第三节 曲柄滑块机构的运动分析
在图1-4所示的曲柄滑块机构中，已知各构件的尺寸及原动件1的方位角θ1和匀角速度ω1，需对其位置、速度和加速度进行分析。
图1-4 曲柄滑块机构
一、数学模型的建立
为了对机构进行运动分析，先如图1-4建立直角坐标系，将各构件表示为杆矢，并将各杆矢用指数形式的复数表示。
1.位置分析
如图1-4所示，由封闭图形ABCA可写出机构各杆矢所构成的封闭矢量方程
（1-9）
其复数形式表示为
（1-10）
将式（1-10）的实部和虚部分离，得
（1-11）
由式（1-11）得
（1-12）
2.速度分析
将式（1-10）对时间t求一次导数， 得速度关系
（1-13）
将式（1-13）的实部和虚部分离，得
（1-14）
若用矩阵形式来表示，则式（1-14）可写为
（1-15）
解式（1-15）即可求得角速度ω2和线速度vC。
3.加速度分析
将式（1-10）对时间t求二次导数，可得加速度关系表达式
（1-16）
解式（1-16）即可求得角加速度α2和线加速度aC。
二、计算实例
【例1-2 】 在图1-4所示的曲柄滑块机构中，AB为原动件，以匀角速度ω1=10rad/s逆时针旋转，曲柄和连杆的长度分别为l1=100mm，l2=300mm。试确定连杆2和滑块3的位移、速度和加速度，并绘制出运动线图。
三、程序设计
曲柄滑块机构MATLAB程序由主程序slider_crank _main和子函数slider_crank两部分组成。
1. 主程序slider_crank _main文件
********************************************************
%1.输入已知数据
clear；
l1=100；
l2=300；
e=0；
hd=pi/180；
du=180/pi；
omega1=10；
alpha1=0；
%2.调用子函数 slider_crank 计算曲柄滑块机构位移，速度，加速度
for n1=1：720
theta1（n1）=（n1-1）*hd；
［theta2（n1），s3（n1），omega2（n1），v3（n1），alpha2（n1），a3（n1）］=slider_crank（theta1（n1），omega1，alpha1，l1，l2，e）；
end
%3.位移，速度，加速度和曲柄滑块机构图形输出
figure（11）；
n1=1：720；
subplot（2，2，1）； % 绘位移线图
［AX，H1，H2］=plotyy（theta1*du，theta2*du，theta1*du，s3）；
set（get（AX（1），'ylabel'），'String'，'连杆角位移/\circ'）
set（get（AX（2），'ylabel'），'String'，'滑块位移/mm'）
title（'位移线图'）；
xlabel（'曲柄转角 \theta_1/\circ'）
grid on；
subplot（2，2，2）； % 绘速度线图
［AX，H1，H2］=plotyy（theta1*du，omega2，theta1*du，v3）
title（'速度线图'）；
xlabel（'曲柄转角 \theta_1/\circ'）
ylabel（'连杆角速度/rad\cdots∧{-1}'）
set（get（AX（2），'ylabel'），'String'，'滑块速度/mm\cdots∧{-1}'）
grid on；
subplot（2，2，3）； % 绘加速度线图
［AX，H1，H2］=plotyy（theta1*du，alpha2，theta1*du，a3）
title（'加速度线图'）；
xlabel（'曲柄转角 \theta_1/\circ'）
ylabel（'连杆角加速度/rad\cdots∧{-2}'）
set（get（AX（2），'ylabel'），'String'，'滑块加速度/mm\cdots∧{-2}'）
grid on；
subplot（2，2，4）； % 绘曲柄滑块机构图
x（1）=0；
y（1）=0；
x（2）=l1*cos（70*hd）；
y（2）=l1*sin（70*hd）；
x（3）=s3（70）；
y（3）=e；
x（4）=s3（70）；；
y（4）=0；
x（5）=0；
y（5）=0；
x（6）=x（3）-40；
y（6）=y（3）﹢10；
x（7）=x（3）﹢40；
y（7）=y（3）﹢10；
x（8）=x（3）﹢40；
y（8）=y（3）-10；
x（9）=x（3）-40；
y（9）=y（3）-10；
x（10）=x（3）-40；
y（10）=y（3）﹢10；
i=1：5；
plot（x（i），y（i））；
grid on；
hold on；
i=6：10；
plot（x（i），y（i））；
title（'曲柄滑块机构'）；
grid on；
hold on；
xlabel（'mm'）
ylabel（'mm'）
axis（［-50 400 -20 130］）；
plot（x（1），y（1），'o'）；
plot（x（2），y（2），'o'）；
plot（x（3），y（3），'o'）；
%4.曲柄滑块机构运动仿真
figure（2）
m=moviein（20）；
j=0；
for n1=1：5：360
j=j﹢1；
clf；
%
x（1）=0；
y（1）=0；
x（2）=l1*cos（n1*hd）；
y（2）=l1*sin（n1*hd）；
x（3）=s3（n1）；
y（3）=e；
x（4）=（l1﹢l2﹢50）；
y（4）=0；
x（5）=0；
y（5）=0；
x（6）=x（3）-40；
y（6）=y（3）﹢10；
x（7）=x（3）﹢40；
y（7）=y（3）﹢10；
x（8）=x（3）﹢40；
y（8）=y（3）-10；
x（9）=x（3）-40；
y（9）=y（3）-10；
x（10）=x（3）-40；
y（10）=y（3）﹢10；
%
i=1：3；
plot（x（i），y（i））；
grid on； hold on；
i=4：5；
plot（x（i），y（i））；
i=6：10；
plot（x（i），y（i））；
plot（x（1），y（1），'o'）；
plot（x（2），y（2），'o'）；
plot（x（3），y（3），'o'）；
title（'曲柄滑块机构'）；
xlabel（'mm'）
ylabel（'mm'）
axis（［-150 450 -150 150］）；
m（j）=getframe；
end
movie（m）
2.子函数slider_crank 文件
*************************************************
function ［theta2，s3，omega2，v3，alpha2，a3］=slider_crank（theta1，omega1，alpha1，l1，l2，e）
%1.计算连杆2的角位移和滑块3的线位移
theta2=asin（（e-l1*sin（theta1））/l2）；
s3=l1*cos（theta1）﹢l2*cos（theta2）；
%2.计算连杆2的角速度和滑块3的线速度
A=［l2*sin（theta2），1； -l2*cos（theta2），0 ］； % 机构从动件的位置参数矩阵
B=［-l1*sin（theta1）； l1*cos（theta1）］； % 机构原动件的位置参数列阵
omega=A\（omega1*B）； % 机构从动件的速度列阵
omega2=omega（1）；
v3=omega（2）；
%3.计算连杆2的角加速度和滑块3的线加速度
At=［omega2*l2*cos（theta2），0；
omega2*l2*sin（theta2），0］； % At=dA/dt
Bt=［-omega1*l1*cos（theta1）；
-omega1*l1*sin（theta1）］； % Bt=dB/dt
alpha=A\（-At*omega﹢alpha1*B﹢omega1*Bt）； % 机构从动件的加速度列阵
alpha2=alpha（1）；
a3=alpha（2）；
四、运算结果
图1-5为曲柄滑块机构的运动线图和机构运动仿真图。
图1-5 曲柄滑块机构的运动线图和机构运动仿真图