第5章
流体密度和压力；流体静力学

流体的定义

若任意物体在任意力作用于其上时，其外形发生变化，并且这种形状的改变使物体内的物质轻易地在相互之间运动。

命题19　定理14

已知盛装在任意静止容器内的流体是均匀且静止的，若不考虑流体的凝聚力，重力以及向心力，那么流体各方向受到的压力相等，并且流体的各部分不会因为这个压力而运动，而是继续停留在各自原来的位置上。

情形1　假设流体盛装在一个球体容器ABC内（如图5-1），并且各个方向都受到均匀压力的作用。那么流体的各部分都不会因为此压力而运动。如果流体中任意部分D因此压力而运动，那么流体中其他到球心的距离与之相等的所有部分在同一时间也必然会做类似运动。因为这些部分受到的压力都是相似并且相等的，而不是由于此压力产生的运动则不予考虑。但是，如果这些部分都朝向球心运动，那么流体必然会朝向球心方向聚集，但是这与假设的条件相矛盾。而如果这些部分远离球心运动，那么流体中的各部分则朝向球面方向聚集，但是这同样也与假设条件相矛盾。因为这些部分无论朝向哪个方向运动，它们到球心的距离都不可能保持不变。所以除非流体的各部分同时朝两个相反的方向运动，否则它们到球心的距离不可能保持不变。但是，因为同一个部分不可能同时朝相反的方向运动，故流体的各部分都会停留在其原来的位置。

证明完毕。

情形2　已知流体分为无数个球形部分，且所有球形的各个方向受到的压力相等。假设EF是流体中任意的一个球形部分。但是，如果假设EF的各方向上受到的压力不相等，那么会向受到压力较小的部分上增加压力，直到EF在各方向上受到的压力都相等。根据情形1，EF的各部分都会停留在原来的位置。但是又由情形1，在压力增加时，各部分仍会停留在原处。而根据流体的定义，在EF上加上一个新的压力后，EF的各部分都会离开原地运动。现在得到的两个结论是相互矛盾的，因此在假设条件中，球形部分EF的各方向受到的力不相等，这是错误的。

证明完毕。

情形3　另一方面，球形部分的不同部分受到的压力也相等。根据第三定律，球形部分中各个相邻的部分在它们相接触的点上互相施加的压力相等。但是由情形2，各个部分也会向它的各个方向施加相等的压力。因为通过中介球形部分的作用，任意两个不相邻的部分也会有相互作用的力，并且向各自施加的压力也相等。

证明完毕。

情形4　流体中所有的部分受到的压力处处相等。因为流体中任意的两部分都会与某些其他的球形部分相接触，那么根据情形3，这两部分对其他球形部分施加的压力相等，并且根据定律3可知，它们受到的反作用力也相等。

证明完毕。

情形5　因为如同流体盛装在容器时一样，流体的任意部分GHI也会被流体的其他部分包围，且各方向受到的压力相等。并且GHI内的各部分相互间作用的压力也相等，故它们相互之间会保持静止。所以由此推出，在任意流体中，如同GHI一样，各方向受到的压力相等的所有部分相互之间施加的压力相等，因此各部分间会保持静止。

证明完毕。

情形6　如果流体盛装在一个静止容器中，此容器由有弹性的材料或者是非刚性的材料制成，因此流体各方向受到的压力不相等。那么根据流体的定义，容器同样也会因为此较大压力而变形。

证明完毕。

情形7　已知流体盛装在一个无弹性或刚性的容器中。如果流体的一边受到的压力比另一边受到的压力大，那么流体内不会维持这个较大压力，而是在瞬间内，就屈服于这个较大压力。但因为容器的刚性边并不会因为流体内的运动而变形，不过此时运动的流体会压迫容器的对边，因此施加在流体中各部分上的压力会瞬间变为相等。而一旦流体受到最大的压力的作用而运动时，其容器对边的阻力就会阻碍流体的运动，那么流体在各方向上受到的压力会在瞬间就变为相等，而不使流体的任何局部发生运动。由此可知，流体的所有部分相互间施加的压力相等，且会维持静止状态。

