3.1　桥式起重机动力学模型及动态特性分析

3.1.1　桥式起重机非线性动力学模型

桥式起重机小车和桥的运动通过钢丝绳移动货物，钢丝绳是挠性机械环节，小车和桥的频繁启动、制动引起货物摆动，货物在随着悬挂点运动的同时作空间摆运动，而且摆长不断变化。据此建立惯性笛卡儿坐标系{x₀，y₀，z₀}和非惯性球坐标系{e_θ，e_ϕ，e_l}，惯性笛卡儿坐标系的坐标原点取在桥的一端，非惯性球坐标系的坐标原点取在起升钢丝绳的悬挂点处，并且随着小车移动，桥式起重机结构及坐标系统如图3.1所示。

货物悬挂点在惯性笛卡儿坐标系中的位置是（x，y，z），货物在非惯性球坐标系中的位置用三个广义坐标（l，θ，ϕ）表示，l表示起升钢丝绳的长度，ϕ表示起升钢丝绳与x₁o₁z₁平面的夹角，θ表示起升钢丝绳在x₁o₁z₁平面投影与过货物悬挂点铅垂线的夹角。系统有5个参量：小车运动速度（或加速度）、桥移动速度（或加速度）、货物提升速度（或提升加速度）、货物摆动角度θ和ϕ，前三个量是控制量，后两个量为被控制量。

根据起重机工作情况，给出如下假设和要求：①将钢丝绳的质量集中在吊钩处；②钢丝绳刚度足够大，其长度变化可忽略不计；③忽略空气阻力。

根据Lagrange-Euler运动方程，建立起重机非线性动力学模型。设x₁o₁y₁平面位置势能为零，起重机同时进行桥、小车和起升运动，Lagrange函数为

（3.1）

根据Lagrange-Euler运动方程

　　（3.2）

式中，q_k表示广义位移；b_k表示阻尼系数；F_k表示广义力。

桥式起重机动力学模型为

式中，M₁、M₂、m分别表示小车、桥和货物的质量；b_x、b_y、b_l分别表示小车、桥和起升机构的等效阻尼系数；F_x、F_y和F_l分别表示作用于小车、桥的驱动力和起升机构的提升力；x为小车的位移；y为桥的位移；g为重力加速度。

桥式起重机动力学模型由小车动力学方程、起升机构动力学方程和货物摆动运动学方程组成，状态变量之间相互耦合，使系统成为时变的二阶非线性系统。货物摆动运动学方程式（3.6）、式（3.7）是关于摆动角度θ、ϕ的二阶振荡环节，它描述了小车、桥运动与货物摆动之间的关系，小车、桥的加速度为输入，货物摆角为输出。起升运动使系统成为弱阻尼系统，货物摆动的频率与钢丝绳长度有关，摆动的幅值与小车、桥的加速度大小有关。

根据式（3.3）～式（3.7）对桥式起重机的货物摆动情况进行仿真。系统参数：货物质量m=1kg，采样频率T=0.005s，小车质量M₁=1.320kg，小车运行最大加速度为a_max=1m·s^-2，额定速度v_max=0.3m·s^-1，参考命令是加速运行0.3s，匀速运行2s，减速运行0.3s，小车运动等效阻尼系数b=0.1N·s·m^-1，桥的质量M₂=5kg，桥运行最大加速度为a_max=1m·s^-2，额定速度v_max=0.3m·s^-1，参考命令是加速运行0.3s，匀速运行2s，减速运行0.3s，桥运动等效阻尼系数b=0.1N·s·m^-1，起升机构的额定提升速度=0.4m·s^-1，起升钢丝绳的长度由0.8m提升到0.4m，再下降到0.8m，实现起重机点到点的位置控制，边值约束条件为

式中，t_f表示起重机运行时间。上式规定了桥式起重机的起止位置、速度和加速度。

基于MATLAB软件，根据非线性动力学模型计算系统的运动状态，货物摆动角度θ（t）、ϕ（t）的仿真曲线如图3.2所示。从图中可以看出：在移动货物的过程中，货物做变幅摆动，达到目标位置后，货物做等幅摆动，摆动的最大幅值达到11° 。

