第9章
流体的圆运动

假设

由于流体各部分缺乏润滑而产生的阻力，在其他条件不变的情况下，正比于使该流体各部分相分离的速度。

命题51　定理39

如果一根无限长的圆柱体在均匀又无限的流体中，绕一位置给定的轴均匀转动，并且该流体只受圆柱体的冲击而转动，而该流体各部分在运动中保持均匀；则流体各部分的周期正比于它们到圆柱体中轴的距离。（如图9-1）

令圆柱体AFL沿轴S均匀转动，且令AFL的同心圆BGM、CHN、DIO、EKP等，把流质分成无限个相同厚度的固体同心圆柱体层。因为流体是均质的，邻接层相互的压力（由假设）正比于它们相互间的移动，也正比于产生该压力的相邻接的表面。如果任意表层对其内侧压力大于或小于外侧压力，则较强的压力将占优势，并加快或减慢该层的运动，这取决于它是否和该层的运动方向一致或相反。这样每一层的运动都能保持均匀，两侧的压力相等而方向相反。所以，由于压力正比于邻接表面，也正比于相互间的移动，那么该移动将反比于表面，即反比于表面到中轴的距离。但是轴的运动角度差正比于该移动除以距离，或正比于该移动而反比于该移动除以距离。那就是，将这两个比相乘，反比于距离的平方。所以，如果做向右无限延伸直线SABCDEFQ的垂线Aa、Bb、Cc、Dd、Ee等，则反比于SA、SB、SC、SD、SE等的平方，作一条双曲线通过这些垂线的端点，则这些运动角度差的和将正比于对应线段Aa、Bb、Cc、Dd、Ee的和，即（如果无限增加层数而减少宽度，以构成均匀介质的流体）正比于相似于该和的双曲线面积AaQ、BbQ、CcQ、DdQ、EeQ等；因此时间反比于角运动，也反比于这些面积。所以任意D粒子的周期时间反比于DdQ的面积，即（由求曲线面积的已知方法）正比于距离SD。

证明完毕。

推论1　因此流体粒子的角运动反比于它们到圆柱体的轴的距离，且绝对速度相等。

推论2　如果流体装在一个无限长的圆柱形容器内，里面还装着另一个圆柱体，并且两柱体都围着公共轴转动，且它们转动的时间正比于它们的直径，流体各部分保持运动，则不同部分的周期时间正比于到圆柱体轴的距离。

推论3　如果从圆柱体和这样运动的流体上增加或减去任意共同的角运动量，因为这种新的运动不改变流体各部分之间的相互摩擦，各部分之间的运动也不会改变；因为各部分间的移动取决于摩擦。由于两边的摩擦力方向相反，各部分都将保持那种运动，加速并不多于减速。

推论4　如果从整个圆柱体和流体中减去所有外层圆柱的角运动，我们就能得到在静止圆柱体内的流体运动。

推论5　如果流体和外层柱体静止，而内层柱体均匀移动，则会把圆运动传输给流体，并会逐渐传遍整个流体；运动会逐渐加强，直到流体各部分都能获得推论4中求出的运动。

推论6　因为流体倾向于把其运动传播得更远，所以其冲击会带动最外层的圆柱与它一同运动，除非圆柱体受到阻力；一直加速其运动直到两个圆柱体的周期相等。但是如果外层圆柱体受到反作用力，它将会产生作用力来阻碍流体的运动；内柱体除非靠一些作用于其上的外力使其保持运动，否则它将逐渐静止。

所有这些可以通过在静止深水中实验来证明。

命题52　定理40

如果在均匀而且无限的流质中，固体球体绕一方向给定的轴均匀转动，流体只是受球体的冲击力转动，流体各部分在运动中保持均匀；则流体各部分的周期正比于其到球体中心的距离。（如图9-2）

情形1　令球体AFL绕轴线S均匀转动（如图9-2），同心圆BGM、CHN、DIO、EKP等把流体分成无限个相同厚度的同心球层。设这些球层是固体的；因为流体是均质的，邻接的球层间的压力（由前提）正比于它们相互间的移动，以及受该压力的邻接表面，如果任意球层对其的内侧压力大于或小于外侧压力，则较强的压力将占优势，并加快或减慢该球层的运动，这取决于该力与球层运动方向是否一致。所以每一球层都能保持均匀的运动，其条件是球层双侧的压力必须是相等的，而方向相反。因为压力正比于邻接表面，也正比于相互间的移动，所以移动将反比于表面，即反比于表面到球心距离的平方。但关于轴的角运动差正比于移动除以距离，或是正比于移动而反比于距离；将这两个比相乘，也就是反比于距离的立方。如果在无限延伸的直线SABCDEQ上的不同地方作垂线Aa、Bb、Cc、Dd、Ee等，反比于差的和SA、SB、SC、SD、SE等，即所有角运动的立方，则将正比于对应线段Aa、Bb、Cc、Dd、Ee等的和，即（如果使球层数无限增加，厚度无限减小，形成均匀流体介质）正比于近似于该和的双曲线面积AaQ、BbQ、CcQ、DdQ、EeQ等；其周期时间则反比于角运动，还反比于这些面积。所以，任意球层DIO的周期时间反比于面积DdQ，即（由已知求面积的方法）正比于距离SD的平方。这就是首先要证明的。