证明完毕。

推论　如果由外表面将压力传递入流体，那么流体各部分的相互位置不会改变。除非流体的形状改变，或者所有的流体部分相互间施加的压力瞬间增强或减弱，流体的各部分间的滑移有或多或少的困难。

命题20　定理15

如果一个球状流体置放于与之同心的球形底面上。在这个流体中，到球心距离相等的各部分是均匀的，并且所有的流体部分都被吸引朝向球心。那么底面承受的重量是一个圆柱体的重量，此圆柱体的底与底面的表面相等，而高度则等于流体的高度。（如图5-2）

假设DHM是底面的表面，AEI则为流体的上表面。根据无数个球面BFK、CGL等，将流体划分为厚度相等的同心球壳。如果重力只作用于每个球壳的表面，并且所有表面上相等部分上受的重力相等。那么最上层表面AEI受到的压力即为其自身重力。根据命题19，此重力作用于最上层表面以及第二层表面BFK的所有部分，并且按照其各部分的大小受到相等的压力。同理，第二层表面BFK也会受到其自身的重力作用，而且此重力可以与最上层表面AEI向BFK施加的力相叠加，因此第二层表面BFK的所有部分受到的压力相对于第一层表面加倍。至于第三层表面CGL受到的压力，则可根据该力的大小，把CGL本身的重力与前两层表面施加于其上的压力相叠加，那么压力就变为第一层表面受到的压力的三倍。以此类推，第四层表面受到的压力是第一层的四倍，第五层表面受到的压力是五倍，依此类推则可推出以下的无数层表面受到的压力情况。因此每层表面受到的压力并不与该层流体的体积成正比，而是与该层球壳与流体的最上层球壳之间的球壳层数成正比。换言之，每层球壳受到的压力等于最上层表面的重力乘以该层数。令球壳的数量无限增加，则此时每层球壳的厚度无限减小，使得最上层球壳到最底层的重力作用可以连续。那么此时流体最上层受到的压力等于一个体积的重量，此体积与上述圆柱的最终比值为1。因此最底层表面承受的重量等于上述圆柱的重量。

证明完毕。

同理，根据下述理由也可以使该命题得证：如当各层球壳到中心的距离为任意确定比值时，流体的重力按该确定比值减小，又或是流体的外层部分比内层部分稀薄。

证明完毕。

推论1　底面受到的压力并不等于流体的总重量，而是只等于在命题中描绘的那个圆柱体部分的重力，至于流体剩余部分的重量则是由流体的球形表面承受。

推论2　不论流体表面受到的压力是平行于水平面，垂直于水平面，还是与水平面间有一个倾斜的角度，又或者是不论流体是沿直线垂直地从受压表面中向上涌出，还是倾斜地从一个蜿蜒曲折的洞穴或渠道中流出，也不论这些流体流出的通道是规则还是不规则的，宽阔的还是狭窄的，流体中到球心距离相等的部分受到的压力始终是相等的。并且其受到的压力并不会因为上述条件而有任何改变。因此若将本定理一一应用到流体的若干种情形中，则可证明这个推论。

推论3　根据命题19，运用与之相同的证明方法还可推出以下结论：除了因为流体的凝聚力而产生运动力，一个重量较大的流体中的各部分之间并不会因为流体上层重量的压力而产生相互运动。

推论4　如果有一个不会压缩的物体与流体的比重相同，那么将此物体放入流体中后，物体将会受到位于其上的流体的重力作用，但是这个物体并不会因为此重力的作用而在流体中运动。详细地说，就是在流体中，该物体既不会上浮也不会下沉，并且物体的形状也不会有任何改变。即无论该物体是柔软的，还是流体的，也不论物体是在流体中自由游动，还是沉在流体的底部，如果该物体是球形，那么在承受压力后，物体并不会因为此压力而改变形状。而如果物体是方形，那么在承受压力后，物体仍将维持其方形形状。因为流体内部的任意部分的状态与置入流体的物体的状态是相同的，而如果沉入流体的物体的尺度，形状以及比重相等，那么他们在流体中的状态也是相似的。如果保持沉入流体的物体的重量不变，但将各部分分解开来，并将此转化为流体，那么因为其重力和其他导致物体运动的原因都是保持不变的。所以，如果在物体分解前，无论物体是上浮还是下沉，在物体分解后，该物体仍将维持上浮或是下沉的状态。并且，如果在物体分解前，物体因为受到某种压力而改变形状，那么在物体分解后，它仍会改变为一种新形状。但是，由命题19情形5可得，它现在应是静止的保持其原形。情形相同。

