大，而压力的缺少使阻力略大于速度的平方。

因此在水中下落物体的现象与理论是一致的，接下来开始观察空气中下落的物体。

实验13　1710年6月，有人取出两个玻璃球，其中一个充满水银，另一个充气，然后让它们同时从伦敦圣保罗大教堂顶落下，高度为220英尺。一张木桌的一边用铁链悬挂，另一边用木棍支撑。两个小球就放在木桌上，用一根延伸到地面的铁丝拨开木棍后，仅靠铁链支撑的木桌会沿着铁链下落，两个球就会同时落下。而在木棍被拨开的同时，摆动周期为1秒的摆开始运动。下列表中记载的是球体的直径、重量，以及下落时间。

但是观测到的下落时间必须修正，因为由伽利略的理论可知，在4秒内，水银球下落的距离为257英尺，而通过距离220英尺仅用秒。因此当木棍被拨开时，木桌并不像想象情况中一样立即翻转，而这就阻碍了小球开始阶段的下落。由于小球位于木桌的正中，且距轴的距离确实比到木棍的距离近。所以下落时间延长了0.3秒，修正后的下落时间应是减去0.3秒后的值，尤其当球体较大时，由于直径较大，故停留在翻转木桌上的时间更长。六个较大球体修正后的下落时间为、、、、、秒。

因此直径为5英寸，重483谷的第五个空气球，在秒内通过的距离为220英尺。与此球体积相等的水球重16600谷，而相等体积的空气重谷（或谷），故空气球在真空中重谷，这个重量与体积等于该空气的重量之比等于比，而此比值也等于2F与球体直径的倍的比值。所以2F等于28英尺11英寸。在真空中，以其总重量谷运动的小球在1秒内通过的距离为英寸；而以重量483谷下落的距离为185.905英寸，而真空中通过的距离为F，或为14英尺英寸，所用时间为秒又，并在此过程中达到空气中的最大下落速度。在8.2秒内，以此速度运动的均匀小球通过的距离为245英尺英寸，从中减去1.3863F（或20英尺英寸），余下距离为225英尺5英寸。因此余下距离就是在秒内球体下落距离的理论值。但是实验中测得的距离为220英尺，两者间的差异很小。

再用其他充满空气的球体进行相似运算，下表即为得到的值。

实验14　1719年7月，德萨古里耶博士将猪膀胱制成球体，又重做了这个实验。首先将膀胱打湿，放入中空的木球内。再往膀胱中吹满空气，待其干燥后取出，这样膀胱就成了一个球体。让它们同时从圣保罗大教堂拱顶的天窗下落，高度为272英尺。同时一个重2磅的铅球也随之一同下落。此时，一些人站在教堂顶部球下落处观测下落总时间，而另一些人则站在地面上观测铅球和膀胱球下落时间的差，所用时间都是半秒摆。地面上一人拿着的机器每秒摆动四次，而另一台精密仪器也是每秒摆动四次，楼顶上也有类似仪器。它们已被设计为可随时开始或停止运动。铅球的下落时间为秒，加上上述测得的时间差，得到膀胱的下落总时间。铅球落地后，五个膀胱球随后的下落时间，第一次实验中分别为秒、秒、秒、秒、秒。而第二次为秒、秒、14秒、19秒、秒。在此时间上加上铅球的下落时间秒，得到五个膀胱球的总下落时间，在第一次实验中分别为19秒、17秒、秒、22秒、秒，第二次为秒、秒、秒、秒、21秒。而在教堂顶观测到的时间，第一次分别为秒、秒、秒、秒、秒，第二次为19秒、秒、秒、24秒、秒。但是膀胱并不是始终沿直线下落的，有时会略微在空气中飘动，而有时又会左右摆动，这样下落时间就会延长，有时延长时间为半秒，有时甚至会达到一秒。据观察，在第一次实验中，第二、四个膀胱的下落线路最直，而第二次则是第一和三个球体。由于第五个膀胱上有些褶皱，故运动略微延长了。我用极细的线围绕膀胱缠绕两圈，测出了它们的直径。下表中我将实验中测得的数据和理论值做了个比较。假设此时空气与雨水之比为1∶860，计算出球体下落距离的理论值。

