1.3 恒定磁场的基本定律与方程_电磁场与电磁波-QQ阅读男生玄幻网

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1.3　恒定磁场的基本定律与方程

恒定电流在其周围空间产生恒定磁场，恒定磁场的基本实验定律是安培定律，由安培定律可导出磁感应强度矢量B的计算公式，它是描述磁场的基本物理量。

1.3.1　安培定律和磁感应强度

1.安培定律

安培定律描述了真空中两个电流回路间相互作用力的规律，它与静电场中库仑定律的作用和地位相当。

设真空中有两个闭合电流回路c′和c，分别载有恒定电流I′和I，如图1.11所示。则回路c′对回路c的安培作用力为

式中，μ0为真空的磁导率，μ0=4π×10-7H/m；I′dl′和Idl分别是回路c′和c上的线电流元，dl′和dl方向分别与电流I′和I方向相同；R=r-r′表示I′dl′到Idl的距离矢量，其中r′、r分别是I′dl′和Idl的位置矢量。

图1.11　电流回路间的安培作用力

式（1.3.1）称为安培定律，它是物理学家安培通过大量实验推导得出的。可以证明回路c对c′的作用力Fc→c′=-Fc′→c，满足牛顿第三定律。

2.磁感应强度

式（1.3.1）中回路c′对回路c的作用力，可认为是电流I′在其周围空间产生了磁场，而磁场对处于其中的回路c有安培力作用。据此，可将式（1.3.1）改写为

上式等号右边括号内的项可认为是电流I′在电流元Idl位置处产生的磁场。于是，可引入描述磁场的物理量，定义回路电流I′在空间任一点r处产生的磁感应强度B为

B的单位为特斯拉（T）或韦伯/米2（Wb/m2），是一个矢量函数。式（1.3.2）称为毕奥⁃萨伐尔定律。

由式（1.3.2）可得出回路上任一电流元I′dl′在点r处产生的磁感应强度dB为

这是毕奥⁃萨伐尔定律的另一表达形式。由式（1.3.3）可看出，dl′、R和dB三者方向间满足右手螺旋关系。

应用关系式，同时利用矢量恒等式▽×（uA）=u▽×A+▽u×A，式（1.3.2）中的被积函数可写为

上式中算符▽是对场点坐标的运算，而I′dl′是源点坐标的函数，因此有▽×（I′dl′）=0。于是，毕奥⁃萨伐尔定律也可写为

将上述线电流分布情形推广到体电流J和面电流JS分布。线电流分布中，矢性单位元是电流元I′dl′，对于体电流J，在垂直于电流方向取一面积元dS′，则通过dS′的电流为dI′=JdS′，如图1.12所示。将dI′视作为线电流，则电流元dI′dl′=JdS′dl′=JdV′，故体电流中的电流元为JdV′。同理，可得出面电流元为JSdS′。将它们分别代入毕奥⁃萨伐尔定律，得出JdV′、JSdS′产生的dB为

图1.12　体电流元

体电流J、面电流JS产生的B分别为

例1.7　求一半径为a通有电流I的微小电流圆环在空间产生的磁感应强度B。

解　采用球坐标系，令小圆环位于xOy平面，圆心与球坐标原点重合，电流正方向与ez符合右手螺旋规则，如图1.13所示。

图1.13　小电流圆环的磁场计算

因电流和磁场分布具有轴对称性，故场的分布与坐标φ无关，将待求场点P（r，θ，0）置于xOz平面上将不失其普遍性。

在小圆环上任取一电流元Idl′，由式（1.3.5）可求得在场点P处的B为

式中，dl′=eφadφ′，eφ=-exsinφ′+eycosφ′，

R2=z2+t2=z2+x2+a2-2axcosφ′

=r2+a2-2arsinθcosφ′

对于远离小圆环的区域，有r≫a，按照例1.1类似的方法化简，可得

将以上关系式代入式（1.3.10）中的积分项，可得

根据三角函数的周期性，三角函数在一个周期内的积分为0。故上式中，ex分量的积分结果为0，而

由于φ=0平面上，ey方向即为eφ方向，为了不失普遍性，应将上式中ey改为eφ。将上式结果代入式（1.3.10），可得

虽然上式是在r≫a的条件下推导得出的，但当a足够小或很小时，可认为此结果适用于全区域中。

由式（1.3.11）可看出，小电流圆环的远区磁场分布类似于电偶极子的远区电场分布，因此，将微小电流圆环称为磁偶极子，若圆环面积S=πa2，方向与电流正方向满足右手螺旋关系，则定义磁偶极子的磁偶极矩为Pm=IS。于是，式（1.3.11）可改写为

例1.8　求一长度为l的直线电流I产生的磁感应强度B。

解　采用圆柱坐标系，令直线电流位于z轴，线电流中点与坐标原点重合，如图1.14所示。显然，场分布具有轴对称性，场与坐标φ无关。任取场点P（r，φ，z），则场点位置矢量为r=err+ezz。在线电流上任取一线电流元Idl′=ezIdz′，其位置矢量为r′=Ezz′。故距离矢量R=r-r′=err+ez（z-z′），代入式（1.3.5）可得