推论5　如果物体的比重大于它邻近的流体，那么流体将下沉。而若物体的比重小于它邻近的流体，则物体将上浮。那么物体的运动或者形状的改变都与较邻近流体重力超出或不足的部分成正比。因为就如同在天平的一端增减重量，使整个天平得以保持平衡的情况，重力超出或不足的部分对于物体而言就类似于一次脉冲，它作用于流体的所有部分，从而流体的平衡状态被打破，因此物体开始运动。

推论6　置于流体中的物体具有双重重力。其中一个是其真正的重力，是绝对的，而另一个则是它的表面表现出的重力，是相对的。绝对重力指的是作用于物体从而使物体向下运动的全部力，相对重力则是物体超出周围流体的重力，但是它也使物体向下运动。但是两者间不同的是，绝对重力使流体以及物体的全部部分运动到适当位置，因此它们的重力组合在一起就构成了全部重力，因为正如同装满液体的容器一样，其中所有物质的全部重力合在一起就是总重量，并且所有部分的重量之和就等于总重量。所以总重量是由处于其中的所有部分组成的，但是相对重力则不会使物体运动到适当位置。通过相互比较后，此相对重力在流体受到的力中并不是主要力，而是阻碍相互间的下沉倾向，使其如同没有重量一样，停留在原处。上述结论如应用到空气中，则可得到如下结论：比空气轻的物质通常被视为是无重量的，而比空气重的物质则有重量。因为空气的重量不能承担比它重的物体，所以通常情况下，人们所说的重量即是物体的重量大于空气重量的那部分。同样，被称之为轻物质的重量非常小，轻于周围的空气，那么这类物质在空气中就会向上浮动。但是这些轻物质只是相对于空气的重量而言，而不是真正的没有重量。因为若将此物质放入真空，它仍会下沉。所以在水中的物质，通过比较它与水的重量，而上浮或下沉，故在水中它的重量也是相对的，是表面显现出来的轻或重。物质表面显现出来的相对重力即为物质的真实重量相较于水而言超出或者不足的部分。虽然沉入水中的物体确实增加了流体的总重量，但是一般而言，那些比周围流体重却不下沉的物体，以及那些比周围流体轻却不上浮的物体，它们在水中是没有相对重量的。以下就开始说明这些情形。

推论7　若此重力是在其他任意一种有向心力的情况中，那么上述已证明过的结论仍然成立。

推论8　如果一介质受到其自身重力或其他向心力的作用，那么在此介质中运动的物体是受到同样的力更强烈的推动作用，而这两种力的差就是这个更强烈的推动力。但在之前的命题19中，我将此力视为向心力。但是，如果受到这个力的推动作用较轻，那么这两个力的差则变为离心力（同样也可视为此力起离心力的作用）。

推论9　因为在流体向置于其中的物体施加压力时，物体的外部形状并不发生改变。根据命题19的推论，流体内部各部分之间的相互位置关系也不会因此有任何改变。因此，如果将动物置于流体中，并且动物的所有知觉都由各部分的运动产生，那么除非动物的身体在受到压力时自动蜷缩，否则流体不会伤害处于其中的动物，也不会刺激起动物的任何知觉。而且，如果是一个物体系统全部沉入压迫流体中，那么情况也与上述情况相同。具体而言就是：除非流体妨碍了此系统的运动，或者是物体系统因为压力而被迫与流体结合，否则物体就会像处于真空中一样，受到相同运动的推动，因此只保留此相对重量。

