第三节　关于分布的几个概念

一、抽样分布

统计推断的三个中心内容：抽样分布、参数估计和假设检验。

在总体X的分布类型已知时，若对任一自然数n，都能导出统计量

的分布的数学表达式，此种分布称为抽样分布。

样本均值的抽样分布就是指所有可能抽出来的样本的分布。数理统计学的相关定理已经证明：即样本均值的期望就是总体均值。

在重复抽样时，样本均值的标准差为总体标准差σ2的1/n，即

在不重复抽样时，样本均值的标准差为：

其中，为修正系数，对于无限总体进行不重复抽样时，可以按照重复抽样计算，当总体为有限总体，N比较大而n/N≥5%时，修正系数可以简化为1-n/N，当N比较大而n/N<5%时，修正系数可以近似为1，即可以按重复抽样计算。

并且可以证明当总体服从正态分布时，样本均值一定服从正态分布，即有：时，

若总体为未知的非正态分布时，只要样本容量足够大（通常要求），样本均值仍会接近正态分布，其分布的期望值为总体均值，方差为总体方差的。这就是统计上著名的中心极限定理（central limit theorem）。这一定理可以表述为：从均值为、方差为的总体中，抽取样本量为的随机样本，当充分大时（通常要求），样本均值的分布近似服从均值为μ、方差为的正态分布。

如果总体不是正态分布，当为小样本时（通常），样本均值的分布则不服从正态分布。

例4：重复抽样与不重复抽样相比，其样本均值抽样分布的标准差（　　）。

A．重复抽样大

B．不重复抽样大

C．一样大

D．不一定

【答案】A

二、渐近分布

设X₁，X₂，…，是抽自正态总体的一个样本，可以证明当时，和，所以统计量的渐近分布为N（0，1）。

三、随机模拟获得的近似分布

设有一个统计量，为了获得统计量的分布函数，其中为样本容量。我们可连续作一系列类似试验，每次试验都是从总体中随机抽取容量为的样本，然后计算其统计量的值。当这种试验进行了次时，就得到统计量的个观测值：。根据这个观测值可做其经验分布函数。可以证明，这种经验分布函数是统计量（在样本容量固定的条件下）的分布的一个很好的近似分布。这种寻求统计量的方法就是反复地从总体中抽样，这种抽样完全可由计算机来实现。由此得到的统计量的分布就是随机模拟法所获得的近似分布。