3.4 圆形薄板的弯曲

3.4.1 圆形薄板的弯曲曲面微分方程

求解圆形薄板的弯曲问题时，和求解圆形边界的平面问题一样，用极坐标比较方便。此时，将挠度w和横向载荷q都看作是极坐标的函数，即w=w（ρ，w），q=q（ρ，w）。进行与第2章平面问题极坐标中相同的变换，可以得出下列的导数变换式：

应用式（3-23），薄板弹性曲面的微分方程[式（3-14）]可以变换为

3.4.2 圆形薄板的内力表达式

为了导出用挠度表示内力的表达式，从薄板内取出一个微元，如图3-4所示。

图3-4 圆形薄板的微元受力情况

在ρ为常量的横截面上，应力分量σ_ρ、τ_ρφ和τ_ρz分别合成为弯矩M_ρ、扭矩M_ρφ和横向剪力F_Sρ；在φ为常量的横截面上，应力分量σφ、τφρ和τφz分别合成为弯矩M_φ、扭矩M_φρ和横向剪力F_Sφ。若上述各个内力均为正号，则对应的正方向用力矢和矩矢表示，如图3-4所示。

现在，把x轴和y轴分别转到这个微分块的ρ方向和φ方向，使该微分块的φ坐标为零，则该微分块处的M_ρ、M_φ、M_ρφ、M_φρ、F_Sρ及F_Sφ分别成为M_x、M_y、M_xy、M_yx、F_Sx及F_Sy。于是，利用导数的变换式（3-22）和（3-21），令φ=0，即由式（3-18）得到极坐标中薄板内力公式

式中，Δ²w是用式（3-23）表示的。