第4章
物体在阻碍介质中的圆运动

引理3

假设PQR为一螺旋线，且此螺旋线与半径SP、SQ、SR等相交的角度相等。作直线PT与螺旋线相切于任意点P，并且PT与半径SQ交于点T。又作直线PO、QO与此螺旋线垂直，而这两条直线也相交于点O，连接SO。那么如果点P与点Q无限接近，最后重合，则此时角PSO将变为直角，而此时TQ×2PS的积与PQ2的最终比值则变为1。（如图4-1）

从直角OPQ、OQR中分别减去相等的角SPQ和SQR，那么余下的角OPS和OQS相等。因此通过点O、S、P的圆必然也会经过点Q。假设点P与点Q重合，那么此时这个圆与螺旋线相切与P、Q的重合点，且圆与OP垂直，OP则成为圆的半径，而角OSP因为在半圆上，所以OSP是直角。

作直线QD、SE垂直于直线OP，且各条线段间的比值如下：TQ∶PQ＝TS（或PS）∶PE＝2PO∶2PS，PD∶PQ＝PQ∶2PO。上两式的对应项相乘，得TQ∶PQ＝PQ∶2PS，故PQ2＝TQ×2PS。

证明完毕。

命题15　定理12

如果介质中各点的密度与这一点到固定中心距离的平方成反比，且介质的向心力与密度的平方成正比。已知在此介质中以固定中心为端点作若干条半径，如果一条螺旋线与这些半径相交构成的相交角都相等，那么物体将沿此螺旋线旋转。

假设本命题的所有条件与引理3的条件相同，延长SQ至点V，使SV＝SP。当物体在阻碍介质中运动时，在任意时间内，物体划过极短弧PQ，而在两倍的时间内，物体则划过弧PR。这些弧因为物体运动时受到的阻力而产生的减量（或者是在相等时间内，物体在无阻力介质中划过的弧与上述弧的差），这些量相互间的比值与产生这些弧所用时间的平方成正比。因此弧PQ的减量等于弧PR减量的四分之一。同理，如果取面积QSr等于面积PSQ，那么弧PQ的减量则等于短线段Rr。所以阻力与向心力之比等于短线段Rr与相同时间内产生的线段TQ之比。因为物体在P点受到的向心力与SP2成反比，根据第1编的引理10，而此向心力产生的短线段TQ与由两个量复合而成的量成正比，这两个量中第一个量为向心力，另一个量则为物体划过弧PQ所用时间的平方（在此阻力的作用被忽略，因为相较于这个向心力，物体受到的阻力无限小）。由此推出，TQ×SP2（根据上述引理，此值等于PQ2×SP2）与时间的平方成正比，故时间与PQ×成正比。而物体在此时间内划过弧PQ时的速度与成正比，化简后，即得该速度与成正比，即是速度与SP的平方根成反比。同理，可推出物体沿弧QR运动时，物体的速度与SQ的平方根成反比。现在假设弧PQ与QR之比等于速度的比值，即等于SQ的平方根与SP的平方根的比值，或等于SQ∶，写成等式，即为弧PQ∶QR＝∶＝SQ∶。因为角SPQ等于角SQr，面积PSQ等于面积QSr，所以弧PQ比Qr等于SQ比SP。取互成正比的部分间的差，得弧PQ比弧Rr等于SQ比SP-（或者VQ）。而当点P与点Q重合时，SP-与VQ的最终比值为1。

因为当物体划过弧PQ受到的阻力，使弧PQ减少的量（或者2Rr）与阻力和时间的平方的乘积成正比，故阻力与成正比。但是PQ∶Rr＝SQ∶VQ，因而与（或者是）成正比。当点P与点Q重合时，三角形PVQ变为一个直角。因为三角形PVQ与三角形PSO相似，PQ∶VQ＝OP∶OS，因此与阻力成正比，即是与P点的介质密度和速度平方的乘积成正比。从此值中减去速度的平方，余下的部分即为P点处的介质密度，这个密度与成正比。假设已知该螺旋线，因为OS与OP的比值是确定的，那么P点处的介质密度与成正比。因此如果已知一个介质的密度与距离SP成反比，那么当物体在此介质中运动时，则物体的运动轨迹即为此螺旋线。

证明完毕。

推论1　如果物体在无阻力介质中运动时，因受到相等向心力的作用，而绕以SP为半径的圆运动，那么物体做此圆周运动的速度等于物体沿螺旋线运动时在任意点P的速度。

推论2　如果已知距离SP，那么介质密度与成正比，而如果距离SP为未知量，那么介质密度则与成正比。由此可知，在任意密度的介质中，螺旋线都是适用的。

推论3　在任意点P（如图4-2），物体受到的阻力与向心力之比等于OS∶OP。因为此二力的比值等于Rr比TQ，或者等于比。换而言之，即此比值等于VQ比PQ，或者等于OS比OP。因此可据此求出螺旋线，而由此求出的螺旋线又可推出阻力与向心力之比。反之，如果已知此二力的比值，又可求出螺旋线。

推论4　只有当物体受到的阻力小于向心力的一半时，物体才会沿此螺旋线运动。于是假设阻力等于向心力的一半，那么螺旋线将与直线PS重合。当物体沿此直线PS下落，落点为螺旋线的中心时，物体获得一个速度。而先前也讨论过当物体在无阻力介质中运动时，沿抛物线下落得到另一速度，那么这两个速度的比值等于的平方根。所以物体下落所用的时间与速度成反比，此时即求出了时间。