命题21　定理16

假设一任意流体的密度与压力成正比，且流体各部分受到吸引的向心力与其到中心的距离的平方成反比，方向垂直向下。如果取出连续成正比的距离，那么到中心距离相等的流体部分的密度也连续成正比。（如图5-3）

假设ATV为流体的球形底面，S为这个球形流体的中心，SA、SB、SC、SD、SE、SF等为连续成正比的距离。作垂线AH、BI、CK、DL、EM、FN等，并取这些垂线的长度分别与点A、B、C、D、E、F等处的介质密度成正比，那么这些点的比重即与、、等成正比，或者等价地与、、等成正比。首先假设从A点到B点，B点到C点，C点到D点等流体中的重力都是均匀连续的，且B、C、D等处的重力逐级递减。根据定理15，作用于底面ATV的压力AH、BI、CK等即等于各点的重力分别乘以高度AB、BC、CD等。因此最底层的部分A受到所有的压力，即为压力AH、BI、CK、DL等直至无限，部分B受到的压力则等于除开第一个压力AH之外的所有压力，而部分C受到的压力等于除开前两个压力AH、BI的所有压力。而依此类推则可推出流体的最上层受到的压力。所以第一部分A的密度AH与第二部分B的密度BI之比等于所有压力（即AH＋BI＋CK＋DL＋…直至无限）的和比除开AH外所有压力（即BI＋CK＋DL＋…直至无限）的和。同理，第二部分B的密度BI与第三部分C的密度之比，等于除开AH外的所有压力（即BI＋CK＋DL＋…直至无限）的和比除开AH、BI外的所有压力（即CK＋DL＋…直至无限）的和。由此可知，这些和与它们间的差AH、BI、CK等成正比。根据第1编的引理1，可得所得的这些和也连续成正比，故与这些和成正比的差值AH、BI、CK等也连续成正比。如果从连续成正比的距离中每间隔一项就取出一个距离项，即为距离SA、SC、SE等，那么可得这些项也是连续成正比的，所以与这些距离对应处的介质密度AH、CK、EM也连续成正比。依类似理由，如果每间隔两项取出距离项，即为SA、SD、SG等，那么它们连续成正比，所以对应的密度AH、DL、GO也连续成正比。现在假设A、B、C、D、E等点无限趋于重合，使流体中由底部A到顶部的比重级数连续，因为任意距离SA、SD、SG连续成正比，那么与之对应的密度AH、DL、GO也连续成正比，所以这些密度此时仍然连续成正比。

证明完毕。

推论　（如图5-4）如果已知A点和E点的流体密度，那么可求出任意其他部分Q的密度。以S为中心，互成直角的直线SQ、SX为渐近线，作一双曲线，且此双曲线与垂直于渐近线SQ的直线AH、EM、QT交于点a、e、q，而且也与垂直于渐近线SX的直线HX、MY、TZ交于h、m、t。作面积YmtZ与确定面积YmhX的比值等于确定面积EeqQ与确定面积EeaA的比值，延长zt剩下的线段QT与密度成正比。如果线段SA、SE、SQ连续成正比，那么面积EeqQ将等于面积EeaA，因此与它们分别成正比的面积YmtZ、XhmY也相等。并且显然地，线段SX、SY、SE，即AH、EM、QT连续成正比。于是，如果线段SA、SE、SQ按其他任意的顺序构成连续成正比的序列，那么因为双曲线面积是连续成正比的，则线段AH、EM、QT也将按上述相同的顺序构成另一个连续成正比的序列。

命题22　定理17

假设任意流体的密度与压力成正比，且流体各部分受到的吸引向心力与其到中心距离的平方成反比，而向心力的方向垂直向下。如果取出连续成正比的距离，那么相对应于这些距离处的流体密度将构成一等比级数。（如图5-5）

