第五节 六杆机构的运动分析
由于六杆机构的类型很多，任何一个四杆机构，若加上一个二级杆组就成为一个六杆机构，我们就使用较广泛的一类六杆机构——由曲柄、摆动导杆、连杆和滑块组成的来进行运动分析和程序设计，图1-8所示的牛头刨床主运动机构就是这样一类六杆机构。
图1-8所示为牛头刨床主运动机构的运动简图。设已知各构件的尺寸及原动件1的方位角θ1和匀角速度ω1，需对导杆的角位移、角速度和角加速度以及刨头的位置、速度和加速度进行分析。
一、数学模型的建立
为了对机构进行运动分析，先如图1-8建立直角坐标系，将各构件表示为杆矢，并将各杆矢用指数形式的复数表示。
图1-8 牛头刨床主运动机构
1.位置分析
如图1-8所示，由于这里有四个未知量，为了求解需要建立两个封闭矢量方程。由封闭图形ABCA可写出机构一个封闭矢量方程
（1-25）
其复数形式表示为
（1-26）
将式（1-26）的实部和虚部分离，得
（1-27）
由式（1-27）得
（1-28）
由封闭图形CDEGC可写出机构另一个封闭矢量方程
（1-29）
其复数形式表示为
（1-30）
将式（1-30）的实部和虚部分离，得
（1-31）
由式（1-31）得
（1-32）
2.速度分析
将式（1-26）和式（1-30）对时间t求一次导数，得速度关系
（1-33）
将式（1-33）的实部和虚部分离，得
（1-34）
若用矩阵形式来表示，则式（1-34）可写为
（1-35）
3.加速度分析
将式（1-26） 和式（1-30）对时间t求二次导数，可得加速度关系表达式
（1-36）
二、计算实例
【例1-4】 如图1-8所示，已知牛头刨床主运动机构各构件的尺寸为： l1=125mm，l3=600mm，l4=150mm，l6=275mm，l'6=575mm，原动件1以匀角速度ω1=1rad/s逆时针转动，计算该机构中各从动件的角位移、角速度和角加速度以及刨头5上E点的位置、速度和加速度，并绘制出运动线图。
三、程序设计
牛头刨床主运动机构MATLAB程序由主程序six_bar_main和子函数six_bar两部分组成。
1.主程序six_bar_main文件
*************************************************
%1.输入已知数据
clear；
l1=0.125；
l3=0.600；
l4=0.150；
l6=0.275；
l61=0.575；
omega1=1；
alpha1=0；
hd=pi/180；
du=180/pi；
%2.调用子函数 six_bar 计算牛头刨床机构位移，角速度，角加速度
for n1=1：459；
theta1（n1）=-2*pi﹢5.8119﹢（n1-1）*hd；
ll=［l1，l3，l4，l6，l61］；
［theta，omega，alpha］=six_bar（theta1（n1），omega1，alpha1，ll）；
s3（n1）=theta（1）； %s3表示滑块2相对于CD杆的位移
theta3（n1）=theta（2）； %theta3表示杆3转过角度
theta4（n1）=theta（3）； %theta4表示杆4转过角度
sE（n1）=theta（4）； %sE表示杆5的位移
v2（n1）=omega（1）； %滑块2的速度
omega3（n1）=omega（2）； %构件3的角速度
omega4（n1）=omega（3）； %构件4的角速度
vE（n1）=omega（4）； %构件5的速度
a2（n1）=alpha（1）； %a2表示滑块2的加速度
alpha3（n1）=alpha（2）； %alpha3表示杆3的角加速度
alpha4（n1）=alpha（3）； %alpha4表示杆4的角加速度
aE（n1）=alpha（4）； %构件5的加速度
end
%3.位移，角速度，角加速度和牛头刨床图形输出
figure（3）；
n1=1：459；
t=（n1-1）*2*pi/360；
subplot（2，2，1）； %绘角位移及位移线图
plot（t，theta3*du，'r-.'）；
grid on；
hold on；
axis auto；
［haxes，hline1，hline2］=plotyy（t，theta4*du，t，sE）；
grid on；
hold on；
xlabel（'时间/s'）
axes（haxes（1））；
ylabel（'角位移/\circ '）
axes（haxes（2））；
ylabel（'位移/m'）
hold on；
grid on；
text（1.15，-0.65，'\theta_3'）
text（3.4，0.27，'\theta_4'）
text（2.25，-0.15，'s_E'）
subplot（2，2，2）； %绘角速度及速度线图
plot（t，omega3，'r-.'）；
grid on；
hold on；
axis auto；
［haxes，hline1，hline2］=plotyy（t，omega4，t，vE）；
grid on；
hold on；
xlabel（'时间/s'）
axes（haxes（1））；
ylabel（'角速度/rad\cdots∧{-1}'）
axes（haxes（2））；
ylabel（'速度/m\cdots∧{-1}'）
hold on；
grid on；
text（3.1，0.35，'\omega_3'）
text（2.1，0.1，'\omega_4'）
text（5.5，0.45，'v_E'）
subplot（2，2，3）； %绘角加速度和加速度图
plot（t，alpha3，'r-.'）；
grid on；
