1.5　麦克斯韦方程组与边界条件

1.5.1　麦克斯韦方程组

麦克斯韦在引入位移电流假说的基础上，总结前人研究成果，将揭示电磁场基本规律的几个方程结合在一起，构成了麦克斯韦方程组。其积分形式为

相应的微分形式为：

▽·B=0　　（1.5.7）

▽·D=ρ　　（1.5.8）

这四个方程依次称为麦克斯韦第一、二、三、四方程。

麦克斯韦方程组是经典电磁理论的基本方程，描述了宏观电磁现象。第一方程表明，除了传导电流外，时变的电场也会产生磁场；第二方程表明，除了电荷外，时变的磁场也产生电场。第三方程表明，穿过任意闭合曲面的磁通量恒等于0，磁场无散度源。第四方程表明，穿过任意闭合曲面的电位移通量等于该闭合面内所包围的自由电荷之和。所以，在时变条件下，电场和磁场是统一的电磁场的两个方面，它们相互激励，在空间形成电磁波。一旦场源激发了电磁波，即使场源不再存在，但电场和磁场仍可相互激励，以有限速度向远处传播。

不同介质中，场量之间存在着某种限定关系，对于线性各向同性介质，这些关系为

D=εE　　（1.5.9）

B=μH　　（1.5.10）

J=σE　　（1.5.11）

这些方程称为麦克斯韦方程的辅助方程。其中，ε、μ和σ分别称为介质的介电常数、磁导率和电导率。

当场量不随时间变化时，麦克斯韦方程可变为静态场的基本方程。

1.5.2　电磁场的边界条件

当电磁场越过不同介质的分界面时，由于分界面两侧介质特性发生变化，场量在界面两侧也会发生变化。把电磁场场量在介质分界面上需满足的关系称为电磁场的边界条件。边界条件可由积分形式的麦克斯韦应用于边界上而导出。

1.H的边界条件

设有两种不同介质的分界面如图1.23所示。介质1和介质2的特性参数分别为ε1、μ1、σ1和ε2、μ2、σ2。

设分界面上法向单位矢量en由介质2指向介质1，面电流密度为JS=eSJS，eS为垂直纸面向内的单位矢量。垂直于eS方向在分界面上做一小的矩形闭合回路，回路两长边Δl位于分界面两侧并与分界面平行，高Δh→0。令回路方向与eS方向呈右手螺旋关系，回路在介质1中的绕行方向与分界面的切线单位矢量et的方向一致，故有en×et=eS。由式（1.5.1），可得

等式左边，由于Δh→0，环路两侧边的线积分可忽略。又由于 为有限值，故等式右边第二项的值也为0。于是有

H1t-H2t=JS　　（1.5.12）

表示为矢量形式为

en×（H1-H2）=JS　　（1.5.13）

可见，当H穿过存在面电流的分界面时，其切向方向是不连续的。若分界面上不存在面电流，即JS=0时，H的切向方向连续，有

H1t-H2t=0　或　en×（H1-H2）=0　　（1.5.14）

2.E的边界条件

类似地，在介质分界面上取如图1.23所示的矩形闭合回路，应用式（1.5.2），可得

同理，由于 为有限项，故上式右边项等于0。

于是有

E1t-E2t=0　或　en×（E1-E2）=0　　（1.5.15）

上式说明，分界面上E的切线方向连续。

3.B的边界条件

在两种不同介质的分界面上取一个如图1.24所示的贴近分界面的圆柱形闭合面，设上、下表面ΔS位于分界面两侧并平行于分界面，高Δh→0。设分界面法向单位矢量en由介质2指向介质1，则由式（1.5.3），可得

