第四节 导杆机构的运动分析
在图1-6所示的导杆机构中，已知各构件的尺寸及原动件1的方位角θ1和匀角速度ω1，需对其位置、速度和加速度进行分析。
一、数学模型的建立
为了对机构进行运动分析，先如图1-6建立直角坐标系，将各构件表示为杆矢，并将各杆矢用指数形式的复数表示。
图1-6 导杆机构
1.位置分析
如图1-6所示，由封闭图形ABCA可写出机构各杆矢所构成的封闭矢量方程
（1-17）
其复数形式表示为
（1-18）
将式（1-18）的实部和虚部分离，得
（1-19）
由式（1-19）得
（1-20）
2.速度分析
将式（1-18）对时间t求一次导数，得速度关系
（1-21）
将式（1-21）的实部和虚部分离，得
（1-22）
若用矩阵形式来表示，则式（1-22）可写为
（1-23）
解式（1-23）即可求得滑块2相对导杆3的线速度v23和导杆3的角速度ω3。
3.加速度分析
将式（1-18） 对时间t求二次导数，可得加速度关系表达式
（1-24）
解式（1-24）即可求得滑块2相对导杆3的线加速度a23和导杆3的角加速度α3。
二、计算实例
【例1-3】 如图1-6所示，已知导杆机构各构件的尺寸为：l1=120mm，l4=380mm，原动件1以匀角速度ω1=1rad/s逆时针转动，试确定导杆3的角位移、角速度和角加速度，以及滑块2在导杆3上的位置、速度和加速度，并绘制出运动线图。
三、程序设计
导杆机构MATLAB程序由主程序leader_main和子函数leader两部分组成。
1. 主程序leader_main文件
********************************************************
%1.输入已知数据
clear；
l1=0.12；
l3=0.6；
l4=0.38；
omega1=1；
alpha1=0；
hd=pi/180；
du=180/pi；
%2.调用子函数 leader 计算导杆机构位移，角速度，角加速度
for n1=1：400；
theta1（n1）=n1*hd；
［theta3（n1），s3（n1），omega3（n1），v23（n1），alpha3（n1），a2（n1）］=leader（theta1（n1），omega1，alpha1，l1，l4）；
end
%3.位移，角速度，角加速度和导杆机构图形输出
figure（1）；
n1=1：400；
subplot（2，2，1）； %绘角位移及位移线图
plot（n1，theta3*du）；
grid on；
hold on；
axis auto；
［haxes，hline1，hline2］=plotyy（n1，theta3*du，n1，s3）；
grid on；
hold on；
title（'角位移及位移线图'）；
xlabel（'曲柄转角 \theta_1/\circ'）
axes（haxes（1））；
ylabel（'角位移/\circ'）
axes（haxes（2））；
ylabel（'位移/m'）
hold on；
grid on；
subplot（2，2，2）； %绘角速度及速度线图
plot（n1，omega3）；
grid on；
hold on；
axis auto；
［haxes，hline1，hline2］=plotyy（n1，omega3，n1，v23）；
grid on；
hold on；
title（'角速度及速度线图'）；
xlabel（'曲柄转角 \theta_1/\circ'）
axes（haxes（1））；
ylabel（'角速度/ rad\cdots∧{-1}'）
axes（haxes（2））；
ylabel（'速度/m\cdots∧{-1}'）
hold on；
grid on；
subplot（2，2，3）； %绘角加速度和加速度线图
plot（n1，alpha3）；
grid on；
hold on；
axis auto；
［haxes，hline1，hline2］=plotyy（n1，alpha3，n1，a2）；
grid on；
hold on；
title（'角加速度及加速度线图'）；
xlabel（'曲柄转角 \theta_1/\circ'）
axes（haxes（1））；
ylabel（'角加速度/rad\cdots∧{-2}'）
axes（haxes（2））；
ylabel（'加速度/m\cdots∧{-2}'）
hold on；
grid on；
subplot（2，2，4）； %导杆机构仿真
n1=1；
