3.3 薄板横截面上的内力

薄板横截面上的内力称为薄板内力，是指薄板横截面的单位宽度上，由应力合成的主矢量和主矩。由于薄板是按照内力来设计的，因此要求出内力。由于在板的侧面上，通常很难使应力分量满足应力边界条件，但板的侧面是板的次要边界条件，故可应用圣维南原理，用内力的边界条件来代替应力的边界条件。

图3-2 薄板所取的平行六面体

为了求出薄板横截面上的内力，从薄板内取出一个平行六面体，它的三边分别是dx、dy和板的厚度δ，如图3-2所示。

3.3.1 x为常量横截面上的内力

在x为常量的横截面上，作用有σ_x、τ_xy和τ_xz。由式（3-5）知σ_x及τ_xy都和z成正比，且在中面上为零，所以它们在薄板全厚度上的主矢量都等于零，它们只可能合成弯矩和扭矩。

在该横截面的单位宽度上，应力分量σ_x对中面合成为弯矩

将式（3-5）中的第一式代入式（3-15），对z积分，得

与此类似，应力分量τ_xy将合成为横截面内的扭矩

将式（3-5）中的第三式代入式（3-16），对z积分，得

应力分量τ_xz只可能合成为横向剪力，在单位宽度上为

将式（3-6）中的第一式代入式（3-17），对z积分，得

3.3.2 y为常量横截面上的内力

同理，在y为常量的横截面上，单位宽度内的σ_y、τ_yx和τ_zy也分别合成如下的弯矩、扭矩和横向剪力。

3.3.3 横截面上的内力

综上可得，薄板横截面上的内力可以简写为

薄板内力正负方向的规定是从应力正负方向的规定得出的：正的应力合成的主矢量为正，正的应力乘以正的矩臂合成的主矩为正；反之为负。所有薄板内力的正方向如图3-3所示。

图3-3 薄板所受内力的正方向

3.3.4 应力分量与内力的关系

利用式（3-18）从式（3-5）和式（3-6）中消去w，并利用式（3-14）从式（3-11）中消去w，可以得出各应力分量与弯矩、扭矩、横向剪力或载荷之间的关系为

3.3.5 应力分量的最大值

沿着薄板的厚度，应力分量σ_x、σ_y和τ_xy的最大值发生在板面，τ_xz及τ_yz的最大值发生在板的上面，各个最大值为

正应力σ_x及σ_y分别与弯矩M_x和M_y成正比，因而称为弯应力；切应力τ_xy与扭矩M_xy成正比，因而成为扭应力；切应力τ_xz及τ_yz分别与横向剪力F_Sx及F_Sy成正比，因而称为横向切应力；正应力σ_z与载荷q成正比，称为挤压应力。

上面已经说明：在薄板弯曲问题中，弯应力和扭应力在数值上最大，因而是主要的应力；横向切应力在数值上较小，是次要的应力；挤压应力在数值上更小，是更次要的应力。因此，在计算薄板的内力时，主要是计算弯矩和扭矩，横向剪力一般都无需计算。