第3章
受部分与速度成正比而部分与速度平方成正比的阻力作用的物体的运动

命题11　定理8

当物体只受到惯性力的作用而在均匀介质中运动时，如果物体所受的阻力部分与速度成正比，而部分则与速度的平方成正比，并且把物体运动的总时间按等差级数划分，那么与速度成反比的量在增加某个确定值后，将会构成一个等比级数。

以点C为中心，互成直角的直线CADd和CH为渐近线，作双曲线BEe，并作平行于渐近线CH的直线AB、DE和de。假设已知位于渐近线上的点A、G的位置，如果用均匀增加的双曲线面积ABED表示时间，那么速度则可用CD表示，因为不定线段CD由与GD成反比的长度DF和确定线段CG共同组成，所以速度按等比级数增加（如图3-1）。

假设面积DEed表示时间的最小增量，那么Dd与DE成反比，故Dd与CD成正比。根据第2编的引理2，的减量，同样与或成正比，化简得：与成正比。所以在加上确定间隔EDde而让时间ABED均匀增加时，按与速度相等的比值减小。因为速度的减量与阻力成正比，那么根据假设条件，该减量即与某两个量的和成正比，而在这两个量中，其中一个量与速度成正比，另一个则与速度的平方成正比。而的减量则与量和成正比，其中第一项是本身，而第二项则与成正比。因此与速度成正比，而这两个的减量是类似的。故如果量GD与，加入确定量CG，那么随时间ABED均匀增加，其和CD将按等比级数增加。

证明完毕。

推论1　如果已知点A和G的位置，且时间用双曲线面积ABED表示，那么速度可用GD的倒数表示。

推论2　通过取GA与GD的比值等于任意时间ABED开始时物体速度的倒数与该时间段结束时物体速度的倒数的比值，那么可求出点G。而由求出的点G，可根据任意其他的已知时间求出物体的速度。

命题12　定理9

在与命题11的条件相同的情况下，如果物体运动的距离按等差级数划分，那么速度在增加某一确定量后，将按等比级数增加。

在渐近线CD上取一点R，过点R作垂直于CD的直线RS，且RS交双曲线于S。假设物体运动的距离用双曲线面积RSED表示，那么速度将与GD的长度成正比。而当面积RSED按等差级数增加时，此长度GD与确定线段CG组成的长度CD按等比级数减小。

因为已知距离的增量EDde，故GD的减量——短线段Dd与ED成反比，因此Dd与CD成正比。换而言之，即Dd与同一个量GD和确定长度CG的和成正比，但是在与速度成正比的时间段内（此时间即为物体经过给定距离DdeE所需时间），速度的减量与阻力和时间的乘积成正比，即与某两个量的和成正比（这两个量中，其中一个量与速度成正比，另一个则与速度的平方成正比）。因此速度与这两个量的和成正比，这两个量中，其中一个量为确定的，另一个量则与速度成正比。所以速度减量与线段GD的减量都同样与一个已知量和一个减少量的乘积成正比。因为这两个减量是相似的，故减少的量，即速度和线段GD，也是相似的。

证明完毕。

推论1　如果速度用GD的长度表示，那么物体运动的距离与双曲线面积DESR成正比。

推论2　如果假设点R为任意设定的点，那么通过取GR与GD之比等于物体开始运动时的速度与物体经过距离RSED后的速度之比，可求出点G。而由求得点G，则可由某一确定速度求出物体运动的距离。反之亦然。

推论3　根据命题11，由已知时间可求出速度，而根据本命题，用求出的速度就可求出物体运动的距离。因此如果已知时间则可求出物体运动的距离。反之亦然。

命题13　定理10

假设物体在沿直线上升或下落的过程中，受到一垂直向下的均匀重力。而且与上述定理一样，物体在运动过程中受到的阻力部分与速度成正比，部分与速度的平方成正比。那么如果作若干条与圆和双曲线的直径平行的直线，且这些直线通过圆与双曲线的共轭直径的端点，而且由一确定点出发的若干条平行直线上的弦与速度成正比，那么时间与由中心向弦端点所作的直线切割出的扇形面积成正比。反之亦然。

情形1　已知物体做上升运动（如图3-2）。以D为圆心，任意线段DB为半径，作一个四分之一圆BETF。并过半径DB的端点B作平行于半径DF的不定线段BAP。在线段BAP上任取一点A，取线段AP与速度成正比。因为阻力一部分与速度成正比，而另一部分阻力与速度的平方成正比，故可假设整个阻力与AP2＋2BA×AP成正比。连接DA、DP，得到的两条直线分别与圆交于点E、T。假设重力用DA2表示，使重力与物体在P点受到的阻力的比值等于DA2比AP2＋2BA×AP，那么整个上升过程的时间与圆的扇形EDT成正比。

