1.7　轴的临界转速校核

轴系（轴和轴上零件）是一个弹性体，当其回转时，一方面由于本身的质量（或转动惯量）和弹性产生自然振动，有其自振频率；另一方面由于轴系各零件的材料组织不均匀、制造误差及安装误差等原因造成轴系重心偏移，导致回转时产生离心力，从而产生以离心力为周期性干扰外力所引起的强迫振动，有其强迫振动频率。当强迫振动的频率与轴的自振频率接近或相同时，就会产生共振现象，轴的变形将迅速增大，严重时会造成轴系甚至整台机器破坏。产生共振现象时轴的转速称为轴的临界转速。临界转速的校核就是计算出轴的临界转速，以便使工作转速避开临界转速。

轴的振动的主要类型有横向振动（弯曲振动）、扭转振动和纵向振动。一般轴最常见的是横向振动，故本节仅介绍横向振动临界转速的校核。

临界转速在数值上与轴横向振动的固有频率相同。一个轴在理论上有无穷多个临界转速。按其数值由小到大分别称一阶、二阶、三阶……临界转速。为避免轴在运转中产生共振现象，所设计的轴不得与任何临界转速相接近，也不能与一阶临界转速的简单倍数重合。

转速低于一阶临界转速的轴一般称为刚性轴，高于一阶临界转速的轴称为挠性轴，机械中多采用刚性轴；但转速很高的某些轴（如离心机、汽轮机的轴），如采用刚性轴，则所需直径可能过大，使结构过于笨重，故常用挠性轴。

对转速较高、跨度较大而刚性较小，或外伸端较长的轴，一般应进行临界转速的校核计算，使工作转速避开临界转速，并使其在各阶临界转速一定范围之外。对于刚性轴，应使n<0.75n_cr1，对于挠性轴，应使1.4n_cr1<n<0.7n_cr2（n为轴的工作转速；n_cr1为轴一阶临界转速；n_cr2为轴二阶临界转速）。

轴临界转速大小与材料的弹性特性、轴的形状和尺寸、轴的支承形式和轴上零件的质量等有关，与轴的空间位置（垂直、水平或倾斜）无关。

阶梯轴临界转速的精确计算比较复杂，作为近似计算，可将阶梯轴视为当量直径为d_v的等直径轴进行计算，当量直径d_v按下式计算

　　 （7-1-1） 　　

式中　d_i——第i段轴的直径，mm；

Δl_i——第i段轴的长度，mm；

ξ——经验修正系数。若阶梯轴最粗一段或几段的轴段长度超过轴全长的50％时，可取ξ=1；轴段长度小于全长的15％时，此段当作轴环，另按次粗轴段来考虑。在一般情况下，最好按照同系列机器的计算对象，选取有准确解的轴试算几例，从中找出ξ值。例如一般的压缩机、离心机、鼓风机转子可取ξ=1.094。

1.7.1　不带圆盘的均匀质量轴的临界转速

各种支座情况下，等直径轴在横向振动时的第一、二、三阶临界转速计算公式见表7-1-46。

1.7.2　带圆盘的轴的临界转速

带单个圆盘但不计轴自重时轴的一阶临界转速n_cr1的计算公式见表7-1-46。

带多个圆盘并需计入轴自重时，可按邓柯莱（Dunkerley）公式计算n_cr1

　　 （7-1-2） 　　

式中，n₀为只考虑轴自重时轴的一阶临界转速；n₀₁，n₀₂，…，n_0i分别表示轴上只装一个圆盘（盘1，2，…i）且不计轴自重时的一阶临界转速，均可按表7-1-46所列公式分别计算。

对双铰支多圆盘钢轴（图7-1-3），式（7-1-2）按表7-1-46中所列算式简化为下式

　　 （7-1-3） 　　

式中　λ₁——一阶临界转速时的支座形式系数，查表7-1-46；

W₀——轴所受的重力，N；

W_i——支承间的圆盘所受的重力，N；

G_j——外伸端的圆盘所受的重力，N；

d_v——轴的当量直径，mm；

c_j——外伸端第j个圆盘至支承间的距离，mm。

带多个圆盘的轴（包括阶梯轴），如果在各个圆盘重力的作用下，轴的挠度曲线或轴上各圆盘处的挠度值已知时，也可用雷利（Rayleigh）公式近似求其一阶临界转速

式中　W_i——轴上所装各个零件或阶梯轴各个轴段的重力，N；

y_i——在W_i作用的截面内，由全部载荷引起的轴的挠度，mm。

1.7.3　轴的临界转速计算举例

图7-1-4所示为由两个轴承支承的鼓风机的转子，其各段的直径与长度尺寸，以及四个圆盘所受的W₁～W₄重力均列于表7-1-47。试计算转子的一阶临界转速n_cr1。

解　由于W₁～W₄四个盘所受的重力远大于轴上其他零件所受的重力，故其他零件都不作为盘来考虑，而只将其重力加在相应的轴段上。

本例可利用表7-1-46所列公式分别算出只考虑轴自重及每个圆盘时的临界转速，然后用式（7-1-2）或式（7-1-3）计算转子的临界转速。阶梯轴的当量直径d_v用式（7-1-1）计算。计算过程及结果列于表7-1-47。

1.7.4　等直径轴的一阶临界转速计算

机器中有各种型式的轴，在计算时视其具体型式按上述公式进行。为简化计算，现将几种等直径轴典型的简化型式及一阶临界转速的简化计算公式列在表7-1-48中，供设计者参考。