情形2　由球心作大量与轴成给定角度的无限长直线，且它们相互间的差相等；设这些直线绕轴转动，这样球层被分成无数个圆环；则每一个圆环都有四个与之相邻的圆环，即其内侧有一个，外侧有一个，两边还各有一个。现在，这些圆环受到的推动力不均，内环与外环的摩擦力方向相反，除非运动的传递照情形1所证明的规律进行。这可以由前面的证明得知。所以，任意一组由球沿直线向外延伸的圆环都将按情形1的规律运动，除非它受到两边圆环的摩擦的作用。但是根据该规律，运动中不会出现那种情况，所以不会阻碍圆环按该规律运动。如果到球的距离相等的圆环在极点处的转动和在黄道处速度不相等，又如果前者慢的话，相互摩擦使其加快，而快的话，则使其减慢；这就使周期时间逐渐趋于相等，这可以由情形1得知。所以这种摩擦力完全不阻碍运动按情形1的规律进行，因此该规律是成立的；即各圆环的周期时间正比于其到球心的距离的平方。这就是其次要证明的。

情形3　现在设每个圆环又被横截面分割成无数个粒子，正是该粒子构成了绝对均匀流体物质；因为这些截面与圆运动无关，只起产生流体物质的作用，所以圆运动规律将像以前一样保持不变。即使有再小的圆环都不因这些截面而改变其大小和相互摩擦，或都做相同的变化。所以，原因的比例不变，效果的比例也不变；即运动和周期时间的比例不变。

证明完毕。

由于圆运动而产生的向心力，在黄道上的大于在轴极上的，则必定有某种作用力使各粒子维系在轨道上；否则在黄道上的物质总是要飞离中心，并在涡旋外绕轴极转动，再由此沿轴线连续旋转而回到极点。

推论1　因此流体各部分沿球轴的角运动，反比于到球中心距离的平方，其绝对速度反比于前面那个平方除以到轴的距离。

推论2　如果在相似、无限且静止的均匀运动的流体中的球，沿一位置给定的轴做均匀运动，则它将带动流体做类似于涡旋的运动，且该运动将向流体各处传递开去；并且该运动将在流体各部分中逐渐加速，直到各部分的周期时间正比于到球中心的距离的平方。

推论3　因为涡旋内部由于其较大速度不断压迫而推动外部，并通过该作用力把运动传递给它们，同时又把相同的运动传递给更远处静止的部分，并通过该运动保持了自身的持续运动，不难理解该运动会持续把涡旋由中心传递到外围，直到它渐渐减退并消失于无限延伸的圆周。任何两个与该涡旋同心的球面之间的物质是不会加速的，因为该物质总是要传递其从靠近中心地方得到的运动给靠近边缘地方的物质。

推论4　因此，为了保持涡旋的相同运动状态，球体就要从某种来源不断得到其传递给涡旋其他物质的相同运动量。就是由于有了该来源不断把运动传递给球体和涡旋内部，它们才能不断向外围传递运动。要是没有该来源，它们将会逐渐减慢运动，最后不再旋转。

推论5　如果另一个球体也在那个涡旋里，在离中心一定距离的地方漂浮，与此同时受一些外力影响沿一个倾斜度给定的轴不断旋转，则该球的运动将会带动流体像涡旋一样运动，起初这个新的小涡旋将会和该球一起绕另一中心转动，与此同时该运动将会传播得越来越远，逐渐向无限延伸，方式与第一个涡旋相同。同样原因，新涡旋中的球被卷入另一个涡旋的运动，而另一个涡旋的球被卷入新涡旋的运动，这样这两个球都绕着同一个中间点转动，并且由于圆运动而相互远离，除非有某些力量来维系着它们。此后，如果这不断让球体保持运动的作用力停止，则一切将按力学原理运动，球会逐渐停止运动（由推论3和4中谈及的原因），涡旋最终将全部静止。