作直线DVQ，切割出速度的变化率PQ，以及与绘定时间变化率相对应的扇形DET的变化率DTV，那么速度的减量PQ与重力DA2加上阻力AP2＋2BA×AP所得到的和成正比。根据《几何原本》第二卷命题12，可得PQ与DP2成正比。又因为与PQ成正比的面积DPQ与DP2成正比，故面积DTV与DPQ的比值等于DT2比DP2，所以DTV与确定量DT2成正比。因为从面积EDT中减去确定面积DTV之后，余下的部分按未来时间的比例减小，所以余下部分与整个上升过程所用时间成正比。

情形2　如果如同前一情形一样（如图3-3），物体上升过程中的速度用长度AP表示，那么阻力与AP2＋2BA×AP成正比。但是若重力非常小，以致不足以用DA2表示，那么可以取BD的长度，使AB2-BD2与重力成正比。再假设DF垂直于DB，且DF＝DB，过顶点F作双曲线FTVE，其中DB和DF为双曲线的共轭半径，并且此双曲线分别交DA、DP、DQ于点E、T、V。那么物体上升过程所用时间与此双曲线的扇形TDE成正比。

在一已知的时间内，产生的速度减量PQ与阻力AP2＋2BA×AP加上重力AB2-BD2所得的和（即BP2-BD2）成正比。但是因为面积DTV与面积DPQ的比值等于DT2比DP2，故如果作GT垂直于DF，那么DTV与DPQ之比也等于GT2（或GD2-DF2）比BD2，或者说等于GD2比BP2。又分比，得DTV与DPQ之比等于DF2比BP2-BD2。因为面积DPQ与线段PQ成正比（即与BP2-BD2成正比），所以面积DTV与确定量DF2成正比。又因为已知确定部分DTV的不同值与时间段的数目相等，在单个相等时间内，从面积EDT中减去与对应时间的部分DTV后，余下的部分将均匀减小，故余下部分与时间成正比。

情形3　假设AP表示物体的下落速度（如图3-4），AP2＋2BA×AP表示阻力，BD2-AB2表示重力，而角DBA为直角。如果以点D为圆心，点B为顶点，作一直角双曲线BETV，且直线DA、DP、DQ分别交此双曲线于点E、T、V，那么物体下落的总时间与双曲线扇形DET成正比。

因为速度的增量PQ，以及与PQ成正比的面积DPQ，都与重力和阻力的差BD2-AB2-2BA×AP-AP2成正比（经过运算，即为BD2-BP2）。而面积DTV与面积DPQ的比值等于DT2比DP2，因此这个面积间的比值等于GT2（或GD2-BD2）比BP2，也等于GD2比BD2。由分比，得此面积的比值等于BD2比BD2-BP2。因为面积DPQ与BD2-BP2成正比，那么面积DTV与确定量BD2成正比。所以如果已知确定部分DTV的不同值与时间段的数目相等，而在若干个相等的时间段内，在面积EDT中加上与时间段对应的确定部分DTV后，面积将均匀增加，故面积与物体下落时间成正比。

推论　以D为中心（如图3-5），DA为半径，过顶点A作与弧ET相似的弧At，并且弧At的对角也是角ADT，那么在时间EDT内，物体在无阻力介质上升时，损失的速度（或物体在无阻力介质中下落时，所获得的速度）与速度AP之比等于三角形DAP的面积与扇形DAt的面积的比值，因此如果已知时间，则可求出速度AP。因为物体在无阻力介质中运动时，其速度与时间成正比，因此也与扇形DAt成正比。而物体在阻碍介质中速度则与三角形DAP成正比。所以当物体在这两种介质中的速度很小时，这两个速度接近于相等，同样地扇形和三角形也趋于相等。

附注

还可以证明这种情形：在物体上升时，重力很小，不足以用DA2或AB2＋BD2表示，但又大于以AB2-DB2表示，因而只能用AB2来表示。但是在此我并不会专门讨论此情形，而是接着开始讨论其他问题。

命题14　定理11

所有条件与命题13的条件相同，在物体上升或下落的过程中，如果按等比级数取出物体受到的阻力和重力的合力，那么物体运动的距离与表示时间的面积减去另一个按等差级数增减的面积所得的差成正比。

如图所示，在这三个图形中，皆取出线段AC与重力成正比，而取线段AK与阻力成正比，并且如果物体处于上升过程中，那么这两条线段都是从点A的同一侧取出。但是如果物体处于下落过程中，那么两条线段则处于点A的两侧。作垂线段Ab，使Ab∶DB＝DB2∶（4BA×AC）。再以互成直角的直线CK，CH为渐近线作一条双曲线bN。作KN垂直于CK，那么按等比级数取出力CK时，面积AbNK将按等差级数增减。因此，物体在运动过程中达到的最大高度与面积AbNK减去面积DET的差成正比。

因为线段AK与阻力成正比，也即是与AP2×2BA×AP成正比。假设Z为任意确定的量，取AK等于。那么根据本编的引理2，AK的变化率KL等于或者是。而面积AbNK的变化率KLON则等于或者。