hold on；
axis auto；
［haxes，hline1，hline2］=plotyy（t，alpha4，t，aE）；
grid on；
hold on；
xlabel（'时间/s'）
axes（haxes（1））；
ylabel（'角加速度/rad\cdots∧{-2}'）
axes（haxes（2））；
ylabel（'加速度 /m\cdots∧{-2}'）
hold on；
grid on；
text（1.5，0.3，'\alpha_3'）
text（3.5，0.51，'\alpha_4'）
text（1.5，-0.11，'a_E'）
subplot（2，2，4）； %牛头刨床机构
n1=20；
x（1）=0；
y（1）=0；
x（2）=（s3（n1）*1000-50）*cos（theta3（n1））；
y（2）=（s3（n1）*1000-50）*sin（theta3（n1））；
x（3）=0；
y（3）=l6*1000；
x（4）=l1*1000*cos（theta1（n1））；
y（4）=s3（n1）*1000*sin（theta3（n1））；
x（5）=（s3（n1）*1000﹢50）*cos（theta3（n1））；
y（5）=（s3（n1）*1000﹢50）*sin（theta3（n1））；
x（6）=l3*1000*cos（theta3（n1））；
y（6）=l3*1000*sin（theta3（n1））；
x（7）=l3*1000*cos（theta3（n1））﹢l4*1000*cos（theta4（n1））；
y（7）=l3*1000*sin（theta3（n1））﹢l4*1000*sin（theta4（n1））；
x（8）=l3*1000*cos（theta3（n1））﹢l4*1000*cos（theta4（n1））-900；
y（8）=l61*1000；
x（9）=l3*1000*cos（theta3（n1））﹢l4*1000*cos（theta4（n1））﹢600；
y（9）=l61*1000；
x（10）=（s3（n1）*1000-50）*cos（theta3（n1））；
y（10）=（s3（n1）*1000-50）*sin（theta3（n1））；
x（11）=x（10）﹢25*cos（pi/2-theta3（n1））；
y（11）=y（10）-25*sin（pi/2-theta3（n1））；
x（12）=x（11）﹢100*cos（theta3（n1））；
y（12）=y（11）﹢100*sin（theta3（n1））；
x（13）=x（12）-50*cos（pi/2-theta3（n1））；
y（13）=y（12）﹢50*sin（pi/2-theta3（n1））；
x（14）=x（10）-25*cos（pi/2-theta3（n1））；
y（14）=y（10）﹢25*sin（pi/2-theta3（n1））；
x（15）=x（10）；
y（15）=y（10）；
x（16）=0；
y（16）=0；
x（17）=0；
y（17）=l6*1000；
k=1：2；
plot（x（k），y（k））；
hold on；
k=3：4；
plot（x（k），y（k））；
hold on；
k=5：9；
plot（x（k），y（k））；
hold on；
k=10：15；
plot（x（k），y（k））；
hold on；
k=16：17；
plot（x（k），y（k））；
hold on；
grid on；
axis （［-500 600 0 650］）；
title（'牛头刨床运动仿真'）；
grid on；
xlabel（'mm'）
ylabel（'mm'）
plot（x（1），y（1），'o'）；
plot（x（3），y（3），'o'）；
plot（x（4），y（4），'o'）；
plot（x（6），y（6），'o'）；
plot（x（7），y（7），'o'）；
hold on；
grid on；
xlabel（'mm'）
ylabel（'mm'）
axis （［-400 600 0 650］）；
%4.牛头刨床机构运动仿真
figure（2）
m=moviein（20）；
j=0；
for n1=1：5：360
j=j﹢1；
clf；
x（1）=0；
y（1）=0；
x（2）=（s3（n1）*1000-50）*cos（theta3（n1））；
y（2）=（s3（n1）*1000-50）*sin（theta3（n1））；
x（3）=0；
y（3）=l6*1000；
x（4）=l1*1000*cos（theta1（n1））；
y（4）=s3（n1）*1000*sin（theta3（n1））；
x（5）=（s3（n1）*1000﹢50）*cos（theta3（n1））；
y（5）=（s3（n1）*1000﹢50）*sin（theta3（n1））；
x（6）=l3*1000*cos（theta3（n1））；
y（6）=l3*1000*sin（theta3（n1））；
x（7）=l3*1000*cos（theta3（n1））﹢l4*1000*cos（theta4（n1））；
y（7）=l3*1000*sin（theta3（n1））﹢l4*1000*sin（theta4（n1））；
x（8）=l3*1000*cos（theta3（n1））﹢l4*1000*cos（theta4（n1））-900；
y（8）=l61*1000；
x（9）=l3*1000*cos（theta3（n1））﹢l4*1000*cos（theta4（n1））﹢600；
y（9）=l61*1000；