推论6　如果在给定地方的几个球体必须绕位置给定的轴，以给定速度均匀转动，则它们将产生同样多的涡旋并延伸至无限。因为根据任意每只球都可以把其运动传播无限远的相同原理，每个分离的球也可以把其运动传播无限远；因此无限流体的各部分都受到所有球体运动作用而运动。这样各涡旋之间就没有明确界限，而是逐渐介入对方；在涡旋相互介入对方时，由前一推论得知球会逐渐离开原来的位置；它们之间不可能一直保持某种确定的位置关系，除非由某种力量维系着它们。但是如果这些不断给球体压力以维持运动的作用力突然中止，物质（由推论3和4中的理由）将逐渐停止，不再做涡旋运动。

推论7　如果某种类似流体装在球形容器内，并由于位于容器中心的球做均匀运动而形成涡旋；球与容器绕同一轴做同向转动，则它们的周期正比于半径的平方；流体的各部分不会既不做加速又不做减速运动，直到它们的周期时间实现正比于到涡旋中心距离的平方。除了这种，其他任何方式构成的涡旋都不能持久。

推论8　如果这个容器和容器里的流体都保持运动，并沿给定轴做共同角转动，而因为流体各部分的相互摩擦力不会由运动而改变的，则各部分之间的运动也不会改变；因为各部分之间的移动取决于这种摩擦力。任意部分都保持这种运动，其一侧的阻碍它运动的摩擦力等于另一侧加速它运动的摩擦力。

推论9　如果容器是静止的，已知球体的运动，则可求出流体的运动。设一平面穿过球的轴，并反向运动；设该转动时间与球的转动时间的和比球转动时间等于容器半径平方与球半径平方之比；则流体各部分相对于该平面的周期时间将正比于它们到球中心的距离的平方。

推论10　如果容器和球绕相同的轴运动，或以已知速度绕不同的轴转动，则可求出流体的运动。如果从整个运动系统中我们减去容器的角运动，由推论8得知，余下的所有运动将相互保持不变，就像之前一样，并可由推论9求出。

推论11　如果容器和流体静止，并且球匀速转动，则该运动将会逐渐由整个流体传递到容器，且容器会被带动转动，除非它遇到阻力；流体和容器将逐渐加速直到它们的周期时间等于球的周期时间。如果容器受某力阻止或受不变力做均匀运动，则介质将会逐渐趋于推论8、9、10所述的状况，而绝不会维持其他任何状态。但如果这种使球和容器以确定运动转动的力中止，则这整个系统将按力学原理运动，容器和球体在流体的中介作用下将相互作用，不断把其运动通过流体传递给对方，直到它们的周期时间相等为止，整个系统像一个固体一样运动。

附注

在所有这些讨论中，我都假设流体的密度和流体性是均匀的。我所说的这种流体是指一个球体无论放在里面任何地方都可以以其自身的相同运动，在相同时间间隔里，在流体内向相同距离的物质连续传递相似又相等的运动。物质的圆运动使它更倾向于离开涡旋的轴，因而压迫在它外面的所有物质。这个压力使摩擦力更大，因此各部分的分离更困难；这样就减少了物质的流体性。另外，如果流体各部分中有任何一处比其他地方密度更大，则该处的流体性就会更小，因为该处相互分离的表面更少。在这些情形中我设流体性的缺乏由这些地方的润滑性或柔软性，或其他条件来补足；否则这些流体性较缺乏处将连接得越紧，惰性越大，这样接收运动更慢，并比上述比值传播得更远。如果容器不是球状的，粒子将不是沿圆周而是沿容器外围线条运动；其周期时间将近似正比于到中心平均距离的平方。在中心与边缘之间，空间较宽处运动较慢，而较窄处运动较快；否则因为较快速度粒子不再趋向边缘；因为它们掠过的弧线曲率较小，离开中心的倾向随该曲率的减小而减小，其程度就像其随速度的增加而增加一样。当它们从窄处进入到宽处时，稍远离中心，减慢了速度；而当它们由宽处进入窄处时，它们又一次加速；因此每个粒子就这样一直反复被减速或加速。这是在坚硬容器里的情形；至于无限流体中的涡旋的状态研究，已在本命题推论中阐明。