情形1　已知物体做上升运动，且重力与AB2＋BD2成正比，BET是一个圆，与重力成正比的线段AC等于，而DP2或者AP2＋2BA×AP＋AB2＋BD2等于AK×Z＋AC×Z或者CK×Z。因此，面积DTV与面积DPQ的比值等于DT2（或DB2）比CK×Z。

情形2　已知物体做上升运动，且重力与AB2-BD2成正比，与重力成正比的线段AC等于，而DT2比DP2等于DF2（或DB2）∶（BP2-BD2）（或AP2＋2BAP＋AB2-BD2），即DT2比DP2等于（BP2-BD2）∶（AK×Z＋AC×Z）（或者CK×Z），因此面积DTV与面积DPQ的比值等于DB2比CK×Z，答案与前面相同。

情形3　同理，已知物体在下落过程中，因此重力正比于BD2-AB2，而线段AC等于，故面积DTV与面积DPQ的比值等于DB2比CK×Z。（如图3-6）

因为这些面积间的比值始终都是这个比值（即DB2比CK×Z），那么如果在表示时间的变化率时，用任意确定乘积BD×m代替始终保持不变的面积DTV表示时间的变化率，那么DPQ的面积×BD×PQ与BD×m的比值等于CK×Z比BD2，故PQ×BD3＝2BD×m×CK×Z，而此前求出的面积AbNK的变化率等于。从面积DET中减去它的变化率DTV或是BD×m，那么余下的部分为。因此面积的变化率之差（即是面积之差的变化率）等于，而且因为为一确定值，所以面积之差的变化率与速度AP成正比，换言之，即与物体在上升或下落过程中运动的距离的变化率成正比。因此面积之差与变化率成正比，并且与变化率同时开始或结束的距离的增减也成正比。

证明完毕。

推论　如果面积DET除以线段BD得到一长度，且此长度用M表示。而根据DA与DE的比值，取出另一长度V，使V比M等于此比值。那么物体在阻碍介质中上升或下落时运动的总距离与物体在无阻力介质中从静止状态开始下落时，在相同时间内运动的总距离的比值，等于面积之差比。因此如果已知时间，则可求出物体运动的总距离。而在无阻力介质中，因为物体运动的距离与时间的平方成正比，或者说是与V2成正比，BD和AB已知，那么这个距离与成正比，而该面积则等于面积，而M的变化率为m，故这个面积的变化率为。但是因为这个变化率比面积DET和面积AbNK之差的变化率（即）等于比×BD×AP，或者这两个变化率的比值等于×DET与DAP的比值，所以当面积DET与DAP的比值为极小值时，DET与DAP相等。因此当所有的面积的值都达到极小值时，面积的变化率等于面积DET减去面积AbNK所得差的变化率，故这两者也相等。因为在物体刚开始下落时，物体的初速度与物体要停止上升时，物体的末速度是趋于相等的，故在下落和上升过程中，物体运动的距离也是趋于相等的，所以这两个距离的比值等于面积比面积DET减去面积AbNK所得的差。又因为当物体在无阻力介质中运动时，物体运动的距离与连续成正比，而当物体在有阻力介质中运动时，物体运动的距离与面积DET减去面积AbNK所得的差成正比，所以由此推出，在任意相等的时间内，物体在这两种介质中运动的距离之比等于面积比面积DET减去面积AbNK所得的差。

证明完毕。

附注

当球体在流体中运动时，它受到的阻力部分来自流体的黏性，部分来自球体与流体的摩擦，而其余部分则来自流体的密度。其中由流体密度产生的那部分阻力与速度的平方成正比，由流体的黏性产生的另一部分阻力则是均匀的，且与时间的变化率成正比。因此我们现在应该继续探讨这类在流体中的运动。因为此球体受到的阻力部分来自一个均匀力，或者与时间的变化率成正比，部分阻力与速度的平方成正比。但是通过命题8、命题9以及其推论，这个问题可以很容易地解决，而不会遇到阻碍。因为在这两个命题中，当物体只受惯性力的推动作用时，物体上升过程中重力产生的均匀阻力，在球体在流体中运动时，此均匀阻力可以用由介质黏性产生的均匀阻力代替，那么当物体沿直线上升时，在重力中叠加上此均匀阻力，而物体下落时，则从重力中减去此均匀阻力。同样接下来我们还可以讨论另一种物体的运动，此物体受到的阻力部分是均匀的，部分与速度成正比，部分则与相同速度的平方成正比。同上，通过命题13和命题14，我已经为解决这一问题扫清了障碍。在这两个命题中，只要用黏性介质产生的均匀阻力代替均匀重力，或者是直接把这两个均匀力复合，就可以借用上述命题来解决这一问题了。至此对此类问题的讨论已结束，接下来我们将讨论其他问题。