推论5　如果螺旋线PQR上的各点到中心的距离等于直线SP上相应点到中心的距离（如图4-3），物体在螺旋线PQR上的速度等于在直线SP上距离相等的点的速度，螺旋线的长度OP与直线PS的长度OS的比值为一确定比值。所以物体沿螺旋线下落时所用的时间与物体沿直线PS下落所用时间之比也等于OP与OS之比，所以这个比值也是确定的。

推论6　如果以S为中心，分别以任意两条不等的线段为直径，作出两个同心圆。保持这两个圆不变，而螺旋线与半径相交角度作出任意改变，那么当物体在这两个圆之间沿螺旋线运动时，物体旋转的圈数与成正比，或者与螺旋线和半径OS相交的交角的正切成正比，而且物体做此环绕运动所用时间与成正比，即与上述交角的正割成正比，与介质密度成反比。

推论7　已知一个介质的密度与其所在点与中心的距离成反比。如果物体在该介质中运动时，环绕介质中心沿任意曲线AEB运动，它与第一条半径AS相交于点B，这点的相交角等于物体在A点的交角，并且B点的速度与在A点的初速度之比与点到中心的距离的平方根成反比（即AS与AS和BS的比例中项的比值），那么此种情况下，物体将连续经过无数个相似的环绕曲线BFC、CGD等，而且根据这些曲线与半径AS的交点，将AS分成AS、BS、CS、DS等部分，这些部分连续成正比。但是此环绕运动所用时间与物体环绕曲线的周长AEB、BFC、CGD等成正比，与这些曲线的起点A、B、C处的速度成反比，即是与、、成正比。物体到达中心所需的总时间与做第一圈环绕运动所用时间的比值等于连续成正比的项、、等（直至无限）的总和与第一项的比值，也即是等于第一项与前两项的差（-）之比，或者是约等于AS与AB的比值。由上述比例式即可求出总时间。

推论8　根据推论7也可推导出物体在密度均匀或者密度遵循其他任意设定规律的介质中的近似运动。以S为中心，连续成正比的线段SA、SB、SC等为半径，作若干个同心圆。假设当物体在上述介质中运动时，物体在任意两个圆间做环绕运动的时间与物体在一个设定的介质中时，在相同两个圆间做环绕运动的时间之比近似等于在这两个圆之间，设定介质的平均密度与两个圆之间的上述介质的密度之比。在上述介质中，物体做环绕运动时的轨迹螺旋线与半径AS相交形成一个交角，而在设定介质中，物体做环绕运动所形成的新的螺旋线与同一条半径相交形成另一个交角，这两个交角的正割相互间成正比，并且在相同的两个圆之间物体旋转的圈数近似地与上述两个交角的正切成正比。如果在每两个圆之间都做此环绕运动，那么物体将连续通过所有的圆。通过运用此方法，易求出物体在任意规则介质中做环绕运动和时间。

推论9　虽然这些偏心运动的轨迹并不是圆形，而是近似于椭圆形的螺旋线。但是如果假设沿这些螺旋线的若干环绕运动形成的曲线间的距离相等，并且近似等于上述螺旋线到中心的距离，根据此，我们也能理解物体沿此螺旋线的运动是怎样进行的。

命题16　定理13

如果介质中各点的密度与该点到固定中心的距离成反比，而各点的向心力则与距离的任意次幂成反比，那么在介质中的物体将沿一条螺旋线运动，此螺旋线与所有端点在固定中心的半径相交的角都是一个确定的角度。（如图4-4）

此命题的证明方法与命题15相同。如果在P点的向心力与距离SP的任意次幂（即SPn＋1，此幂的指数为n＋1）成反比。那么与前一命题相同，可以推导出物体经过任意弧PQ所用时间与PQ×，且P点的阻力与或成正比，因此阻力与成正比，因为是一个确定量，故阻力与SPn＋1成反比。由于速度与SP成反比，所以P点的密度与SP成反比。

推论1　阻力与向心力之比等于（1-n）×OS比OP。

推论2　如果向心力与SP3成反比，那么1-n等于零。因此此时的情形与第1编命题9相同，介质的阻力和密度都为零。

推论3　如果向心力与半径SP的任意次幂成反比（但是这个幂的指数必须大于3），那么推动物体运动的那个力将变为阻碍物体运动的阻力。

附注

命题15和命题16皆是处理有关物体在密度不均匀的介质中的运动，且在两命题中物体的运动都非常小，以至于当介质的一侧大于另一侧的密度时，可以忽略不计。同样，还假设阻力与密度互成正比，如果一个介质的阻力不与密度成正比，那么在这个介质中，为了使阻力超出或不足的部分得以抵消或补足，密度则必然会迅速地随之增减。

命题17　问题4

已知一物体在介质中环绕一条给定的螺旋线运动，并且在运动过程中，物体的速度的规律已知。求介质的向心力和阻力。

已知此螺旋线为PQR。根据物体经过极短弧PQ的速度可以求出所用的时间。再根据与向心力成正比的横线段TQ以及才求出的时间的平方，可求出向心力。之后则由在相等时间段内经过的面积PSQ与QSR的差，可求出物体的变慢率。最后根据这个比率即可求出介质的阻力和密度。

命题18　问题5

已知向心力的规律。如果一介质使物体环绕一条给定的螺旋线运动，求介质中各点的密度。（如图4-5）

根据已知的向心力即可求出物体在介质中各点的速度。正如前一命题一样，根据速度的变慢率，即可求出介质密度。

但是在本编的命题10和引理2中，我已解释了解决这种类型的问题的方法，故在此就不再详细求解这些问题了。我接下来要讨论的内容将是一些关于运动物体的力，以及一些关于物体在此介质运动时，介质的密度和阻力。