我之所以在本命题中研究涡旋的特性，就是在想是否天体现象可以通过此来解释。现象是这样的，卫星绕木星运转的周期正比于它们到木星中心的距离的次幂，同样该规律也适合于行星绕太阳运转的情况。而且就已知的天文观测数据，这些规律都有极高的精确性。因此，如果这些行星是由涡旋带动绕木星和太阳运动，则涡旋必定遵从那个规律。但是这里我们发现，涡旋各部分的周期正比于到运动中心的距离的平方；并且该比值无法减小并简化为次幂，除非涡旋的物质离中心越远其流动性越大，或是因为流体各部分因为缺乏润滑而产生的，又正比于使流体各部分相互分离的速度的阻力，以大于速度增长比率的更大比率增加。但是这些假设似乎都不合理。若不受中心吸引，粗糙而流动着的部分必将倾向于边缘。尽管为了证明的方便，在这章的开头，我曾假设阻力正比于速度，但事实可能是阻力与速度的比小于该比值；因此，涡旋各部分的周期将大于到中心距离平方的比值。如果像某些人设想的那样，涡旋在离中心较近处运动较快，在某一界限处较慢，而又在靠近边缘处较快，则不仅得不到次幂关系，也不能得到其他任何确定的比值关系。还是让哲学家去解释怎样由涡旋来说明次幂的现象吧。

命题53　定理41

由涡旋所带动的物体，若能在不变轨道上环绕，则其密度和涡旋相同，且在速度和运动方向上遵从与涡旋各部分相同的运动规律。（如图9-3）

如果设涡旋的任何一小部分是固定的，其粒子或物理点相互间的位置都保持固定，则因为其密度、惯性及形状都没变，这些粒子将保持原先的运动规律。又，如果涡旋固着或固体的部分和涡旋其他部分的密度相同，其融化在流体中，则这部分也将按原先的规律运动，其有了流动性的粒子可以相互移动除外。所以，粒子相互间的运动完全不影响整体的运动，整体的运动还是会和原先一样。而这种运动会和涡旋中另一侧与中心距离相等的那部分的运动相同。因为现在融在流体里的这固体部分，和涡旋其他部分几乎完全相同。所以，如果固体部分的密度与涡旋的物质相同，则其就会与它所处的涡旋部分做相同运动，且和周围的物质保持相对静止。如果它密度再大一点，它就会比以前更趋向于离开中心；并将克服把它维系在轨道上并保持平衡的涡旋力，它远离中心，按螺旋线运行，不再回到原先的轨道。根据同样的原理，如果其密度小一点，它就会更趋向于中心。这样它也不能继续在原轨道上运行，除非它和流体密度一样。而我们已经证明了在这种情况中，它的运行规律与流体到涡旋中心距离相等部分的运行规律相同。

推论1　所以在涡旋中转动的固体，会持续在相同轨道上运行，并与带动它旋转的流体保持相对静止。

推论2　如果涡旋的密度是均匀的，同一物体可以在离涡旋任何距离的地方旋转。

附注

因此，很明显，行星的运动不是由物质涡旋所带动运转的；因为根据哥白尼的假设，行星绕太阳沿椭圆运动，太阳在其公共焦点上；由行星伸向太阳的半径所掠过的面积正比于时间。但是现在涡旋各部分不可能再做那种运转。令AD、BE、CF表示三个绕太阳S的轨道（如图9-3），其中，令最远的那个圆CF为太阳的同心圆，令圆里面的两个远日点为A、B，近日点为D、E。这样，沿轨道CF运动的物体，其伸向太阳的半径所掠过的面积正比于时间，做匀速运动。根据天文学原理，沿轨道BE运动的物体在远日点B处速度较慢，而在近日点E处则较快；而根据力学原理，涡旋物质在A与C之间较窄的地方会比在D与F之间较宽的地方运动得快。即，在远日点较慢而在近日点较快。现在这两个结论互相矛盾。因此以火星的远日点室女座为起点标记的火星与金星轨道间的距离，比上以双鱼座为起点标记的相同轨道间的距离，其比值为3∶2；因此在这些轨道间的涡旋物质，在双鱼座的起点处的速度比上在室女座起点处的，比值为3∶2；因为在一次环绕中，在相同时间里相同的物质量通过的空间越窄，速度就越快。所以，如果地球与带动它运转的天体物质保持相对静止，并一起绕太阳旋转，则地球在双鱼座起点处的速度与其在室女座起点处的速度之比为3∶2。所以太阳的周日运动，在室女座起点处应多于70分钟，而在双鱼座起点处就会少于48分钟。然而观测结果却正好相反，太阳在双鱼座起点处的速度却快于在室女座起点处的；所以地球在室女座起点处的速度快于在双鱼座起点处的速度；这样涡旋假设和天文现象严重对立，非但不能解释天体运动，反而让我们更迷惑。究竟这些运动是怎样在没有涡旋的空间里进行的，我们可以从第1编里得知；我将在下一编里对此进一步阐述。