3.5 节流阀片的轴对称弯曲

3.5.1 等厚度节流阀片的轴对称弯曲

等厚度节流阀片轴对称弯曲问题，在弹性力学中属于圆形薄板的轴对称弯曲问题，下面对圆形薄板的轴对称弯曲问题进行分析，建立等厚度节流阀片轴对称弹性曲面微分方程。

如果圆形薄板所受的横向载荷q和边界条件是绕z轴对称的，则该薄板的挠度和内力也将是绕z轴对称的，这类问题就是圆板的轴对称问题。这时，横向载荷w=w（ρ），挠度q=q（ρ）。因此，弹性曲面的微分方程[式（3-24）]简化为常微分方程

在轴对称的情况下，算子，因此，式（3-26）可以写为

对式（3-27）积分4次，得到轴对称弯曲问题的挠度为

w=C₁ lnρ+C₂ρ²lnρ+C₃ρ²+C₄+w₁ （3-28）

其中，C₁～C₄为待定的系数，由边界条件决定；w₁为特解，其表达式为

常微分方程[式（3-26）]为减振器等厚度节流阀片弹性曲面微分方程，利用该方程式及其边界条件和连续性条件，可以解决等厚度节流阀片在各种载荷下的变形及应力问题。

3.5.2 变厚度节流阀片轴对称弯曲

图3-5 圆形薄板的微元中面

变厚度节流阀片轴对称弯曲问题，在弹性力学中属于变厚度圆形薄板的轴对称弯曲问题，下面对变厚度圆形薄板的轴对称弯曲问题进行分析，建立变厚度节流阀片弹性曲面微分方程。

这里只讨论轴对称圆形薄板受轴对称荷载时的情况。只有在这样的轴对称情况下，用经典方法求解才是可能的。

首先来导出用内力表示的平衡方程。图3-5表示变厚度圆形薄板的一个微元的中面，荷载及横向剪力用力矢量表示，弯矩用矩矢量表示。以微元中心的切向线为矩轴，建立矩的平衡方程，得到

取，化简之后除以ρdρdφ，再略去微量可得

对于变厚度圆形薄板，其弯曲刚度D必须看成是ρ的函数，即D=D（ρ）。

在轴对称的情况下，式（3-25）的前两式化为

用φ表示径向线段的转角，并冠以负号，即

则由式（3-31）和式（3-32），可得

将式（3-33）代入式（3-30），可得

这就是变系数二阶常微分方程。在边界条件下求出φ之后，可以进一步求得挠度和弯矩。

变系数微分方程[式（3-34）]为减振器变厚度节流阀片转角微分方程，利用该方程式及其边界条件和连续性条件，可以解决变厚度节流阀片在各种载荷下的变形及应力问题。