由图1.14，有

故有

当l→∞时，即有限长线电流延伸变为无限长线电流，有θ1→0，θ2→π，可求得无线长直线电流产生的磁感应强度为

图1.14　直线电流的磁场计算

实际应用中，式（1.3.13）常用于长直线电流产生磁场的近似计算。

1.3.2　真空中恒定磁场的基本方程

磁场是一个矢量场，如同静电场，磁场也是由它的散度、旋度和边界条件唯一确定的。因此，恒定磁场分析时，也是先从它的散度和旋度开始讨论。

1.恒定磁场的散度和磁通连续性原理

由式（1.3.6）毕奥⁃萨伐尔定律的表示形式

可看出，B（r）是一个矢量函数的旋度，由矢量恒等式▽·（▽×A）≡0，可知

▽·B=0　　（1.3.15）

此式表明，磁感应强度B的散度恒为0，磁场是一个无通量源的矢量场，不存在与电荷相对应的孤立磁荷。

对式（1.3.15）两边同时求体积分，并应用散度定理，可得

此式表明，穿过任一闭合面的磁通量为0，磁感应线为闭合曲线。式（1.3.16）称为磁通连续性方程的积分形式，相应地式（1.3.15）称为其微分形式。

2.恒定磁场的旋度和安培环路定律

对式（1.3.14）两边取旋度，得

利用矢量恒等式▽×▽×A=▽（▽·A）-▽2A，有

由关系式▽·（uA）=u▽·（A）+A·▽u，，▽·J（r′）=0及▽′·J（r′）=0，可推导出

故式（1.3.17）中右边第一项的积分为

这是因为S面是包围区域V的曲面，电流限定在区域V内，故在边界面S上，J（r′）没有法向分量，所以J（r′）·dS′=0

由关系式，可得式（1.3.17）右边第二项为

因此可得到

▽×B（r）=μ0J（r）　　（1.3.18）

这是安培环路定律的微分形式。此式表明，恒定磁场是有旋场，恒定电流是其涡旋源。

在恒定磁场中任取一曲面S，围线c为S面的边界，对式（1.3.18）两边在S上取面积分，可得

由斯托克斯定理，有

式中，I为回路c交链的总电流，其正方向与c的方向成右手螺旋关系。这是安培环路定律的积分形式，它表明，磁感应强度B沿任意闭合回路的环流等于回路交链的电流之和与μ0的乘积。

当电流具有对称分布时，利用积分形式的安培环路定律可简化空间磁场B的计算。此时的关键是要能找到一闭合回路c，在c上每一点的B只有切线或法线方向分量，B的切线分量大小相等或为0。

例1.9　半径为a的无限长直导体圆柱中，通有密度为的恒定电流。求圆柱内外的磁感应强度。

解　选用圆柱坐标系，令圆柱轴线与z轴重合，电流沿z轴方向流动。显然，场分布具有轴对称性，以轴线为中心，r为半径作一闭合回路c，根据安培环路定律，有

式中，I′是半径为r的回路c所交链的电流。

当r≤a时，有

当r＞a时，有

例1.10　无限大导体薄板上通有密度为J=exJ0的电流，求其在空间产生的磁感应强度。

解　设导体平面位于z=0平面，由电流分布可知，场分布具有平面对称性。垂直穿过导体平面作一闭合矩形回路，其上下两边边长l与导体面平行且等距，两侧边垂直于导体平面，如图1.15所示。在上下两平行边上，B的大小相等，方向平行于回路方向，而在两侧边，B的方向与回路方向垂直。故根据安培环路定律，有

上式中因为两侧边B的方向垂直于回路方向，故两侧边线积分为0。

图1.15　无限大电流平面磁场的计算

因B1=B2=B，故有

1.3.3　物质的磁化

前面讨论了真空中的磁场，而未考虑空间介质对磁场的影响。如同电介质在电场中要被极化，磁介质在磁场中也会被磁化，它会产生附加的磁场，叠加在原有磁场上，使原来的磁场分布发生变化。

1.介质的磁化

物质的磁化来源于构成物质的分子中电子的绕核运动或自我旋转，它们形成一个个微小的电流圆环，相当于磁偶极子，产生磁偶极矩。分子中所有磁偶极矩的总和称为分子固有磁矩，可等效为分子电流生成，表示为

pm=iΔS　　（1.3.20）

式中，i为等效的分子电流；ΔS为分子电流所围面积元矢量，其方向与i流动方向成右手螺旋关系。

若单个分子的固有磁矩为0，这类分子构成的物质称为抗磁性物质，这类似于无极分子构成的电介质，其对外不呈磁性；若单个分子的固有磁矩不为0，则称这类分子构成的物质为顺磁性物质，这类似于有极分子构成的电介质。当没有外加磁场作用时，顺磁性物质中各个分子的固有磁矩的取向是杂乱无章的，磁介质内总的合成磁矩为0，如图1.16所示。因此，无外加磁场时，无论是顺磁质还是抗磁质物质对外都不呈磁性。