x（1）=（s3（n1）*1000-50）*cos（theta3（n1））；
y（1）=（s3（n1）*1000-50）*sin（theta3（n1））；
x（2）=0；
y（2）=0；
x（3）=0；
y（3）=l4*1000﹢50；
x（4）=0；
y（4）=l4*1000；
x（5）=l1*1000*cos（theta1（n1））；
y（5）=l1*1000*sin（theta1（n1））﹢l4*1000；
x（6）=（s3（n1）*1000﹢50）*cos（theta3（n1））；
y（6）=（s3（n1）*1000﹢50）*sin（theta3（n1））；
x（7）=l3*1000*cos（theta3（n1））；
y（7）=l3*1000*sin（theta3（n1））；
x（10）=（s3（n1）*1000-50）*cos（theta3（n1））；
y（10）=（s3（n1）*1000-50）*sin（theta3（n1））；
x（11）=x（10）﹢25*cos（pi/2-theta3（n1））；
y（11）=y（10）-25*sin（pi/2-theta3（n1））；
x（12）=x（11）﹢100*cos（theta3（n1））；
y（12）=y（11）﹢100*sin（theta3（n1））；
x（13）=x（12）-50*cos（pi/2-theta3（n1））；
y（13）=y（12）﹢50*sin（pi/2-theta3（n1））；
x（14）=x（10）-25*cos（pi/2-theta3（n1））；
y（14）=y（10）﹢25*sin（pi/2-theta3（n1））；
x（15）=x（10）；
y（15）=y（10）；
i=1：5
plot（x（i），y（i））；
grid on；
hold on；
i=6：7
plot（x（i），y（i））；
grid on；
hold on；
i=10：15
plot（x（i），y（i））；
grid on；
hold on；
plot（x（4），y（4），'o'）；
plot（x（2），y（2），'o'）；
plot（x（5），y（5），'o'）；
title（'导杆机构仿真'）；
xlabel（' mm'）；
ylabel（'mm'）；
axis equal；
2.子函数leader 文件
********************************************************
function ［theta3，s3，omega3，v23，alpha3，a2］=leader（theta1，omega1，alpha1，l1，l4）
%1.计算角位移和线位移
s3=sqrt（（l1*cos（theta1））*（l1*cos（theta1））﹢（l4﹢l1*sin（theta1））*（l4﹢l1*sin（theta1）））；
%s3表示滑块2相对于CD杆的位移
theta3=acos（（l1*cos（theta1））/s3）； %theta3表示导杆3转过角度
%2.计算角速度和线速度
A=［sin（theta3），s3*cos（theta3）； %从动件位置参数矩阵
-cos（theta3），s3*sin（theta3）］；
B=［l1*cos（theta1）；l1*sin（theta1）］； %原动件位置参数矩阵
omega=A\（omega1*B）；
v23=omega（1）； %滑块2的速度
omega3=omega（2）； %导杆3的角速度
%3.计算角加速度和线加速度
A=［sin（theta3），s3*cos（theta3）； %从动件位置参数矩阵
cos（theta3），-s3*sin（theta3）］；
At=［omega3*cos（theta3），（v23*cos（theta3）-s3*omega3*sin（theta3））；
-omega3*sin（theta3），（-v23*sin（theta3）-s3*omega3*cos（theta3））］；
Bt=［-l1*omega1*sin（theta1）；-l1*omega1*cos（theta1）］；
alpha=A\（-At*omega﹢omega1*Bt）； %机构从动件的加速度列阵
a2=alpha（1）； %a2表示滑块2的加速度
alpha3=alpha（2）； %alpha3表示杆3的角加速度
四、运算结果
图1-7为导杆机构的运动线图和机构运动仿真图。
图1-7 导杆机构运动线图和机构运动仿真图