因此理论正确地显示了当球体在空气中或水中运动时受到的阻力，其误差极小。因为在球体的体积和重量相等的情况下，此阻力与流体密度成正比。

在第6章的附注中，我们已通过摆的实验证明了以相同速度在空气、水以及水银中运动的相等球体，其阻力与流体密度成正比。而在此，我们通过物体在空气和水中的下落实验，进一步精确证明了此结论。因为摆的每次摆动都会引起流体的运动，从而阻碍它的返回运动，由于这种运动以及悬挂摆体的细线所产生的阻力，使得摆的总阻力大于落体实验中的阻力。根据上述附注中描述的摆实验，若球体密度与水相等，那么其在空气中通过其半径长度后，损失的运动为其运动的部分。由本章推导出一个理论（同时也已经过落体实验的验证）：在水和空气的密度之比为860∶1的假设条件下，相同球体通过其半径长度后损失的运动仅为其运动的。由此推出，摆实验中求得的阻力大于落体实验中的阻力，这两者间的比值约为4∶3。但是由于在空气、水以及水银中运动的摆的阻力是因相同理由而增加的，不论是在摆实验中，还是落体实验中，在这些介质中的阻力间的比值是非常精确的。综上所述，在其他条件相同的情况下，即使在极富流动性的任何流体中运动的物体所受阻力与流体密度成正比。

在得到上述结论和数据后，我们就可以来求给定时间内，在任意流体中运动的抛体损失的运动的近似值。已知D为球体直径，V是其初始速度，而T为一给定时间段，在此时间段内，球体以速度V在真空中运动的距离与距离之比等于球体与流体的密度之比，那么在其他任意已知时间段t内，流体内被抛出的球体损失运动为，余下部分的运动为，且根据命题35推论7，通过的距离与相同时间内球体在真空中以速度V匀速运动的距离，这两者间的比值等于的对数乘以2.302585093与的比值。而当运动较慢时，受到的阻力会略小一些。因为相较于直径相同的圆柱体，球形物体更适于运动。但是当运动较快时，阻力也会稍微大一些，这是因为此时流体的弹力和压迫力的增大并不与速度平方成正比。但是此处我并未把这些小差异计算在内。

虽然空气、水、水银以及其他相似流体在经过无限分割后，会变得精细化而成为具有无限流体性的介质。但是它们对抛体施加的阻力却不会随之改变。因为在前一命题讨论的阻力是由物质惰性产生的，且惰性是物质的基本属性，始终与物质的量成正比。在流体分割后，由各部分间的黏性以及摩擦力产生的阻力确实减小了，但是物质的量却仍保持不变，这样与之成正比的惰性力也不会减小。由于此处涉及的阻力始终与此惰性力成正比，故阻力也保持不变。若想使阻力减小，则必须减小物体穿越空间里物质的量。行星和彗星在宇宙中自由穿行时，运动不会有丝毫可察觉的减缓，故宇宙中完全不存在物质性流体，只可能有一些极其稀薄的气体和射线。

当抛体穿过流体时，它引起了流体的运动，这种运动是由抛体前后部分受到的流体压力的差产生的，由于它与介质密度成正比，故相对于空气、水以及水银中的运动，在无限流体性介质中的运动绝不小于前者。因为上述压力差与压力的量成正比，故它不仅引起了流体的运动，同样也使抛体运动变缓，这样每个流体中的阻力与抛体引起的运动成正比，并且即使是在最精细的以太中，该阻力与以太的密度之比也绝不小于在空气、水以及水银中的阻力与相应流体密度之比。