第四节　由正态分布导出的几个重要分布

一、分布

设随机变量X₁，X₂，…，相互独立，且X_i（＝1，2，…，n）服从标准正态分布N（0，1），则它们的平方和服从自由度为n的分布，其自由度可以解释为独立变量的个数或二次型的秩。

分布的性质：

1．分布的数学期望，方差；

2．分布具有可加性，即若，，且独立，则

3．当自由度时，分布的极限分布是正态分布；

4．当自由度n很大时，近似服从，当自由度n>45时，

其中，为标准正态分布的p分位数，为的p分位数。

二、t分布

1．t分布

设随机变量X～N（0，1），，且X与Ｙ独立，则，其分布称为t分布，记为t（n），其中n为自由度。

t分布的密度函数是偶函数，当时，t分布的数学期望E（t）＝0；当时，t分布的方差

自由度为1的t分布称为柯西分布，随着自由度n的增加，t分布的密度函数愈来愈接近标准正态分布的密度函数。实际应用中，一般当n≥30时，t分布与标准正态分布就非常接近。

2．与t分布有关的抽样分布

（1）设X₁，X₂，…，是来自正态分布的一个样本，

则

称为服从自由度为n-1的t分布。

（2）设X和Y是两个相互独立的总体，，，X₁，X₂，…，是来自X的一个样本，Y₁，Y₂，…，是来自Y的一个样本，记

则

三、F分布

设随机变量Ｙ与Z相互独立，且Y和Z分别服从自由度为m和n的分布，随机变量X有如下表达式：

则称X服从第一自由度为m，第二自由度为n的F分布，简记为X～F（m，n）。

1．服从F（m，n）分布的随机变量X的数学期望和方差分别为：

2．F分布的p分位数可查F分布表获得，且

3．F分布与t分布的关系：如果随机变量X服从t（n）分布，则X2服从自由度为（1，n）的F分布。

四、正态总体的抽样分布定理

设是来自正态总体的样本，其样本均值和样本方差分别为：

和

则有：

1．和相互独立；

2．或；

3．（自由度为n-1的分布）；

4．（自由度为n-1的t分布）。