8.2 Z变换
Z变换是研究离散系统的一种有力工具，利用它可将线性差分方程变换成线性代数方程。
8.2.1 Z变换定义
设离散信号x*（t）为
则其拉氏变换式为
令 esT＝z
则 
式中，X（z）称为x*（t）的Z变换，并以Z［x*（t）］表示，即
（22-1-69）
X（z）有时也习惯性地称作x（t）的Z变换式，即
X（z）＝Z［x（t）］ （22-1-70）
而其实际含义仍是指x（t）经采样后，对x*（t）的Z变换。
Z变换式的求取方法有两种，即根据连续信号x（t）求X（z）或根据x（t）的象函数X（s）求取相应的Z变换式，后者称为部分分式法。部分分式的原理是：设X（s）具有以下形式
（22-1-71）
式中 k——X（s）中的极点数；
Ai——对应于每一个极点的常数；
si——X（s）的极点。
则X（s）的原函数x（t）为
利用基本函数的Z变换表，可得与x（t）相对应Z变换式
（22-1-72）
基本函数的Z变换如表22-1-20所示。
表22-1-20 Z变换表
例 已知
因为 
查表22-1-20，可得
因此 
8.2.2 Z变换的基本性质
表22-1-21 Z变换的性质
8.2.3 Z反变换
Z反变换是根据X（z）求出原函数x*（t）和x（nT）。常用Z反变换的方法有以下两种。
①幂级数法。幂级数法是利用长除把X（z）展开成z－i的幂级数式，然后根据Z变换的定义式求出x*（t）或x（nT）。例如
因此 x（0）＝0
x（T）＝10
x（2T）＝30
x（3T）＝70
…
x*（t）＝10δ（t－T）+30δ（t－2T）+70δ（t－3T）+…
这种方法有时不便于求取x（nT）的闭式结果。
②部分分式法。这是一种常用方法，它将X（z）分解成为部分分式，然后利用Z变换表求取x*（t）或x（nT），例如
展开成部分分式
查表22-1-20可得
因此 x（nT）＝10（－1+2k） k＝0，1，2，…
x*（t）＝10δ（t－T）+30δ（t－2T）+70δ（t－3T）+…
8.2.4 用Z变换求解差分方程
用Z变换求解差分方程与用拉普拉斯变换解微分方程一样，是非常有用的，其实质是利用Z变换将差分方程转化为代数方程。由Z变换的性质知，x［（n+m）T］的Z变换式为
Z［x（n+m）T］＝zmX（z）－zmx（0）－zm－1x（1）－…－zx（m－1）
式中，x（0），x（1），…是x（t）在不同时刻的采样值。利用上述关系就可以将差分方程转化为以z为变量的代数方程，并自动包含了初始采样值。例如差分方程
x（n+2）+3x（n+1）+2x（n）＝0 x（0）＝0x（1）＝1
方程两端Z变换后得
z2x（z）－z2x（0）－zx（1）+3zx（z）－3zx（0）+2x（z）＝0
代之初始数据并整理之
利用Z变换表可得
因此X（z）的原函数x（kT）为
x（kT）＝（－1）k－（－2）k k＝0，1，2，…
各时刻的函数值为
x（0）＝0
x（1）＝1
x（2）＝－3
x（3）＝7
x*（t）＝δ（t－T）－3δ（t－2T）+7δ（t－3T）+…