3.1.2　桥式起重机实验台及非线性化模型验证

按照QD5桥式起重机，以1∶30的比例设计桥式起重机模拟实验台，如图3.3所示。

桥式起重机模拟实验台由一台PC机控制一套伺服驱动系统和一套步进电动机驱动系统，分别驱动小车和起升机构运行。伺服系统由运动控制器、伺服驱动器、伺服电动机组成，驱动器采用日本松下MSDA043A1A驱动器，电动机采用日本松下小型小惯量MSMA022A1C伺服电动机。伺服电动机通过同步齿型带驱动小车沿着导轨移动，变幅范围是0～0.8m，11线2500p/r增量式光电编码器装在电动机轴上，测量电动机的转角和转速，间接计算小车的位移和速度。步进电动机驱动起升机构运行，实现货物的升降运动。装在小车上的增量式光电编码器测量货物的摆动角度，为了减小测量误差，设计Kalman滤波算法滤到噪声信号。在导轨的两端安装光电限位开关，保证了系统运动安全可靠。

同时安装在小车上的增量式光电编码器测量货物的摆动角度θ（t），测量值与计算值之差Δθ（t）如图3.4所示。在开始运动瞬间误差最大，达到10^-2的数量

级。这主要由于在建模时没有考虑机械系统的延时特性和空气阻力的影响，使理论值与测量值有一定的误差，但最大误差不超过30%，而且，随着时间的推移，误差曲线收敛于0，即仿真值与测量值基本相符合，因此非线性模型式（3.3）～式（3.7）能比较准确地描述系统的动态特性。

3.1.3　桥式起重机线性化模型及动态特性分析

桥式起重机是一个单输入多输出系统，电动机驱动小车和桥往复运动，小车通过钢丝绳拉动货物移动，小车的加、减速运动引起货物的摆动，货物的运动无执行器驱动，只有通过控制小车的运动来消除货物的摆动，因此，需要对小车的运动状态进行规划，保证小车的加速度达到设计要求。在货物摆动角度小于10° 的情况下，在平衡位置θ_e=0° 、ϕ_e=0° 附近，将非线性模型式（3.3）～式（3.7）进行线性化处理。

　　（3.8）

　　（3.9）

　　（3.10）

　　（3.11）

　　（3.12）

从式（3.8）～式（3.12）可以看出：起重机可归结为含有刚性模态的柔性系统，三大运行机构的运动是刚体运动，钢丝绳是一个柔性体，小车、桥的加、减速运动使货物摆动，货物摆动线性化模型是关于摆角θ（t）、ϕ（t）的二阶振荡环节，起升运动使系统成为弱阻尼系统，摆动的频率与钢丝绳长度有关，摆动的幅值可以通过小车、桥的加速度加以控制，在起重机动力学参数已知的情况下，用线性化模型可以求出运动状态的解析解。

基于MATLAB仿真软件，根据线性化模型式（3.8）～式（3.12），在相同的工况下计算系统的运动状态，货物摆动角度仿真曲线如图3.5所示。非线性模型计算值与线性化模型计算值之差如图3.6所示，最大误差是10^-2数量级，从而可知这一线性化过程的误差可忽略不计，线性化模型能比较准确地描述系统的动态性能。

桥式起重机有小车、桥的运动和起升运动3种基本工作状态，这3种基本工作状态的组合使货物实现起吊、运输和就位动作，每一种工作状态都包括加速、匀速和减速3种基本运动形式。小车和桥的运动驱动货物悬挂点在水平面内移动，这2个运动的方向相互垂直，从线性化模型式（3.8）～式（3.12）以及仿真结果可以看出，这2个方向的运动可以实现解耦，因此本书只研究在提升货物的同时只有小车的水平移动，将空间摆运动简化为平面摆运动。