假设S为流体的中心，距离SA、SB、SC、SD、SE构成一个等比级数。作与A、B、C、D点的流体密度成正比的垂线段AH、BI、CK等。那么在这些点的流体比重等于、、等。假设从A点到B点，B点到C点，C点到D点等处的重力是均匀连续的，而表示压力的、、等即等于这些点的重力乘以高度AB、BC、CD、DE等，或者等价地，等于重力乘以与上述高度成正比的距离SA、SB、SC等。因为密度与这些压力之和成正比，所以密度之差AH-BI，BI-CK等与压力的和之间的差、、等成正比。之后以S为中心，SA、Sx为渐近线，作一条任意的双曲线，此双曲线与垂直于渐近SA的直线AH、BI、CK等交于点a、b、c等，与垂直于渐近线Sx的直线Ht、Iu、Kw相交于h、i、k。那么密度的差tu、uw等则分别与、等成正比，即是与Aa、Bb等成正比。根据双曲线的性质，SA∶AH（或St）＝th∶Aa，因此＝Aa。以此类推，＝Bb，等等。但是因为Aa、Bb、Cc等连续成正比，故它们也与它们间的差Aa-Bb，Bb-Cc等成正比，所以可推出矩形tp、uq等与上述的差值成正比，由此可得：这些矩形也与矩形的和tp＋uq（或是tp＋uq＋ur）和这些和值的差Aa-Cc（或Aa-Dd）成正比。假设这些项中有数项与所有矩形的和zthn成正比，同样也假设所有差的和，如Aa-Ff，也与所有矩形的和zthn成正比。增加项的数目并减小点A、B、C…的距离以至无穷，则那些矩形之和就等于双曲线的面积zthn，因此所有差的和Aa-Ff与双曲线面积zthn成正比。取任意点A、D、F，使距离SA、SD、SF构成一个调和级数，那么差Aa-Dd，Dd-Ff将相等。所有与上述差成正比的面积thlx、xlui相互间相等，并且密度St、Sx、Sz，即AH、DI、FN连续成正比。

证明完毕。

推论　如果已知流体中的任意两个密度AH、BI，那么即可求出与密度的差tu对应的面积thiu。因此通过求出面积zhnz，它与才求出的面积thiu的比值等于差Aa-Ff与Aa-Bb的比值就可求出在任意高度SF处的密度FN。

附注

同理可证，如果流体中各部分的重力与其到中心距离的三次方成正比，并且与距离SA、SB、SC等的平方成反比，如、、。上述是按照等差级数取值，如果照这样取值，那么我们会看到，密度AH、BI、CK等将构成一个等比级数。而如果重力与距离的四次方成正比，并且与距离立方的倒数（即、、）成正比，按等差级数取值，那么AH、BI、CK等也构成一个等差级数。依此类推，可至距离的无限次方。同理，如果流体各部分的重力在流体中是处处相等的，且按照一个等差级数取出距离，那么将如同哈雷先生曾发现的一样，流体各部分的密度将构成一个等比级数，而如果重力与距离成正比，且各部分距离的平方按等差级数排列，那么密度构成的仍然是一个等比级数。依此类推直至无限。在下述情况下，上面的所有情形仍然成立，比如当流体受到压迫力的作用时，流体会凝聚，此时流体的密度与受到的压力成正比，或者等价地，当物体的体积（即流体占据的空间）与压力成反比时。而依据上文，同样可以设想出其他的流体凝聚规律，比如凝聚力的立方与密度的四次方成正比，或者是压力间比值的三次方等于密度间比值的四次方，在此情况下，如果流体中各部分的重力与其到流体中心距离的平方成反比，那么流体的密度将与距离的立方成反比。假设压力的立方与密度的五次方成正比，那么在此压力的作用下，如果流体各部分的重力与距离的平方成正比，则密度与距离的次幂成反比。而若假设压力与密度的平方成正比，在此压力的作用下，如果流体各部分的重力与其到中心距离的平方成反比，那么密度与距离也成反比。但是如果将上述的情形都运算一遍，则未免太冗长了。但是通过实验即可确认，空气中的密度是非常精确地与压力成正比，或至少它们间的正比关系也是非常近似的。因此地球大气层中的空气密度与上层空气的全部重量成正比，即体现在测量工具上，就是与气压表中的水银柱高度成正比。

