1.2　恒定电场的基本分析

电荷的定向运动形成电流，电流在其周围空间产生电场。恒定电流生成的电场称为恒定电场。

1.2.1　电流与电流密度

电流用i表示，它的定义如下：

式中，Δq是Δt时间内流过横截面S的电荷量，其单位为安（A）。若空间电荷分布不随时间变化，此时的电流称为恒定电流，用I表示。为了描述电流在空间的分布状况，引入电流密度的概念。

1.体电流密度J

电荷在一定的体积空间内流动形成的电流称为体电流，用体电流密度J来描述其在空间的分布。如图1.9所示，设点r处正电荷运动方向为ev，垂直于ev方向取一面元ΔS，若流过ΔS的电流为ΔI，则定义

为点r处的体电流密度，单位为安/米2（A/m2）。它表示点r处通过垂直于电荷运动方向的单位面积上的电流大小和方向。

若正电荷运动速度为v，面元ΔS垂直于v，电荷体密度为ρ，则Δt时间内通过ΔS的电荷流过的距离为vΔt，流过ΔS的电荷量为Δq=ρvΔtΔS，代入式（1.2.2），有

J=ρv　　（1.2.3）

由J可求出通过任一横截面S的电流为

2.面电流密度JS

电荷在一个厚度可忽略不计的面上流动形成的电流称为面电流，可用面电流密度JS描述其分布。如图1.10所示，在垂直于电流方向上取一个线元Δl⊥，设流过Δl⊥的电流为ΔI，则定义

为点r处的面电流密度，单位为安/米（A/m）。

同理，可求得

JS=ρSv　　（1.2.6）

式中，ρS为面电荷密度；v为面电荷运动速度。

若已知曲面S上的面电流密度JS，l为S上的任意有向曲线，设JS与l间的夹角为α，则垂直穿过dl的电流为dI=dlJSsinα=｜dl×JS｜，故可求得穿过曲线l的电流为

式中，en为曲面S的单位法向矢量。

3.线电流I

电荷在一条线上流动形成的电流称为线电流，用I表示。同理有I=ρlv，其中ρl为线电荷密度，v为正电荷运动速度。

1.2.2　电流连续性方程

实验表明，电荷是守恒的，它只能由一个物体流向另一个物体，不能被创造，也不会消失。因此，在密度为J的电流分布空间，任取一封闭曲面S，设S所包围的体积为V，根据电荷守恒定律，单位时间内流出闭合面S的电荷量应等于体积V内电荷的减少量。即

式中，q为体积V内的总电荷量。上式右端积分是在固定体积V上进行，故积分限与时间无关，可将积分和微分的顺序调换，同时应用散度定理，可得

因式中S和其所包围的V都是任意的，因此上式成立时应有

式（1.2.8）和式（1.2.9）分别称为电流连续性方程的积分形式和微分形式。

1.2.3　恒定电场的基本方程

若电荷分布不随时间变化，即，则构成了恒定电流场。此时，式（1.2.8）和式（1.2.9）的电流连续性方程可改写为

▽·J=0　　（1.2.11）

这表明从任意闭合面穿出的电流恒为0，即恒定电流场是一个无散度的场。

要在导电介质中维持恒定电流，就必须存在恒定电场，电场力做功使电荷维持定向运动形成电流。若导电介质内电荷体密度为ρ，电场为E，则单位体积内电荷所受的电场力为ρE。又若电荷在电场力作用下以速度v运动，则单位时间内电场力对单位体积内电荷所做的功为

p=ρE·v=E·J　　（1.2.12）

电场提供的功率被转化成焦耳热能消耗在导电介质的电阻上，故p称为导电介质内单位体积内的焦耳损耗，单位为瓦/米3（W/m3）。式（1.2.12）称为焦耳定律的微分形式。

实验表明，在线性、各向同性的导电介质中，J和E之间存在线性关系：

J=σE　　（1.2.13）

式中，σ为介质的电导率，单位为西/米（S/m）。一般金属材料的电导率σ是一个常数，但随温度变化。

虽然电流是运动电荷形成的，但在恒定电流情况下，电荷分布并不随时间变化。因此，可以认为恒定电场与静电场具有相同的性质，即它也是保守场，电场强度E沿任一闭合回路的线积分恒为0。

因此，恒定电场的基本方程总结为

辅助方程为　　J=σE

导电介质中，σ越大，介质的导电性能越好，当σ→∞时，称为理想导体。由辅助方程J=σE可看出，σ→∞时，E→0。因此理想导体内电场E处处为0，而非理想导体内，E不为0。这点与静电场不同，静电场中所有导体内的E都为0。