x（10）=（s3（n1）*1000-50）*cos（theta3（n1））；
y（10）=（s3（n1）*1000-50）*sin（theta3（n1））；
x（11）=x（10）﹢25*cos（pi/2-theta3（n1））；
y（11）=y（10）-25*sin（pi/2-theta3（n1））；
x（12）=x（11）﹢100*cos（theta3（n1））；
y（12）=y（11）﹢100*sin（theta3（n1））；
x（13）=x（12）-50*cos（pi/2-theta3（n1））；
y（13）=y（12）﹢50*sin（pi/2-theta3（n1））；
x（14）=x（10）-25*cos（pi/2-theta3（n1））；
y（14）=y（10）﹢25*sin（pi/2-theta3（n1））；
x（15）=x（10）；
y（15）=y（10）；x（16）=0；
y（16）=0；
x（17）=0；
y（17）=l6*1000；
k=1：2；
plot（x（k），y（k））；
hold on；
k=3：4；
plot（x（k），y（k））；
hold on；
k=5：9；
plot（x（k），y（k））；
hold on；
k=10：15；
plot（x（k），y（k））；
hold on；
k=16：17；
plot（x（k），y（k））；
hold on；
grid on；
axis （［-500 600 0 650］）；
title（'牛头刨床运动仿真'）；
grid on；
xlabel（'mm'）
ylabel（'mm'）
plot（x（1），y（1），'o'）；
plot（x（3），y（3），'o'）；
plot（x（4），y（4），'o'）；
plot（x（6），y（6），'o'）；
plot（x（7），y（7），'o'）；
axis equal；
m（j）=getframe；
end
movie（m）
2.子函数six_bar 文件
********************************************************
function ［theta，omega，alpha］=six_bar（theta1，omega1，alpha1，ll）
l1=ll（1）；
l3=ll（2）；
l4=ll（3）；
l6=ll（4）；
l61=ll（5）；
%1.计算角位移和线位移
s3 =sqrt（（l1*cos（theta1））*（l1*cos（theta1））﹢（l6﹢l1*sin（theta1））*（l6﹢l1*sin（theta1）））； %s3表示滑块2相对于CD杆的位移
theta3 =acos（（l1*cos（theta1 ））/s3 ）； %theta3表示杆3转过角度
theta4 =pi-asin（（l61-l3*sin（theta3 ））/l4）； %theta4表示杆4转过角度
sE =l3*cos（theta3 ）﹢l4*cos（theta4 ）； %sE表示杆5的位移
theta（1）=s3；
theta（2）=theta3；
theta（3）=theta4；
theta（4）=sE；
%2.计算角速度和线速度
A=［sin（theta3 ），s3 *cos（theta3 ），0，0； %从动件位置参数矩阵
-cos（theta3 ），s3 *sin（theta3 ），0，0；
0，l3*sin（theta3 ），l4*sin（theta4 ），1；
0，l3*cos（theta3 ），l4*cos（theta4 ），0］；
B=［l1*cos（theta1 ）；l1*sin（theta1 ）；0；0］； %原动件位置参数矩阵
omega=A\（omega1*B）；
v2 =omega（1）； %滑块2的速度
omega3 =omega（2）； %构件3的角速度
omega4 =omega（3）； %构件4的角速度
vE =omega（4）； %构件5的速度
%3.计算角加速度和加速度
A=［sin（theta3 ），s3 *cos（theta3 ），0，0； %从动件位置参数矩阵
cos（theta3 ），-s3 *sin（theta3 ），0，0；
0，l3*sin（theta3 ），l4*sin（theta4 ），1；
0，l3*cos（theta3 ），l4*cos（theta4 ），0］；
At=［omega3 *cos（theta3 ），（v2 *cos（theta3 ）-s3 *omega3 *sin（theta3 ）），0，0；
-omega3 *sin（theta3 ），（-v2 *sin（theta3 ）-s3 *omega3 *cos（theta3 ）），0，0；
0，l3*omega3 *cos（theta3 ），l4*omega4 *cos（theta4 ），0；
0，-l3*omega3 *sin（theta3 ），-l4*omega4 *sin（theta4 ），0］；
Bt=［-l1*omega1*sin（theta1 ）；-l1*omega1*cos（theta1 ）；0；0］；
alpha=A\（-At*omega﹢omega1*Bt）； %机构从动件的加速度列阵
a2 =alpha（1）； %a2表示滑块2的加速度
alpha3 =alpha（2）； %alpha3表示杆3的角加速度
alpha4 =alpha（3）； %alpha4表示杆4的角加速度
aE =alpha（4）； %构件5的加速度
四、运算结果
图1-9为牛头刨床主运动机构的运动线图和机构运动仿真图。
图1-9 牛头刨床主运动机构运动线图和机构运动仿真图