命题23　定理18

如果相互离散的离子构成了一个流体，且这个流体的密度与压力成正比，那么各粒子的离心力与其到流体中心的距离的平方成正比。反之，如果相互离散的粒子构成了一个弹性流体，且各粒子的离心力与其到中心距离的平方成反比，那么流体各部分的密度与其受到的压力成正比。（如图5-6）

假设流体置放于一个立方空间ACE内，而当流体受到某个压迫力时，流体被压缩到能置放进一个更小的立方空间ace中。在这两个立方空间中，粒子间距离的相互位置关系相似：其粒子间距离都与各自所在的立方体的边AB、ab成正比，并且流体的密度分别与所在立方空间的体积AB3、ab3成反比。在较大立方空间上的一个平面ABCD取一个正方形DP，使DP等于小立方空间的正方形db。根据假设条件，正方形DP对其内的密封流体有压迫作用，此压迫力与正方形db对其内密封流体的压迫力之比等于两个流体的密度之比，即ab3∶AB3。但若是同在大立方流体中，其平面边DB对流体的压迫力与正方形DP对相同流体的压迫力之比等于正方形DB与正方形DP之比，即AB2∶ab2。将上两式的对应项相乘，得正方形DB对其内密封流体的压迫力与正方形db对其内密封流体的压迫力之比等于ab比AB。分别在这两个立方空间中插入平面FGH、fgh，使这两个平面分别把流体分为两个部分，而流体的这两部分相互间的压力等于平面AC、ac对它们施加的压力，即这两部分间的压力比等于ab比AB，并且已知维持流体受到该压力的是流体的离心力，这些离心力相互间的比值也等于ab比AB。因为在这两个立方体中，构成流体的粒子数量相等，粒子相互间的位置关系相似，并且被平面FGH，fgh隔开的立方体内，所有粒子作用于全体的力与各离子间相互作用的力成正比，因此大立方体被平面FGH隔开后，各粒子间相互作用的力与小立方体被平面fgh隔开后，各粒子间相互作用的力之比等于ab比AB，于是可推出各粒子间的力与粒子间的距离成反比。

反之亦然。如果流体中单个粒子的力与距离成反比，换而言之，即是这个力与粒子所在的立方体的边AB，或ab成反比，并且这些力的和也与边AB、ab成反比，而且它们也与DB、db各边受到的压力成正比。因此正方形DP的压力与边DB受到的压力之比等于ab2∶AB2。上两式的对应项相乘，得正方形DP受到的压力与边db受到的压力之比等于ab3比AB3。换而言之，一个立方体的压力与另一个立方体的压力之比等于前者的密度与后者的密度之比。

证明完毕。

附注

同理：如果各粒子的离心力与其到流体中心距离的平方成反比，那么流体受到的压力的立方与密度的四次方成正比。而如果离心力与距离的三次方或四次方成反比，那么压力的立方与密度的五次方或六次方成正比。通常，如果用D表示距离，E表示受压迫流体的密度，并且粒子的离心力与距离的任意次幂Dn（此幂的指数为n）成反比，那么压力则与幂En＋2的立方根成正比（此幂的指数为n＋2），而反之亦然。但上述所有情形都必须发生在离心力仅存在于相邻粒子间的情况下，又或者是粒子相互间的距离不大的情况下。磁体就是一个这方面的好例子。当在磁体间置入一个铁板时，因为与磁体的距离较远的粒子所受到的磁体的吸引力比铁板对此粒子的吸引力弱，所以磁体内的吸引力会因此而减弱，或者说在该铁板上时就几乎没有了。那么，如果参照此方法，粒子对位于它附近的同类粒子有排斥作用，但对距离其较远的粒子则几乎没有吸引作用。所以由这类型的粒子构成的流体即为本命题中讨论的流体。而若粒子的吸引力朝它的各个方向无限扩散，那么若要构成一个密度与之相等，但量更大的流体，则需要流体间有一个更大的凝聚力。但是不论弹性流体是否是由相互排斥的粒子构成的，此问题都属于物理学问题。但是在此，我们只在数学层面上证明由这类粒子构成的流体的性质，但是哲学家若对此问题有兴趣，可以尝试讨论一下这个问题。