当有外加磁场作用时，顺磁质中的分子固有磁矩会顺着外加磁场方向发生偏移，形成沿外加磁场方向的合成磁矩；而抗磁质中，电子的运动轨道会发生改变，感应出和外加磁场方向相反的磁矩。这两种情况下，都会顺着或逆着外加磁场方向产生一合成磁矩，这种介质对外加磁场的响应称为磁化，图1.17所示为顺磁性物质中的分子磁矩在外磁场作用下的规则排列。显然，合成磁矩又会在空间产生磁场，这些磁场叠加在原来的磁场上，使原有磁场发生变化。

图1.16　顺磁质中分子磁矩随机排列

图1.17　顺磁质中的分子磁矩在外磁场作用下的规则排列

物质的磁化程度可用磁化强度M来描述，定义为

式中，是体积元ΔV内总的合成磁矩量，N是单位体积内的分子数，pm表示分子的平均磁矩。因此，M表示了单位体积磁介质内的磁矩量，单位是安/米（A/m）。

2.磁化电流

介质被磁化后，其内部的各分子电流磁矩顺着或逆着外加磁场方向排列，各分子电流不再能相互抵消，因而在介质内部和表面形成宏观电流，称这种电流为磁化电流，也叫作束缚电流。下面讨论磁化电流与磁化强度间的关系。

在介质内任取一曲面S，其由围线c所限定。如图1.18所示。由图中可看出，在所有的分子电流中，只有环绕围线c的分子电流才对穿过曲面S的磁化电流IM有影响，其他分子电流或者不穿过曲面S，或者沿相反的方向穿过S面两次而相互抵消。为了计算IM，在围线c上任取一线元dl，设分子电流环面积矢量为ΔS，以ΔS为底，dl为轴线作一个斜圆柱体，可看出，只有环中心在圆柱体内的分子电流才会环绕dl，引起磁化电流IM。故与dl交链的磁化电流为

dIM=iNdV=NiΔS·dl=Npm·dl=M·dl　　（1.3.22）

式中，i为分子电流大小；N为单位体积内的分子数。

图1.18　磁化电流计算示意图

则穿过曲面S的磁化电流为

由关系式，可得到磁化电流体密度为

JM=▽×M　　（1.3.24）

为求得磁介质表面上磁化电流面密度JSM，在磁介质内紧贴表面取一线元dl，如图1.19所示，则与dl交链的磁化电流同样为dIM=M·dl=Mdlsinα，式中，α为M与磁介质外表面法向单位矢量en的夹角。由电流面密度定义式，可得磁化电流面密度大小为Jsm=Msinα。因分子电流环流方向与M成右手螺旋关系，故图中表面上磁化电流方向垂直纸面向外。因此磁化电流面密度可用矢量形式表达为

Jsm=M×en　　（1.3.25）

图1.19　介质表面磁化电流计算

若磁介质被均匀磁化，即介质内各点的M相同，由式（1.3.24）可知介质内部无磁化体电流。但介质表面一般都存在磁化面电流。

1.3.4　介质中恒定磁场的基本方程

1.介质中的场方程

外加磁场使介质发生磁化，磁化产生附加磁场，这种附加磁场可认为是介质中的磁化电流引起的，因此介质中的磁场应是所有电流源共同激发的结果。将真空中安培环路定律推广到磁介质中，有

▽×B=μ0（J+JM）　　（1.3.26）

将式（1.3.24）代入，有

定义

为磁场强度，单位为安/米（A/m），则式（1.3.27）变为

▽×H=J　　（1.3.29）

这是介质中安培环路定律的微分形式。它表明介质中某点磁场强度H的旋度仅与该点的传导电流密度有关。

对式（1.3.29）两边取面积分，并应用斯托克斯定理，可得

这是介质中安培环路定律的积分形式。它表明H沿任一闭合回路c的环线积分等于该闭合回路所交链的传导电流之和。H的方向与电流正方向符合右手螺旋关系。

磁介质中，磁感应线仍然是连续的，磁通连续性方程保持不变。因此，磁介质中磁场的基本方程为

2.介质中的辅助方程

由前面的描述可知，介质的磁化与介质中的磁场有关。实验结果表明，在均匀线性各向同性的磁介质中，M与H的关系为

M=χmH　　（1.3.31）

式中，χm为常数，称为磁化率，无量纲。

将式（1.3.31）代入到式（1.3.28）中，可得到

B=μ0（H+M）=μ0（1+χm）H=μrμ0H=μH　　（1.3.32）

上式称为各向同性磁介质的辅助方程。式中，μ=μrμ0称为介质的磁导率，单位为亨/米（H/m）；μr=1+χm称为介质的相对磁导率，无量纲。顺磁性物质的χm＞0，μr＞1；抗磁性物质χm＜0，μr＜1；真空中χm=0，μr=1，此时μ=μ0，无磁化效应。顺磁性和抗磁性物质的磁化效应都很弱，χm很小，工程应用时通常都将它们看作非铁磁性物质，假定μr≈1。还有一类磁介质称为铁磁性物质，它们的B和H不成线性关系，μ是H的函数，μr≫1。