第二节 铰链四杆机构的运动分析
在图1-2所示的铰链四杆机构中，已知各构件的尺寸及原动件1的方位角θ1和匀角速度ω1，需对其位置、速度和加速度进行分析。
一、数学模型的建立
为了对机构进行运动分析，先如图1-2建立直角坐标系，并将各构件表示为杆矢，为了求解方便，将各杆矢用指数形式的复数表示。
图1-2 铰链四杆机构
1.位置分析
如图1-2所示，由封闭图形ABCDA可写出机构各杆矢所构成的封闭矢量方程
（1-1）
其复数形式表示为
（1-2）
将式（1-2）的实部和虚部分离，得
（1-3）
由于式（1-3）是一个非线性方程组，直接求解比较困难，在这里借助几何方法进行求解，在图中连接BD，由此得
（1-4）
2.速度分析
将式（1-2）对时间t求一次导数， 得速度关系
（1-5）
将式（1-5）的实部和虚部分离，得
（1-6）
若用矩阵形式来表示，则式（1-6）可写为
（1-7）
解式（1-7）即可求得两个角速度ω2、ω3。
3.加速度分析
将式（1-2）对时间t求二次导数，可得加速度关系表达式
（1-8）
解式（1-6）即可求得两个角加速度α2、α3。
二、计算实例
【例1-1】 如图1-2所示，已知铰链四杆机构各构件的尺寸为：l1=101.6mm，l2=254mm，l3=177.8mm，l4=304.8mm，原动件1以匀角速度ω1=250rad/s逆时针转动，计算构件2和构件3的角位移、角速度及角加速度，并绘制出运动线图。
三、程序设计
铰链四杆机构MATLAB程序由主程序crank_rocker_main和子函数crank_rocker两部分组成。
1.主程序crank_rocker_main文件
*************************************************
%1.输入已知数据
clear；
l1=101.6； l2=254； l3=177.8； l4=304.8；
omega1=250；
alpha1=0；
hd=pi/180； du=180/pi；
%2.调用子函数 crank_rocker 计算铰链四杆机构位移，角速度，角加速度
for n1=1：361
theta1=（n1-1）*hd；
［theta，omega，alpha］=crank_rocker（theta1，omega1，alpha1，l1，l2，l3，l4）；
theta2（n1）=theta（1）；theta3（n1）=theta（2）；
omega2（n1）=omega（1）；omega3（n1）=omega（2）；
alpha2（n1）=alpha（1）；alpha3（n1）=alpha（2）；
end
%3.角位移、角速度、角加速度和四杆机构图形输出
figure（1）；
n1=1∶361；
subplot（2，2，1）； % 绘位移线图
plot（n1，theta2*du，n1，theta3*du，'k'）；
title（'角位移线图'）；
xlabel（'曲柄转角 \theta_1/\circ'）
ylabel（'角位移/\circ'）
grid on； hold on；
text（140，170，'\theta_3'）
text（140，30，'\theta_2'）
subplot（2，2，2）； % 绘角速度线图
plot（n1，omega2，n1，omega3，'k'）
title（'角速度线图'）；
xlabel（'曲柄转角 \theta_1/\circ'）
ylabel（'角速度/rad\cdots∧{-1}'）
grid on；hold on；
text（250，130，'\omega_2'）
text（130，165，'\omega_3'）
subplot（2，2，3）； % 绘角加速度线图
plot（n1，alpha2，n1，alpha3，'k'）
title（'角加速度线图'）；
xlabel（'曲柄转角 \theta_1/\circ'）
ylabel（'角加速度/rad\cdots∧{-2}'）
grid on；hold on；
text（230，2e4，'\alpha_2'）
text（30，7e4，'\alpha_3'）
subplot（2，2，4）； % 铰链四杆机构图形输出
x（1）=0；
y（1）=0；
x（2）=l1*cos（70*hd）；
y（2）=l1*sin（70*hd）；
x（3）=l4﹢l3*cos（theta3（71））；
y（3）=l3*sin（theta3（71））；
x（4）=l4；
y（4）=0；
x（5）=0；
y（5）=0；
plot（x，y）；
grid on；hold on；
plot（x（1），y（1），'o'）；
plot（x（2），y（2），'o'）；
plot（x（3），y（3），'o'）；
plot（x（4），y（4），'o'）；
title（'铰链四杆机构'）；
xlabel（'mm'）
ylabel（'mm'）
axis（［-50 350-20 200］）；%
%4.铰链四杆机构运动仿真
figure（2）
m=moviein（20）；
j=0；
for n1=1：5：360
j=j﹢1；
clf；
x（1）=0；
y（1）=0；
x（2）=l1*cos（（n1-1）*hd）；
y（2）=l1*sin（（n1-1）*hd）；
x（3）=l4﹢l3*cos（theta3（n1））；
y（3）=l3*sin（theta3（n1））；
x（4）=l4；
y（4）=0；
x（5）=0；
y（5）=0；
plot（x，y）；
grid on；hold on；
plot（x（1），y（1），'o'）；
plot（x（2），y（2），'o'）；
plot（x（3），y（3），'o'）；
plot（x（4），y（4），'o'）；
axis（［-150 350 -150 200］）；
title（'铰链四杆机构'）； xlabel（'mm'）； ylabel（'mm'）
m（j）=getframe；
end
movie（m）；
2.子函数crank_rocker 文件
*************************************************
function ［theta，omega，alpha］=crank_rocker（theta1，omega1，alpha1，l1，l2，l3，l4）
%1.计算从动件的角位移
L=sqrt（l4*l4﹢l1*l1-2*l1*l4*cos（theta1））；
phi=asin（（l1./L）*sin（theta1））；
beta=acos（（-l2*l2﹢l3*l3﹢L*L）/（2*l3*L））；
if beta<0
beta=beta﹢pi；
end
theta3=pi-phi-beta； % theta3 表示杆3转过角度
theta2=asin（（l3*sin（theta3）-l1*sin（theta1））/l2）； % theta2 表示杆2转过角度
theta=［theta2；theta3］
%2.计算从动件的角速度
A=［-l2*sin（theta2）， l3*sin（theta3）； % 机构从动件的位置参数矩阵
l2*cos（theta2）， -l3*cos（theta3）］；
B=［l1*sin（theta1）； -l1*cos（theta1）］； % 机构原动件的位置参数列阵
omega=A\（omega1*B）； % 机构从动件的速度列阵
omega2=omega（1）； omega3=omega（2）；
%3.计算从动件的角加速度
A=［-l2*sin（theta2）， l3*sin（theta3）；
l2*cos（theta2）， -l3*cos（theta3）］；
At=［-omega2*l2*cos（theta2）， omega3*l3*cos（theta3）；
-omega2*l2*sin（theta2）， omega3*l3*sin（theta3）］；
B=［l1*sin（theta1）； -l1*cos（theta1）］； % 机构原动件的位置参数列阵
Bt=［omega1*l1*cos（theta1）； omega1*l1*sin（theta1）］； % Bt=dB/dt
alpha=A\（-At*omega﹢alpha1*B﹢omega1*Bt）； % 机构从动件的加速度列阵
***********************************************
四、运算结果
图1-3为铰链四杆机构的运动线图和机构运动仿真图。
图1-3 铰链四杆机构运动线图和机构运动仿真图