B1·enΔS-B2·enΔS=0

上式中，由于Δh→0，两侧边面积分被忽略。于是有

B1n=B2n或en·（B1-B2）=0　　（1.5.16）

说明在分界面上B的法向分量是连续的。

4.D的边界条件

类似地，在介质分界面上也取如图1.24所示的圆柱形闭合面，设分界面上自由电荷面密度为ρS应用式（1.5.4），可得

D1·enΔS-D2·enΔS=ρSΔS

故有

D1n-D2n=ρS　或　（D1-D2）·en=ρS　　（1.5.17）

表明D的法向分量在有自由电荷的分界面上不连续。若分界面上无自由电荷，即ρS=0，此时D的法向分量是连续的，有

D1n-D2n=0　或　（D1-D2）·en=0　　（1.5.18）

以上由麦克斯韦方程组积分形式导出了电场和磁场的边界条件。可以看出，方程组中各时间相关项对得出的结果没有影响，所以得出的边界条件在静态和时变条件下都普遍适用。

实际应用中，经常遇到的是电导率很高的良导体和电导率很低的电介质。为了简化电磁场的分析计算，常将它们近似看作是理想导体和理想介质。因此下面考察两种特殊情形下的边界条件

（1）两种理想介质分界面上的边界条件

因为介质1、2都为理想介质，故σ1=0，σ2=0。分界面上不存在自由电荷和面电流，即ρS=0，JS=0。因此，分界面上的边界条件为

en×（H1-H2）=0　或　H1t-H2t=0　　（1.5.19）

en×（E1-E2）=0　或　E1t=E2t　　（1.5.20）

B1·en-B2·en=0　或　B1n=B2n　　（1.5.21）

（D1-D2）·en=0　或　D1n-D2n=0　　（1.5.22）

由式（1.5.20）和式（1.5.22），可得

E1sinθ1=E2sinθ2　和　ε1E1cosθ1=ε2E2cosθ2

故有

这是分界面上不存在自由电荷时，分界面两侧电场与法线n的夹角θ1和θ2与介质参数间的关系。

由式（1.5.19）和式（1.5.21），可得

H1sinθ1=H2sinθ2　和　μ1H1cosθ1=μ2H2cosθ2

故有

这是分界面上不存在面电流时，分界面两侧磁场与法线n的夹角θ1和θ2与介质参数间关系。

（2）理想介质与理想导体分界面上的边界条件

设介质1为理想介质，介质2为理想导体。理想导体内，E2=0，H2=0，电荷和电流只分布于理想导体表面。因此，理想导体表面上的边界条件为

en×H1=JS　或　H1t=JS　　（1.5.25）

en×E=0　或　E1t=0　　（1.5.26）

B1·en=0　或　B1n=0　　（1.5.27）

D1·en=ρS　或　D1n=ρS　　（1.5.28）

可看出，在理想导体表面上电场只有法向方向分量，磁场只有切向方向分量。

例1.15　同轴线内导体半径为a，外导体是半径为b的薄圆柱面，内、外导体间充满参数为ε，μ0的介质，如图1.25所示，导体间的电场强度为

试求：（1）求内、外导体间的磁场强度H；（2）计算内、外导体表面的面电流密度和面电荷密度；（3）计算内、外导体间的位移电流密度。

解　（1）采用圆柱坐标系，由，可得

（2）将内、外导体看作是理想导体，则内导体表面（r=a）处

外导体内表面（r=b）处

（3）内、外导体间位移电流密度

例1.16　两种介质的分界面位于z=0的平面。已知z＞0空间的介质参数为ε1=2ε0、μ1=μ0、σ1=0；z＜0空间的介质参数为ε2=4ε0、μ2=μ0、σ2=0。若已知介质1中的电场为E1=ex2y-ey4x+ez（6+z）。试问能否确定介质2中的E2和D2

解　因为两种介质均为理想介质，故分界面上ρS=0。设介质2中电场为

E2=exE2x+eyE2y+ezE2z

在分界面z=0处，由边界条件E1t=E2t和D1n=D2n，可得

ex2y-ey4x=exE2x+eyE2y　和　2ε0×6=4ε0×E2y

于是得到

E2x=2y，E2y=-4x和E2y=3

因此，z=0处E2、D2的表达式为

E2=ex2y-ey4x+ez·3

D2=ε2E2=ε0（ex8y-ey16x+ez·12）

由于是非均匀场，故只能得到分界面处的E2和D2，介质2中其他位置处的E2和D2则不能确定。